リープ・ロビンソン境界

リーブ・ロビンソン境界は、非相対論的量子システムで情報が伝播できる速度の理論的な上限です。これは、光速度の相対的限界を無視した場合でも、量子理論では情報が瞬時に移動することはできないことを示しています。このような有限の速度の存在は、1972 年にElliott H. LiebとDerek W. Robinsonによって数学的に発見されました。 ^[1]これにより、物理システムの局所性特性がこの速度の存在と上限になります。この境界は現在、リーブ・ロビンソン境界として知られており、速度はリーブ・ロビンソン速度として知られています。この速度は常に有限ですが、対象とするシステムの詳細に応じて普遍的ではありません。有限範囲、たとえば最近傍相互作用の場合、この速度は移動距離に関係なく一定です。長距離相互作用システムでは、この速度は有限のままですが、移動距離とともに増加する可能性があります。^{[2] [3]}

量子光学、量子情報理論、原子物理学、凝縮物質物理学などの量子システムの研究では、情報の伝播速度には限りがあるということを知っておくことが重要です。相対性理論は、情報、あるいは他のいかなるものも、光速より速く伝わることはできないことを示しています。しかし、非相対論的力学（ニュートンの運動方程式または量子力学のシュレーディンガー方程式）を考慮すると、情報の伝播速度に制限はないと考えられてきました。しかし、格子状に配置された原子の特定の種類の量子システム（しばしば量子スピンシステムと呼ばれる）ではそうではありません。これは概念的にも実際的にも重要です。なぜなら、それは短期間ではあるがシステムの離れた部分が独立して動作することを意味するからです。

リープ・ロビンソン限界の実用的な応用例の1つは量子コンピューティングです。原子のようなユニットで構築された量子コンピュータを構築する現在の提案は、情報の急速な拡散を防ぐために、この有限の伝播速度の存在に主に依存しています。^{[4] [3]}

境界を定義するには、まず、それぞれが有限次元のヒルベルト空間を持つ複数のユニットで構成される量子力学システムに関する基本的な事実を記述する必要があります。

リープ・ロビンソン境界は、正方格子などの 次元格子 (または)上で考慮されます。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu =1,2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{2}}$

各点にはヒルベルト空間の状態が関連付けられます 。この空間の次元は有限ですが、2008 年に無限次元を含むように一般化されました (以下を参照)。これは量子スピン システムと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle x\in \Gamma }$

格子の任意の有限部分集合に対して、関連するヒルベルト空間はテンソル積で与えられる。 ${\displaystyle X\subset \Gamma }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}=\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{x}}$。

有限集合上でサポートされている（つまり、有限集合のみに依存する）観測 可能量は、ヒルベルト空間上の線型作用素です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X\subset \Gamma }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$

が有限次元のとき、上の線形演算子の集合に及ぶ演算子の有限基底を選択します。すると、 上の任意の観測可能量は、上の基底演算子の和として表すことができます 。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$

システムのハミルトニアンは相互作用 によって記述されます。相互作用は有限集合からでサポートされている自己随伴観測量への関数です。相互作用 は有限範囲 (つまりのサイズが特定の規定サイズを超えても) および変換不変であると想定されます 。これらの要件は後に解除されました。^{[2] [5]}${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle X\subset \Gamma }$${\displaystyle \Phi (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi (X)=0}$${\displaystyle X}$

通常、並進不変性が仮定されるが、そうする必要はない。相互作用がそのドメイン上で上と下に有界であると仮定するだけで十分である。したがって、その境界はハミルトニアンの変化を許容するという意味において非常に堅牢である。しかし、有限範囲は必須である。相互作用が有限範囲であるとは、直径が相互作用より大きい任意の集合に対してがゼロとなる有限数が存在する場合、つまり であるときである。この要件も後に撤廃された。^{[2] [5]}${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Phi (X)=0}$

相互作用のあるシステムのハミルトニアンは次のように正式に定義されます。 ${\displaystyle \Phi}$

${\displaystyle H_{\Phi }=\sum _{X\subset \Gamma }\Phi (X)}$。

量子力学の法則によれば、物理的に観測可能なあらゆる量には自己随伴演算子が存在する。有限の台を持つあらゆる観測可能量に対して、ハミルトニアンは 観測可能量の変換の連続的な1パラメータ群を定義し、 それは次のように与えられる 。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau_{t}}$${\displaystyle \tau_{t}}$

