整数M遅延線の標準的なブロック図表現。 [1] デジタル遅延線 ( または単に 遅延線 、 遅延フィルタとも呼ばれる) は、 デジタルフィルタ 内の個別の要素であり 、 信号を サンプル 数だけ遅延させることができます 。遅延線は、空気中の 音速 を補正するために スピーカー に送られる オーディオ信号を 遅延させたり、 オーディオとビデオの 同期と呼ばれる付随するオーディオと ビデオ信号を揃えたりする目的でよく使用されます。遅延線は、 電子処理の遅延 を補正して、 複数の信号が異なる経路を通っているにもかかわらず同時にデバイスから送信されるようにすることができます。
デジタル遅延線は、室内音響 、 楽器 、 エフェクト ユニットを シミュレートする方法で広く使用されている構成要素です 。 デジタル導波管合成は、 弦楽器 や 管楽器 などのさまざまな楽器の サウンド合成 方法としてデジタル遅延線を使用する方法を示しています 。
遅延線が 1 未満の非整数値を保持する場合、分数遅延線 (補間遅延線または分数遅延フィルタとも呼ばれる) になります。整数遅延線と分数遅延フィルタのシリーズは、 デジタル信号処理における 任意の遅延 フィルタのモデル化によく使用されます 。 [2] Dattorro 方式は、 分数遅延線を使用したデジタルフィルタの業界標準実装です。 [3]
理論
整数遅延の標準遅延線は、 サンプル 遅延された 離散時間信号 の Z変換から導出される [4] 。
x
{\displaystyle x}
ま
{\displaystyle M}
ええ [ ん ] = x [ ん − ま ]
{\displaystyle y[n]=x[nM]}
→
ず
{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}
はい （ ず ） =
ず
− ま
⏞
H
ま
（ ず ）
バツ （ ず ） 。
{\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z).}
この場合、 整数遅延フィルタは次のようになります。
ず
− ま
=
H
ま
（ ず ）
{\displaystyle z^{-M}=H_{M}(z)}
{
|
⋅
|
= 1 = 0 d B 、
ゼロdBゲイン
∡ = − ω ま 、
線形位相
ω = 2 π ふ
T
s
どこ
T
s
サンプリング周期（秒）
[ s ] 。
{\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{ゼロ dB ゲイン}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{線形位相、}}\omega =2\pi fT_{s}{\text{、}}T_{s}{\text{は秒単位のサンプリング周期}}[s]です。\end{cases}}}
の逆ゼータ変換としての
整数遅延の離散時間領域フィルタは、 [5] によってシフトされた インパルス であるため、自明である 。
ま
{\displaystyle M}
H
ま
（ ず ）
{\displaystyle H_{M}(z)}
ま
{\displaystyle M}
h
メートル
[ ん ] =
{
1
、
のために
ん = ま
0 、
のために
ん ≠ ま 。
{\displaystyle h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}
離散時間領域で分数遅延を扱うのはそれほど簡単ではありません。最も一般的な理論形式では、任意の分数遅延を持つ遅延線は、遅延 を持つ標準遅延線として定義され、これは整数成分と 1 サンプルより小さい 分数成分 の合計としてモデル化できます。
だ ∈
R
{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
ま ∈
ず
{\displaystyle M\in \mathbb {Z} }
d ∈
R
{\displaystyle d\in \mathbb {R} }
(分数) 遅延線 - ドメイン
ず
{\displaystyle {\mathcal {Z}}}
これは、 非自明なデジタル フィルタ設計 問題の領域表現である。解は、逆Z変換を表すか近似する任意の時間領域フィルタである 。 [2]
ず
{\displaystyle {\mathcal {Z}}}
H
だ
（ ず ）
{\displaystyle H_{D}(z)}
フィルター設計ソリューション
素朴な解決策
最も概念的に簡単な解は、連続時間領域解をサンプリングすることによって得られ、これは任意の遅延値に対して自明である。 サンプルまたは 秒単位 で遅延された連続時間信号が与えられると、次のようになる [6] 。
x
{\displaystyle x}
だ ∈
R
{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
τ = だ
T
s
{\displaystyle \tau =DT_{s}}
ええ （ t ） = x （ t − だ ）
{\displaystyle y(t)=x(tD)}
→
ふ
{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}
はい （ ω ） =
e
− じ ω だ
⏞
H
私 d e 1つの l
（ ω ）
バツ （ ω ） 。
{\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}
この場合、 連続時間領域の分数遅延フィルタは次のようになります。
e
− じ ω だ
=
H
私 d e 1つの l
（ ω ）
{\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{理想}(\omega )}
{
|
⋅
|
= 1 = 0 d B 、
ゼロdBゲイン
∡ = − ω だ 、
線形位相
τ
グ r
= −
d ∡
d ω
= だ 、
