内部の再建

デジタル画像処理における反復再構成において、内部再構成（限定視野（LFV）再構成とも呼ばれる）は、画像データを狭い視野に制限することによって生じる切り捨てアーティファクトを修正する技術です。再構成は、関心領域（ROI）と呼ばれる領域に焦点を当てます。内部再構成は歯科または心臓CT画像に適用できますが、その概念はCTに限定されません。いくつかの方法のいずれかで適用されます。

各方法の目的は、次の問題のベクトルを解くことです。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

を関心領域 (ROI)、を の外側の領域とします。、、は既知の行列であり、および は元の画像の未知のベクトルであり、およびは応答のベクトル測定値 (は既知で、は未知) であると仮定します。 は領域 の内側、( ) であり、領域 の内側、( ) は領域 の外側にあります。は、に対応する測定値内の領域内にある。この領域は、( )と表され、 は領域 の外側にある。 は に対応し、、 ( ) と表される。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle g}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$

CT 画像の再構成を目的として、. ${\displaystyle C=0}$

内部再構成の概念を簡素化するために、複素演算子の代わりに、、、の行列が画像再構成に適用されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

以下に挙げる最初の内部再構成法は外挿法です。これは、切り捨てアーティファクトを排除するローカル トモグラフィー法ですが、別の種類のアーティファクトであるボウル効果が発生します。改善策は適応外挿法として知られていますが、以下の反復外挿法も再構成結果を改善します。場合によっては、内部再構成の正確な再構成を見つけることができます。以下のローカル逆法は、ローカル トモグラフィー法を修正し、ローカル トモグラフィーの再構成結果を改善する可能性があります。反復再構成法は、内部再構成に適用できます。上記の方法の中で、外挿法がよく適用されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A}$、、は既知の行列です。およびは未知のベクトルです。は既知のベクトルで、は未知のベクトルです。ベクトル を知る必要があります。およびは元の画像で、およびは応答の測定値です。ベクトルは関心領域、( ) の内側にあります。ベクトルは領域 の外側にあります。外側の領域は、( ) と呼ばれ、に対応する測定値の領域内にあります。この領域は、( ) で示されます。ベクトルの領域(領域 の外側) も に対応し、 、( )で示されます。CT 画像再構成では、 ${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle g}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle C=0}$

内部再構成の概念を簡素化するために、複素演算子の代わりに、、、の行列が画像再構成に適用さ れます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

外側の領域での応答は推測である可能性があります。たとえば、次のように仮定します。${\displaystyle G}$${\displaystyle g_{ex}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{ex}\end{bmatrix}}}$

の解はと書かれ、外挿法として知られています。結果は外挿関数の精度に依存します。よく選ばれるのは ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g_{ex}}$

${\displaystyle g_{ex}|_{\partial G}=f|_{\partial F}}$

2つの領域の境界で^{[1] [2] [3] [4]} 外挿法は事前知識と組み合わせられることが多く^{[5] [6]}、計算時間を短縮する外挿法を以下に示します。

大まかな解を仮定し、は上記の外挿法から得られます。外側の領域での応答は次のように計算できます。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle g_{1}}$

${\displaystyle g_{1}=Cx_{0}+Dy_{0}}$

再構成された画像は次のように計算できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{1}+g_{1ex}\end{bmatrix}}}$

と想定される

${\displaystyle f|_{\partial F}=(g_{1}+g_{1ex})|_{\partial G}}$

内部領域の境界で問題を解き、適応外挿法として知られています。 適応外挿関数です。^{[7] [8] [9] [10] [5]}${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle g_{1ex}}$

大まかな解およびは、以下に説明する外挿法から得られるものと仮定します。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}\\g_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\y_{0}\end{bmatrix}}}$

または

${\displaystyle f_{1}=By_{0}}$

再構成は次のように得られる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f-f_{1}\\g_{ex}\end{bmatrix}}}$

ここで外挿関数は次のように仮定される。 ${\displaystyle g_{1ex}}$

${\displaystyle (f-f_{1})|_{\partial F}=g_{1ex}|_{\partial G}}$

${\displaystyle x_{1}}$この問題の解決策の一つである。^[11]

