クンマーサム

数学において、クンマー和は、p を法とする素数（p は 3を法として 1 と同値）の特定の 3 次ガウス和に付けられた名前です。これらは、複素数としての引数の統計的特性について予想を立てたエルンスト・クンマーにちなんで名付けられました。これらの和は、クンマーより前に円分論の理論で知られ、使用されていました。

したがってクンマー和は有限和である。

${\displaystyle \sum \chi (r)e(r/p)=G(\chi )}$

rを法としてpをとり、 χ は1 の 3 乗根をとるディリクレ指標であり、e ( x ) は指数関数 exp(2π ix ) です。必要な形式のpが与えられると、そのような指標が 2 つあり、他に自明な指標が 1 つあります。

3次指数和K ( n , p )は次のように定義される。

${\displaystyle K(n,p)=\sum _{x=1}^{p}e(nx^{3}/p)}$

はクンマー和の線形結合であることが容易にわかります。実際、これは 3 Pです。ここでP は、乗算の下でのp を法とする留数における指数3の部分群のガウス周期の 1 つですが、ガウス和は、係数として 1 の 3 乗根を持つPの線形結合です。ただし、代数的性質が保持されるのはガウス和です。このような 3 次指数和は、現在ではクンマー和とも呼ばれています。

ガウス和の一般理論から次のことが分かる。

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {p}}.\,}$

実際、G ( χ ) が自然に含まれる円分体における素分解は知られており、より強い形を与える。クンマーが関心を寄せていたのは、

${\displaystyle \theta _{p}\,}$

G ( χ )の3 乗。ガウス和の 2 乗が既知で正確な平方根がガウスによって決定された 2 次の場合とは異なり、ここではG ( χ )の 3 乗はアイゼンシュタイン整数内にありますが、その引数はp を割り切るアイゼンシュタイン素数の引数によって決定され、その体で割り切れます。

クンマーは、 θ _pとその分布 2π を法として（言い換えれば、単位円上のクンマー和の引数について）統計的な予想を立てた。それが意味を成すためには、2 つの χ の可能な値のいずれかを選択する必要があります。実際、立方剰余記号に基づく明確な選択があります。クンマーは、 pについて500 までの利用可能な数値データを使用しました（これは、1892 年にジョージ・B・マシューズが著した「数の理論」で説明されています）。しかし、「小数の法則」が働いていたため、均一分布ではないというクンマーの当初の予想は、小数の偏りの影響を受けていました。1952 年にジョン・フォン・ノイマンとハーマン・ゴールドスタインは、 ENIACでクンマーの計算を拡張しました。^[1]計算はヘドヴィグ・セルバーグによってプログラムされコード化されたが、彼女の仕事はフェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題（旧フェルミ・パスタ・ウラム問題）におけるメアリー・ツィンゴウの場合と同様に、論文の最後でのみ謝辞が述べられた。

20世紀になって、100年以上も手つかずのまま残されていたこの問題にようやく進展が見られました。 1978年、富雄久保田の研究を基に、SJパターソンとロジャー・ヒース＝ブラウンはクマー予想を反証し、クマー予想の修正形を証明しました。^{[2]実際に彼らは、θ} _pが等分布であることを示しました。この研究には、メタプレクティック群の保型形式と、解析的整数論におけるヴォーンの補題が関係していました。2000年にヒース＝ブラウンがさらなる改良を行いました。^[3]

クンマー和に関する2番目の予想は、再び久​​保田富雄の以前のアイデアに基づいて、 JWSカッセルスによってなされた。これは、アイゼンシュタイン整数による複素乗算を伴う楕円関数の積の公式であった。 ^[4]この予想は1978年にチャールズ・マシューズによって証明された。^[5]

1978年、パターソンは、θ _{p は}ガウス和のような2次ではなく、漸近的に順序の誤差項とともに等分布していると予想し、これがクンマーが観察した初期の偏りを説明できると予想した。 ^[6]翌年、ヒース＝ブラウンと共同でクンマーの予想を反証した彼のその後の研究は、実際には等分布であることを示したが、漸近の順序が正しいかどうかは不明のままであった。^[7] 20年以上後、ヒース＝ブラウンはこの問題に終止符を打ち、新しいふるい法を提示し、予測された順序を得るためにそれを改良できると予想した。^[8] 2021年、この問題はアレクサンダー・ダンとマクシム・ラジウィルによって一般化リーマン予想の条件付きで実証され、彼らはヒース・ブラウンのふるいが予想通りには改良できないことも示した。^{[9] [10]}${\displaystyle X^{\frac {5}{6}}}$

• Bredikhin, BM (2001) [1994]、「クンマー仮説」、数学百科事典、EMS Press