一定のグループ遅延
τ
p h
= −
∡
ω
= − だ 、
一定の位相遅延。
{\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB、&{\text{ゼロ dB ゲイン}}\\\measuredangle =-\omega D、&{\text{線形位相}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D、&{\text{一定の群遅延}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D、&{\text{一定の位相遅延。}}\end{cases}}}
サンプリングされたフィルタの単純な解は 、のサンプリングされた逆フーリエ変換であり 、 [6] によってシフトされた カーディナルサイン の形をした 非因果的 IIR フィルタを生成する。
h
私 d e 1つの l
[ ん ]
{\displaystyle h_{ideal}[n]}
H
私 d e 1つの l
（ ω ）
{\displaystyle H_{ideal}(\omega )}
s 私 ん c （ ）
{\displaystyle sinc()}
だ
{\displaystyle D}
h
私 d e 1つの l
[ ん ] =
ふ
− 1
[
H
私 d e 1つの l
（ ω ） ] =
1
2 π
∫
− π
+ π
e
じ ω だ
e
じ ω ん
d ω = s 私 ん c （ ん − だ ） =
s 私 ん （ π （ ん − だ ） ）
π （ ん − だ ）
{\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(nD)={sin(\pi (nD)) \over {\pi (nD)}}}
連続時間領域は 分数遅延によってシフトされますが、サンプリングは常に直交平面に揃えられるため、次のようになります。
s 私 ん c
{\displaystyle sinc}
遅延がサンプルの整数倍の場合 、サンプルされたシフトは 理論解と同様にシフトされたインパルスに退化します。
だ ∈
いいえ
{\displaystyle D\in \mathbb {N} }
s 私 ん c
{\displaystyle sinc}
遅延がサンプルの小数点以下の場合 、サンプルシフト によって非因果的な IIR フィルタが生成されますが、これは実際には実装できません。
だ ∈
R
{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
s 私 ん c
{\displaystyle sinc}
理想的な非整数遅延線は、連続時間領域非整数遅延フィルタの逆フーリエ変換をサンプリングすることによって得られます。整数遅延値の場合、このケースが単純にシフトされたインパルスに退化することに注目してください。このフィルタを使用してサンプリングされた信号を遅延することは、概念的には、サンプリング周期は同じですがサンプルの配置が シフトされたアナログ ソースを再サンプリングすることと一致します 。 また、画像にはゼロ付近のいくつかのサンプルのみが表示されていますが、非因果的 IIR は x 軸の両方向の無限数のサンプルに対して定義されていることに注意してください。
だ ∈
R
{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
切り捨てられた因果的FIRソリューション
概念的に最も簡単に実装できる解決策は、上記の単純な解決策の因果的切り捨てである。 [7]
h
τ
[ ん ] =
{
s 私 ん c （ ん − だ ）
のために
0 ≤ ん ≤ いいえ
0
さもないと
どこ
いいえ − 1
2
< だ <
いいえ + 1
2
そして
いいえ
フィルターの順序です。
{\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(nD)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}'',D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{はフィルターの次数です。}}}
ただし、インパルス応答を切り捨てると不安定性が生じる可能性がありますが、これはいくつかの方法で軽減できます。
E
L
S
=
1
2
π
∫
−
α
π
α
π
w
(
ω
)
|
H
D
t
r
u
n
c
a
t
e
d
(
e
j
ω
)
−
H
D
i
d
(
e
j
ω
)
|
2
d
ω
where
0
<
α
≤
1
is the passband width parameter
{\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}
ラグランジュ補間 （最大平坦分数遅延フィルタ）: [9] は、 最小二乗積分誤差の最初のN導関数に「平坦性」制約を追加します。この方法は、閉じた形式の解を持つため、特に興味深いものです。 ラグランジュ補間式のブロック図表現。 [10]
h
D
[
n
]
=
∏
k
=
0
,
k
≠
n
N
D
−
k
n
−
k
where
0
≤
n
≤
N
{\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}
以下は上記の式を展開したもので、 までの順序のフィルタの結果を表示します 。
N
=
3
{\displaystyle N=3}
オールパスIIR位相近似解 もう一つのアプローチは、Z変換構造を持つ次数の IIR フィルタ
を設計することである。このフィルタは、 遅延を 近似しながらも、強制的にオールパスフィルタとなる 。 [7]
N
{\displaystyle N}
D
{\displaystyle D}
H
D
(
z
)
=
z
−
N
A
(
z
)
A
(
z
−
1
)
=
a
N
+
a
N
−
1
z
−
1
+
.
