ハッセとダベンポートの関係

ダベンポートとハッセ（1935 ）によって導入されたハッセ-ダベンポート関係は、ガウス和に関する 2 つの関連する恒等式であり、1 つはハッセ-ダベンポート持ち上げ関係、もう 1 つはハッセ-ダベンポート積関係と呼ばれています。ハッセ-ダベンポート持ち上げ関係は、異なる体上のガウス和を関連付ける数論の等式です。ワイル（1949）は、有限体上のフェルマー超曲面のゼータ関数を計算するためにこれを使用し、これがワイル予想の動機となりました。 

ガウス和は有限体上のガンマ関数の類似物であり、ハッセ・ダベンポート積関係はガウスの乗法公式の類似物である。

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!}$

実際、ハッセ・ダベンポート積の関係は、p進ガンマ関数の類似の乗算公式とグロス＆コブリッツ（1979） のグロス・コブリッツ公式から導かれる。

F をq個の要素を持つ有限体とし、F s_を[ F _s : F ] = sとなる体とする。つまり、sはF上のベクトル空間F _sの次元である。

させて${\displaystyle \alpha }$要素である${\displaystyle F_{s}}$。

させて${\displaystyle \chi }$Fから複素数への乗法的な指標とする。

させて${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )}$標準となる${\displaystyle F_{s}}$に${\displaystyle F}$定義される

${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,}$

させて ${\displaystyle \chi '}$乗法記号は${\displaystyle F_{s}}$これは、${\displaystyle \chi }$F _sからFへのノルム、つまり

${\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

ψ をFの非自明な加法指標とし、 ${\displaystyle \psi '}$加算特性${\displaystyle F_{s}}$これは、${\displaystyle \psi }$F _sからFへのトレース、つまり

${\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

させて

${\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)}$

F上のガウス和を とし、 ${\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')}$ガウス和は${\displaystyle F_{s}}$。

そしてハッセ・ダベンポートのリフティング関係は次のように述べている。

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ')。}$

ハッセ・ダベンポート積の関係式は次のように述べている。

${\displaystyle \prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )}$

ここで、ρはq -1を割り切る正確な位数mの乗法指標であり、χは任意の乗法指標、ψは非自明な加法指標である。

• ハロルド・ダベンポート。 Hasse, Helmut (1935)、「Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (いくつかの周期的な場合における合同ゼータ関数のゼロについて)」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、172 : 151–182、ISSN 0075-4102、Zbl 0010.33803  
• Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979)、「ガウス和とp進Γ関数」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、109 (3): 569–581、doi : 10.2307/1971226、ISSN 0003-486X、JSTOR 1971226、MR 0534763   
• アイルランド、ケネス；ローゼン、マイケル（1990）。現代数論への古典的入門。シュプリンガー。158-162頁。ISBN  978-0-387-97329-6。
• Weil, André (1949)、「有限体における方程式の解の数」(PDF)、Bulletin of the American Mathematical Society、55 (5): 497–508、doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4、ISSN 0002-9904、MR 0029393  アンドレ・ヴェイユ著『Oeuvres Scientifiques/Collected Papers』に転載ISBN 0-387-90330-5