ホップ最大原理

ホップの最大値原理は、2階楕円型偏微分方程式の理論における最大値原理であり、その理論の「古典的かつ基礎的な結果」と評されています。1839年にガウスによって既に知られていた調和関数に対する最大値原理を一般化し、エーベルハルト・ホップは1927年に、関数がR ⁿの領域で特定の種類の2階偏微分不等式を満たし、その領域で最大値をとるならば、その関数は定数であることを証明しました。ホップの証明の背後にある単純なアイデア、すなわち彼がこの目的のために導入した比較手法は、膨大な範囲の重要な応用と一般化につながっています。

u = u ( x ) 、x = ( x ₁ , ..., x _n ) を微分不等式を満たすC ²関数とする。

${\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

開領域( R ⁿの連結開部分集合) Ωにおいて、対称行列a _ij = a _ji ( x ) はΩ内で局所的に一様正定値であり、係数a _ij、b _i は局所的に有界である。u がΩ内で最大値Mを取る場合、u ≡ Mとなる。

係数a _ij、b _iは単なる関数です。これらが連続であることが分かっている場合、定義域におけるa _ij の各点における正定値性を要求すれば十分です。

ホップの最大値原理は、線形微分作用素Lにのみ適用されると一般的に考えられている。特に、クーランとヒルベルトの『数理物理学の方法』ではこの見解が採用されている。しかし、ホップは自身の論文の後半で、特定の非線形作用素Lを許容するより一般的な状況を考察し、場合によっては、平均曲率作用素とモンジュ・アンペール方程式に関するディリクレ問題における一意性に関する記述につながることを明らかにした。

ドメインが${\displaystyle \Omega }$内部球体特性を持つ（例えば、${\displaystyle \Omega }$滑らかな境界を持つ場合）、もう少し詳しく言うことができます。上記の仮定に加えて、${\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }})}$そして、u は点x ₀で最大値Mを取る。${\displaystyle \partial \Omega }$すると、 x ₀における任意の外向き方向 ν に対して、次の式が成り立つ。${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0}$ない限り${\displaystyle u\equiv M}$[ ^{1 ]​}

• ホップ、エーベルハルト（2002）、モラウェッツ、キャスリーン S.、セリン、ジェームズ B.、シナイ、ヤコフ G.（編）、『エーベルハルト・ホップ選集（解説付き）』、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2077-XMR 1985954​ 。
• Pucci, Patrizia; Serrin, James (2004)、「強最大値原理の再検討」、Journal of Differential Equations、196 (1): 1–66、Bibcode : 2004JDE...196....1P、doi : 10.1016/j.jde.2003.05.001、MR 2025185 。