${\displaystyle A(t)=e^{itH_{\Phi }}Ae^{-itH_{\Phi }}.}$

ここで、は時間の物理的な意味を持ちます。（技術的に言えば、この時間発展は、ノルム収束級数として知られている冪級数展開によって定義されます。 ^[6]定理7.6.2を参照してください。これは、 ^[7]からの応用です。より厳密な詳細は、 ^[1]にあります。） ${\displaystyle t}$${\displaystyle A(t)=A+it[H,A]+{\frac {(it)^{2}}{2!}}[H,[H,A]]+\cdots }$

問題となっている境界は^[1]で証明されており、次のようになります。 それぞれ有限の台とを持つ任意の観測量および、 任意の時間に対して、いくつかの正の定数およびに対して次が成り立ちます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\subset \Gamma }$${\displaystyle Y\subset \Gamma }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a,c}$${\displaystyle v}$

ここで、 は集合と の間の距離を表します。演算子 は 演算子 と の交換子と呼ばれ、記号 は演算子 のノルム、つまりサイズを表します。境界は量子システムの状態とは関係なく、ダイナミクスを支配するハミルトン係数のみに依存します。^[要出典]この演算子境界が確立されると、システムのどの状態にも必ず適用されます。 ${\displaystyle d(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|O\|}$${\displaystyle O}$

正の定数は、観測可能な量と のノルム、サポートとのサイズ、相互作用、格子構造、ヒルベルト空間 の次元に依存します。 正の定数は、相互作用と格子構造のみに依存します。 は十分に大きい値に選択すれ ば、自由に選択できます。言い換えると、光円錐 上で外側に行くほど、指数関数的減衰率は急になります。(後の研究では、著者は を固定定数と見なす傾向がありました。) この定数は 、群速度またはリープ・ロビンソン速度と呼ばれます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle d(X,Y)/v|t|}$${\displaystyle d(X,Y)-v|t|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle v}$

境界値（1 ）は、速度が より大きい時空光線に沿った速度依存の減衰率を導いた元の論文の式とは少し異なっている。^[1]このより明確な形式（1）は、境界値の証明からわかる^。[1]${\displaystyle v_{LR}}$

Lieb–Robinson 境界は、時間に対して右側のノルムが指数的に小さいことを示しています。これが、上で述べた指数的に小さい誤差です。 ${\displaystyle |t|<d(X,Y)/v}$

Lieb–Robinson 境界の左側の交換子を考慮する理由は次のとおりです。

観測可能値とそれらのサポートが互いに素である場合、それらの間の交換子はゼロになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

逆もまた真です。観測可能量が、ある集合の外部でサポートされている任意の観測可能量との交換子がゼロになるような場合、 は集合 内にサポートを持ちます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

この命題は、次の意味でも近似的に正しい: ^[8]ある観測量と集合の外部でサポートされている任意の観測量に対してとなるような ものが存在すると仮定する。すると、集合の内部でサポートされている観測量が存在し、それが観測量 を近似する、すなわち となる。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \|[A,B]\|\leq \epsilon \|B\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A(\epsilon )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|A-A(\epsilon )\|\leq \epsilon }$

したがって、リープ・ロビンソン境界は、集合 のサポートを持つ観測量の時間発展が、集合 の -近傍でサポートされている（指数関数的に小さな誤差まで）ことを意味しています。ここで、はリープ・ロビンソン速度です。この集合の外側では、 の影響はありません。言い換えると、この境界は、量子スピン システムにおける摂動の伝播速度が制限されていることを主張しています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta <v|t|}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$

