ホイットニーのトポロジー

数学、特に微分位相幾何学、関数解析、特異点理論において、ホイットニー位相は、 2つの滑らかな多様体間の滑らかな写像の集合上で定義される、可算無限個の位相の族である。これらはアメリカの数学者ハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられた。

MとNを 2 つの実数で滑らかな多様体とする。さらに、C ^∞ ( M , N ) をMとNの間の滑らかな写像の空間とする。表記 C ^∞は、写像が無限回微分可能であること、すなわち、すべての階数の偏微分が存在し、連続であることを意味する。^{[ 1 ]}

C ^∞ ( M , N ) は無限次元であるのに対し、J ^k ( M , N ) は有限次元であることに注意してください。実際、J ^k ( M , N ) は実数で有限次元の多様体です。これを確認するには、実数係数を持ち、次数が最大kのm個の変数に関する多項式の空間をℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ]とします。定数項はゼロです。これは次元の実数ベクトル空間です。

${\displaystyle \dim \left\{\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}]\right\}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(m+i-1)!}{(m-1)!\cdot i!}}=\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

a = dim{ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] }と書くと、ベクトル空間の標準理論によりℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] ≅ ℝ ^aとなり、実数有限次元多様体となる。次に、以下を定義する。

${\displaystyle B_{m,n}^{k}=\bigoplus _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}],\implies \dim \left\{B_{m,n}^{k}\right\}=n\dim \left\{A_{m}^{k}\right\}=n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

B ^k _{m , n}の次元をbで表すと、 B ^k _{m , n} ≅ ℝ ^bとなり、実数で有限次元の多様体であることがわかります。

実際、MとNの次元がそれぞれmとnである場合、次のようになります。 ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \dim \!\left\{J^{k}(M,N)\right\}=m+n+\dim \!\left\{B_{n,m}^{k}\right\}=m+n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}\right).}$

ホイットニーC∞位相が与えられれば^、空間C∞ ⁽ M , N )はベール空間、すなわちすべての残余集合が稠密である。^{[ 4 ]}