半楕円演算子

数学、特に偏微分方程式の理論において、半楕円型演算子は、楕円型演算子であることの条件よりもわずかに弱い正値条件を満たす偏微分演算子です。すべての楕円型演算子は半楕円型でもあり、半楕円型演算子は楕円型演算子の優れた特性の多くを共有しています。たとえば、同じ存在理論と一意性理論の多くを適用でき、半楕円型ディリクレ問題は確率解析の方法を使用して解くことができます。

n次元ユークリッド空間R ⁿの開集合Ω上に定義された2階偏微分作用素 Pは、適切な関数fに次のように 作用する。

${\displaystyle Pf(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+c(x)f(x),}$

行列a ( x ) = ( a _ij ( x ))のすべての固有値λ _i ( x ), 1 ≤  i  ≤  nが非負の場合、 P は半楕円型であると言われます。(対照的に、すべての x ∈ Ω および 1 ≤ i ≤ n に対して λ i ( x ) > 0 の場合、 P は楕円型で ある と 言わ れます_。また、固有値がi と x に関して一様にゼロから一様に制限されている場合、一様楕円型であると言われます。) 同様に、行列a ( x ) が各x ∈ Ωに対して半正定値である場合、 Pは半楕円型です 。

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門(第 6 版). ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。（第9節参照）