非常に短いフィルターを用いた局所トモグラフィーは、ラムダトモグラフィーとも呼ばれます。^{[12] [13]}

局所逆法は局所トモグラフィーの概念を拡張します。外部領域の応答は次のように計算できます。

${\displaystyle f=Ax+By}$

を満たす 一般逆元を考える。${\displaystyle B^{+}}$

${\displaystyle BB^{+}B=B}$

定義する

${\displaystyle Q=[I-BB^{+}]}$

となることによって

${\displaystyle QB=0}$

したがって、

${\displaystyle Qf=QAx}$

上記の式は次のように解くことができる。

${\displaystyle x_{1}=A^{+}Q^{+}Qf}$、

それを考慮すると

${\displaystyle QQ=Q}$

${\displaystyle QQQ=Q}$

${\displaystyle Q}$は の一般逆関数であり、すなわち ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q^{+}=Q}$

解決策は次のように簡略化できる。

${\displaystyle x_{1}=A^{+}Qf}$。

行列は 行列 の局所逆行列として知られ、 に対応する。これは局所逆行列法として知られている。^[11]${\displaystyle A^{+}Q=A^{+}[I-BB^{+}]}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A}$

ここでは目標関数が定義され、この方法は反復的に目標を達成します。目標関数が何らかの正規分布になる場合、これは最小ノルム法として知られています。

${\displaystyle \min(R\|x\|+S\|y\|+T\|g\|)}$、

対象となる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}}$

そして 知られている、 ${\displaystyle f}$

ここで、、およびは最小化の重み定数であり、はある種のノルムである。よく使われるノルムは、、、、全変動（TV）ノルム、または上記ノルムの組み合わせである。この方法の例として、凸集合への射影（POCS）法がある。^{[14] [15]}${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle L_{+\infty }}$

特殊な状況では、内部再構成は解析解として得られる。そのような場合には、の解は正確である。^{[16] [17] [18]}${\displaystyle x}$

外挿されたデータは、しばしばカーネル関数に畳み込まれます。データが外挿されると、そのサイズはN倍に増加します。ここで、N  = 2 ~ 3 です。データを既知のカーネル関数に畳み込む必要がある場合、数値計算は、高速フーリエ変換(FFT)を使用しても、 log( N )· N倍に増加します。外挿されたデータの一部からの寄与を解析的に計算するアルゴリズムが存在します。元の畳み込み計算と比較して、計算時間を省略できます。このアルゴリズムを使用すると、外挿されたデータを使用した畳み込みの計算は著しく増加しません。これは高速外挿として知られています。^[19]

外挿法は次のような状況に適しています。

${\displaystyle |x|>|y|}$そして${\displaystyle |X|>|Y|}$

つまり、小さな切り捨てアーティファクトの状況です。

適応外挿法は、次のような状況に適しています。

${\displaystyle |x|\sim |y|}$そして${\displaystyle |X|\sim |Y|}$

つまり、通常の切り捨てアーティファクトの状況です。この方法は、外部領域に対しても大まかな解決策を提供します。

反復外挿法は、次のような状況に適しています。

${\displaystyle |x|\sim |y|}$そして${\displaystyle |X|\sim |Y|}$

つまり、通常の切り捨てアーティファクトの状況です。この方法は、適応再構成に比べて内部再構成が向上しますが、外部領域の結果は失われます。

局所トモグラフィーは、次のような状況に適しています。

${\displaystyle |x|\ll |y|}$そして${\displaystyle |X|\ll |Y|}$

つまり、切り捨てアーティファクトが最も大きい状況です。この方法では切り捨てアーティファクトはありませんが、再構成には固定の誤差（ の値とは無関係）があります。${\displaystyle |y|}$

局所逆法は局所トモグラフィーと同じで、次のような状況に適しています。

${\displaystyle |x|\ll |y|}$そして${\displaystyle |X|\ll |Y|}$

つまり、最も大きな切り捨てアーティファクトの状況です。この方法では切り捨てアーティファクトはありませんが、再構成には固定の誤差（ の値とは無関係）があり、局所トモグラフィーよりも小さくなる可能性があります。${\displaystyle |y|}$

反復再構成法は、大規模な計算で良好な結果を得られます。解析的方法は正確な結果を達成しますが、一部の状況でのみ機能します。高速外挿法は、他の外挿法と同じ結果を得ることができ、上記の内部再構成法に適用して計算を減らすことができます。

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