.
.
+
a
1
z
−
(
N
−
1
)
+
z
−
N
1
+
a
1
z
−
1
+
.
.
.
+
a
N
−
1
z
−
(
N
−
1
)
+
a
N
z
−
N
which has
{
|
⋅
|
=
1
=
0
d
B
0
d
B
gain
∡
H
D
(
z
)
=
−
N
ω
+
2
∡
A
(
z
)
=
−
D
ω
desired value for delay
D
{\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}
の逆に配置された 零点と極 は それぞれ 周波数 応答を 平坦化するが、 位相は の位相の関数である 。したがって、問題は FIR フィルタ の設計、つまり位相が目的の値 に最も近づくように 係数を D の関数として求めることになる（常に であることに注意） 。 [7]
A
(
z
)
and
A
(
z
−
1
)
{\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}
|
⋅
|
{\displaystyle |\centerdot |}
A
(
z
)
{\displaystyle A(z)}
A
(
z
)
{\displaystyle A(z)}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
∡
H
D
(
z
)
=
−
D
ω
{\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }
主な解決策は次のとおりです。
最小二乗位相誤差の反復最小化 [2] は次のように定義される。
E
L
S
=
1
2
π
∫
−
π
π
w
(
ω
)
|
−
D
ω
⏟
∡
I
D
−
(
−
N
ω
+
2
∡
A
(
z
)
)
⏟
∡
H
⏟
Δ
∡
H
D
|
2
d
ω
{\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }
最小二乗 位相遅延 誤差の反復最小化 [2] は次のように定義される。
E
L
S
=
1
2
π
∫
−
π
π
w
(
ω
)
|
Δ
∡
H
D
ω
|
2
{\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}
最大限平坦な 群遅延 を持つThiran全極 ローパスフィルタ 。 [11] これにより、正の遅延の 係数を見つけるための閉じた解が得られる 。
a
k
{\displaystyle a_{k}}
D
>
0
{\displaystyle D>0}
a
k
=
(
−
1
)
k
(
N
k
)
∏
l
=
0
N
D
+
l
D
+
k
+
l
where
(
n
k
)
=
N
!
k
!
(
N
−
k
)
!
{\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}
以下は上記の式を展開したもので、 までの係数の結果を示しています 。
N
=
3
{\displaystyle N=3}
商業史 Eventide DDL 1745 デジタルディレイライン デジタル遅延線は、 1973年にニューヨークの ワトキンスグレン ロック フェスティバル のサマー ジャムで、60 万人の観客を前に遠くのスピーカー タワーに適切な遅延時間を提供するために、空気中の 音速を補正するために初めて使用されました。ニューヨーク市に拠点を置く Eventide Clock Works 社は、それぞれ 200 ミリ秒の遅延が可能なデジタル遅延デバイスを提供しました。4 つのスピーカー タワーはステージから 200 フィート (60 m) の位置に設置され、メイン ステージ スピーカーと遅延タワー間の音速を補正するために、信号は 175 ミリ秒遅延されました。さらに 6 つのスピーカー タワーがステージから 400 フィートの位置に設置され、350 ミリ秒の遅延が必要となり、さらに 6 つのタワーがステージから 600 フィートの位置に設置され、525 ミリ秒の遅延が供給されました。各Eventide DDL 1745モジュールには、1000ビットの シフトレジスタ チップ100個と特注の デジタル-アナログコンバーターが 含まれており、価格は3,800ドル（2023年時点で27,679ドルに相当）でした。 [12] [13]
参照
参考文献
^ 「Mサンプル遅延線」 。ccrma.stanford.edu 。 2023年7月6日 閲覧 。 ^ abcde ラークソ、ティモ I.;ヴェサ、ヴァリマキ。カルジャライネン、マッティ A. Laine、Unto K. (1996 年 1 月)、「ユニット遅延の分割 [FIR/オール パス フィルター設計]」、 IEEE Signal Processing Magazine 、vol. 13、いいえ。 1、30–60 ページ、 Bibcode :1996ISPM...13...30L、 doi :10.1109/79.482137 ^ Smith, Julius O.; Lee, Nelson (2008 年 6 月 5 日)、「Computational Acoustic Modeling with Digital Delay」、 Center for Computer Research in Music and Acoustics 、 2007 年 8 月 21 日 取得 ^ 「遅延線」 。ccrma.stanford.edu 。 2023年7月6日 閲覧 。 ^ 「オーディオアプリケーション向けデジタルフィルタ入門」 ccrma.stanford.edu 。 2023年7月6日 閲覧 。 ^ ab 「理想的な帯域制限（Sinc）補間」。ccrma.stanford.edu 。 2023年7月6日 閲覧 。 ^ abcdef Välimäki、Vesa (1998)。「分数遅延フィルタを使用した音響管の離散時間モデリング」。 ^ Harris, FJ (1978). 「離散フーリエ変換による調和解析のためのウィンドウの使用について」. Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51–83. doi :10.1109/proc.1978.10837. ISSN 0018-9219. S2CID 426548. ^ Hermanowicz, E. (1992). 「最大限に平坦な調整可能な FIR 遅延の重み係数の明示的な公式」. Electronics Letters . 28 (20): 1936. doi :10.1049/el:19921239. ^ Smith, Julius (2022年9月5日). 「ラグランジュ補間係数の明示的公式」. ccrma . ^ Thiran, J.-P. (1971). 「最大限に平坦なグループ遅延を持つ再帰デジタルフィルタ」. IEEE Transactions on Circuit Theory . 18 (6): 659–664. doi :10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN 0018-9324. ^ ナリア・サンチェス（2016年7月29日）「ワトキンス・グレン・フェスティバルを思い出す」、 Eventide Audio 、 2020年 2月20日 閲覧 ^ 「DDL 1745 デジタルディレイ」 。Eventide Audio 。 2023年7月22日 閲覧 。
さらに読む バリマキ、ベサ。ティモ、ラークソ。カルジャライネン、マッティ。レイン、アント (1996)。 「ユニット遅延の分割」。 IEEE 信号処理マガジン 。 13 (1): 30-60。 ビブコード :1996ISPM...13...30L。 doi :10.1109/79.482137 – IEEE Explore 経由。 Harris, Frederic J. (1978 年 1 月)。「離散フーリエ変換による調和解析のためのウィンドウの使用について」。IEEE の 議事録 。66 (1): 51–83。doi : 10.1109 /PROC.1978.10837。S2CID 426548 – IEEE Explore 経由。
外部リンク ジュリアス・スミス著 「デジタルフィルタ入門」 Julius Smith による スペクトルオーディオ信号処理 Julius Smith による 物理的なオーディオ信号処理 Valimaki Vesa による 分数遅延フィルタを使用した音響管の離散時間モデリング 
![{\displaystyle y[n]=x[nM]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40be9731d2f9971f62f4f5b6995068cc557545a6)
![{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180b260268ef119be0ea81daede2ca6c708dd0d1)
![{\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{ゼロ dB ゲイン}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{線形位相、}}\omega =2\pi fT_{s}{\text{、}}T_{s}{\text{は秒単位のサンプリング周期}}[s]です。\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbf6ae79953a07bbaada9ff38b6887211a55576)
![{\displaystyle h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c4337d2e89786faf8772e961c3d018318d944f)
![{\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e48e1acd34b29b9fc0c38a6fd28da43bc747c48)
![{\displaystyle h_{ideal}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1930205fc5eb87a56219a42b47d4e8043fcc7a)
![{\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(nD)={sin(\pi (nD)) \over {\pi (nD)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f90373718f1ae945a4d905fc4ad70684adbf9bd)
![{\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(nD)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}'',D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{はフィルターの次数です。}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925b9b1670137a5c7046c5db0a8a7a4aefcb7c5c)
![{\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(nD)sinc(nD)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21426c2e39afd8536796e94432b2a17e0af4765e)
![{\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{Dk \over {nk}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf446da4e273efa8d0165ff30f4dbfb361000a5)
