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数学において、外挿とは、ある変数と別の変数との関係に基づいて、元の観測範囲を超えてある変数の値を推定する手法の一種です。これは、既知の観測値間の推定値を生成する内挿に似ていますが、外挿はより大きな不確実性を伴い、無意味な結果を生み出すリスクが高くなります。外挿は、同様の手法が適用可能であると仮定して、手法を拡張することを意味する場合もあります。外挿は、人間の経験にも適用され、既知の経験を未知の領域または以前に経験したことのない領域に投影、拡張、または拡大することができます。そうすることで、未知のものを仮定することになります[ 1 ] （たとえば、運転手は現在見えている範囲を超えて道路状況を外挿することがあり、これらの外挿は正しい場合も間違っている場合もあります）。外挿法は、内部再構築問題に適用できます。
どの外挿法を適用するかを適切に選択するには、既存のデータポイントを生成したプロセスに関する事前知識が必要です。一部の専門家は、外挿法の評価に因果関係を用いることを提案しています。 [ 2 ]重要な質問としては、例えば、データが連続的、滑らか、周期的であると仮定できるかどうかなどが挙げられます。
線形外挿とは、既知のデータの端点に接線を引いて、その限界を超えて延長することを意味します。線形外挿は、ほぼ線形関数のグラフを延長する場合、または既知のデータからあまり遠く離れていない場合にのみ、良好な結果が得られます。
2 つのデータポイントが最も近い場合外挿されるのはそして線形外挿により、次の関数が得られます。
（これは線形補間と同じである）) 2 点以上を含めることが可能であり、含めるように選択されたデータ点に対して回帰のような手法で線形補間の傾きを平均化します。これは線形予測に似ています。
多項式曲線は、既知のデータ全体を通して、またはデータの端付近（線形外挿の場合は2点、二次外挿の場合は3点など）で作成できます。得られた曲線は、既知のデータの端を超えて延長することができます。多項式外挿は、通常、 ラグランジュ補間法、またはニュートン法の有限差分法を用いて、データに適合するニュートン級数を作成することによって行われます。得られた多項式は、データの外挿に使用できます。
高次多項式外挿は、十分な注意を払って使用する必要があります。上の図のサンプルデータセットと問題の場合、1次（線形外挿）を超える外挿では、使用できない値が得られる可能性があります。外挿値の誤差推定値は、多項式外挿の次数とともに大きくなります。これは、ルンゲ現象に関連しています。
円錐曲線は、既知のデータの端付近にある5つの点を用いて作成できます。作成された円錐曲線が楕円または円の場合、外挿するとループを描いて元の曲線に戻ります。放物線または双曲線を外挿しても元の曲線に戻ることはありませんが、X軸に対して湾曲する可能性があります。この種の外挿は、円錐曲線テンプレート（紙）またはコンピュータを使用して行うことができます。
フランス曲線外挿法は、指数関数的な傾向を持つものの、加速または減速する要因を持つあらゆる分布に適した方法です。[ 3 ]この方法は、1987年以降の英国におけるHIV/AIDSの増加予測や、長年にわたる英国における変異型CJDの予測に成功裏に使用されてきました。別の研究では、外挿法はより複雑な予測戦略と同等の精度の予測結果を生み出すことができることが示されています。[ 4 ]
数列の 3 つの点と「モーメント」または「インデックス」を使用して作成できるこのタイプの外挿法は、既知の数列データベース (OEIS) の大部分で予測精度が 100% です。[ 5 ]
誤差予測を伴う外挿の例 ：
一般的に、特定の外挿法の精度は、その方法が関数に関して行う仮定によって制限されます。データが滑らかであると仮定する手法では、滑らかでない関数は適切に外挿されません。
複雑な時系列に関しては、因果関係の分解を通して外挿を行うと、より正確な結果が得られることが一部の専門家によって発見されている。[ 6 ]
関数に関する適切な仮定を置いたとしても、外挿は関数から大きく乖離する可能性があります。典型的な例は、 sin( x ) および関連する三角関数の切り捨てべき級数表現です。たとえば、x = 0 付近のデータのみを使用すると、関数は sin( x ) ~ xのように振る舞うと推定できます。x = 0の近傍では、これは優れた推定値です。しかし、 x = 0 から離れると、 sin( x ) が区間[ −1 , 1] 内に留まる一方で、外挿はx軸から任意に離れていきます。つまり、誤差は際限なく増加します。
x = 0 付近の sin( x ) のべき級数の項を増やすと、x = 0付近のより広い区間でより良い一致が得られますが、線形近似よりもさらに速くx軸から離れて外挿されることになります。
この乖離は外挿法特有の性質であり、外挿法が想定する関数形式（意図的か否かは別として、追加情報によって）が外挿対象関数の性質を正確に表している場合にのみ回避されます。特定の問題においては、このような追加情報が入手可能な場合もありますが、一般的には、実行可能な範囲の少ない潜在的な挙動で、考えられるすべての関数挙動を網羅することは不可能です。
複素解析では、変数変換によって外挿問題を内挿問題に変換することができる。この変換は、単位円の内側の複素平面の部分と、単位円の外側の複素平面の部分を交換します。具体的には、無限遠点のコンパクト化点が原点に、原点がコンパクト化点に写像されます。ただし、この変換には注意が必要です。元の関数には、サンプリングされたデータからは明らかにならない極やその他の特異点など、無限遠点における「特徴」が存在する可能性があるためです。
外挿におけるもう一つの問題は、解析接続の問題と緩やかに関連している。解析接続では、（一般的に）関数のべき級数表現を収束点の1つで展開し、より大きな収束半径を持つべき級数を生成する。つまり、小さな領域からのデータセットを用いて、関数をより広い領域に外挿するのである。
繰り返しになるが、解析的継続は、初期データからは明らかにならなかった関数特性によって妨げられる可能性がある。
また、パデ近似やレヴィン型数列変換などの数列変換を外挿法として用いること で、元の収束半径の外側で発散するべき級数の 総和が得られる場合もある。この場合、多くの場合、 有理近似が得られる。
外挿論法は、ある事柄が真であることが知られている値の範囲を超えても、おそらく真であると主張する、非公式かつ定量化されていない論法です。例えば、拡大鏡を通して見たものが肉眼で見たものと一致するだけでなく、それを超える範囲にも及ぶため、私たちは拡大鏡を通して見たものの現実性を信じます。光学顕微鏡を通して見たものが拡大鏡を通して見たものと一致するだけでなく、それを超える範囲にも及ぶため、私たちは光学顕微鏡を通して見たものの現実性を信じます。電子顕微鏡についても同様です。このような論法は、動物実験から人間への外挿や、予備研究からより広範な集団への外挿において、生物学で広く用いられています。[ 7 ]
滑りやすい坂道論証と同様に、外挿論証も、外挿が既知の範囲をどれだけ超えているかなどの要因によって、強い場合も弱い場合もある。[ 8 ]
![{\displaystyle {\text{数列}}=[1,2,3,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9b4d997f2b4dd528ab7b31b8e3ca8b6acd8709)
