イコサゴン

正二十角形
正二十角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	20
シュレーフリ記号	{20}、t{10}、tt{5}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 20）、次数 2×20
内角（度）	162°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学では、二十角形または20角形は20辺の多角形です。任意の二十角形の内角の合計は3240度です。

正二十角形はシュレーフリ記号 {20}で表され、切頂 十角形t{10}や、二度切頂五角形tt {5}として表すこともできます。

正二十角形の 1 つの内角は162° なので、1 つの外角は 18° になります。

辺の長さがtの 正二十角形の面積は

${\displaystyle A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687t^{2}.}$

外接円の半径Rに関して、面積は

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);}$

円の面積は正二十角形なので、その外接円の約 98.36% を占めます。 ${\displaystyle \pi R^{2},}$

米国の人気のゲーム番組「ザ・プライス・イズ・ライト」に登場するビッグホイールは、断面が二十角形です。

ウィリアム・シェイクスピア劇団が使用していた野外劇場「グローブ座」は、1989年に部分的な発掘調査が行われたときに、二十角形の基礎の上に建てられていたことが判明した。^[1]

卍は五角形の道として、不規則な二十角形であると考えられている。^[2]

正方形、五角形、二十角形は平面の頂点を完全に埋めることができます。

20 = 2 ² × 5なので、正 20 角形はコンパスと定規、または正10 角形の辺を二等分するか、正5 角形を 2 回二等分することで作図できます。

• 与えられた辺の長さを持つ作図において、半径CDを持つC の周りの円弧は、黄金比の比で線分E ₂₀ F を共有します。

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \約 1.618}$

正二十角形は、Dih ₂₀対称性、位数 40 を持ちます。 5 つのサブグループ二面体対称性(Dih ₁₀、 Dih ₅ )、(Dih ₄、 Dih ₂、 Dih ₁ )があり、 6 つの巡回グループ対称性(Z ₂₀、 Z ₁₀、 Z ₅ )、 ( Z ₄、 Z ₂、 Z ₁ ) があります。

これらの 10 個の対称性は、二十角形上の 16 個の異なる対称性で確認できます。この数は、反射線が頂点または辺のいずれかを通過する可能性があるため、より多くなります。ジョン・コンウェイは、これらを文字とグループの順序でラベル付けしています。^[3]正則形式の完全な対称性はr40で、対称性がない場合はa1とラベル付けされます。二面体対称性は、頂点 (対角の場合はd )を通過するか、辺 (垂直の場合はp ) を通過するかによって分類され、反射線が辺と頂点の両方を通過する場合はiと分類されます。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序によりgとラベル付けされています。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g20サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

最も対称性の高い不規則な二十角形は、長辺と短辺が交互になる 10 枚の鏡で構成された等角二十角形のd20と、辺の長さは同じだが頂点の内角が交互になる等角二十角形のp20です。これら 2 つの形状は互いに双対であり、正二十角形の半分の対称順序を持ちます。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。^[4] 特に、これは辺の数が同じ正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形になります。イコサゴンの場合、m =10であり、5 つの正方形と 4 セットの 10 個の菱形の 45 個に分割できます。この分解は、11520 面のうち 45 個を持つ10 角形のペトリ多角形投影に基づいています。リストOEIS : A006245には、最大 20 回の回転と反射のキラル形式を含め、解の数が 18,410,581,880 と列挙されています。

イコサグラムは20 辺の星型多角形で、記号{20/n}で表されます。シュレーフリ記号によって与えられる正規形は 3 つあります: {20/3}、{20/7}、および{20/9}。また、同じ頂点配置を使用する正規の星型図形 (複合図形) は 5 つあります: 2{10}、4{5}、5{4}、2{10/3}、4{5/2}、および10{2}。

正十角形と正十四角形をさらに深く切断すると、等間隔の頂点と2つの辺の長さを持つ等角（頂点推移的）な中間イコサグラム形式が生成されます。 ^[5]

正二十四角形{20/9}は、準切頂十角形t{10/9}={20/9}と見ることができます。同様に、十四角形{10/3}は準切頂t{10/7}={20/7}を持ち、最終的に十四角形の単純な切頂はt{10/3}={20/3}になります。

正二十角形は、コクセター平面への直交投影で示される、いくつかの高次元多面体のペトリー多角形です。

これは、正二十面体 120 セル、小星型 120 セル、大正二十面体 120 セル、大大正 120 セルのペトリー多角形でもあります。

• 多角形と多面体の命名
• 二十角形