^[9]でRobinsonは、指数関数的に減衰する相互作用（並進不変である必要はない）を考慮することによって境界（1 ）を一般化した。すなわち、相互作用の強さは集合の直径とともに指数関数的に減衰する。この結果は、 ^{[10]の第6章で詳細に議論されている。2004年にHastings [11]}がLieb-Schultz-Mattisの定理にそれを適用するまで、Lieb-Robinson境界に大きな関心は示されなかった。その後、NachtergaeleとSims ^[12]は[9]の結果を拡張して、計量を持つ頂点上のモデルを含め、相関の指数関数的減衰を導出した。2005年から2006年にかけて、相関の指数関数的減衰へのさらなる応用により、Lieb-Robinson境界への関心が高まった（^{[2] [5] [13]}および以下のセクションを参照）。境界の新しい証明が開発され、特に（1）の定数はヒルベルト空間の次元に依存しないように改良された。

（１ ）の定数にはさらにいくつかの改良が行われた。^[14] 2008年にリーブ・ロビンソンの境界は、それぞれが無限次元の場合に拡張された。^{[15] [15]} では、オンサイト無制限摂動はリーブ・ロビンソンの境界を変えないことが示された。つまり、有限部分集合上で次の形式のハミルトニアンを考えることができる。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{x}}$${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$

${\displaystyle H_{\Lambda }=\sum _{x\in \Lambda }H_{x}+\sum _{X\subset \Lambda }\Phi (X),}$

ここで は上の自己随伴演算子であり、有界である必要はありません。 ${\displaystyle H_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$

リープ・ロビンソン境界は、特定の連続量子系、すなわち一般調和ハミルトニアン^[15]に拡張され、有限体積（ここでは正の整数）において次の形をとる。 ${\displaystyle \Gamma _{L}=(-L,L)^{d}\cap \mathbb {Z} ^{d},}$${\displaystyle L,d}$

${\displaystyle \sum _{x\in \Gamma _{L}}p_{x}^{2}+\omega ^{2}q_{x}^{2}+\sum _{x\in \Gamma _{L}}\sum _{j=1}^{\nu }\lambda _{j}(q_{x}-q_{x+e_{j}})^{2},}$

ここで、周期境界条件が課され、。ここでは の標準基底ベクトルです。 ${\displaystyle \lambda _{j}\geq 0}$${\displaystyle \omega >0}$${\displaystyle \{e_{j}\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

オンサイトおよびマルチサイト摂動を伴う非調和ハミルトニアンが検討され、それらに対するリーブ・ロビンソン境界が導出された。^{[15] [16]} 調和格子のさらなる一般化が議論された。^{[17] [18]}

Lieb-Robinson 境界の別の一般化は不可逆ダイナミクスに対して行われ、その場合、ダイナミクスにはハミルトン部分と散逸部分があります。散逸部分は Lindblad 形式の項で記述されるため、ダイナミクスはLindblad-Kossakowskiマスター方程式を満たします。 ${\displaystyle \tau _{t}}$

不可逆ダイナミクスのリープ・ロビンソン境界は、古典的な文脈では^{[13]で、有限範囲相互作用を持つ量子格子システムのクラスでは[19]}で検討されました。空間で適度に速く減衰し、時間に依存する可能性のあるハミルトン相互作用と散逸相互作用の両方によって生成されるダイナミクスを持つ格子モデルに対するリープ・ロビンソン境界は、^[20]によって証明され、そこでは完全に正の写像を保存する単位保存の強連続コサイクルとしての無限ダイナミクスの存在も証明されました。

リープ・ロビンソン境界は、べき乗則として減衰する相互作用にも一般化されました。つまり、相互作用の強さの上限は、集合の直径で、正の定数で、 です。^{[2] [21] [22] [3]}べき乗則相互作用で局所性が持続するかどうかを理解することは、トラップされたイオン、リュードベリ原子、極低温原子や分子などのシステムに重大な影響を及ぼします。 ${\displaystyle 1/r^{\alpha },}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$

情報が一定の速度でしか伝わらない有限範囲の相互作用システムとは対照的に、べき乗則相互作用では、情報は距離とともに増加する速度で伝わります。^[23]したがって、べき乗則相互作用のリープ–ロビンソン境界は、通常、限界で漸近的に線形であるサブ線形光円錐をもたらします。量子シミュレーションアルゴリズムを使用した最近の分析^{[いつ？ ]}は、光円錐を示唆しました。ここで、はシステムの次元です。^[3] べき乗則相互作用の光円錐の強化は、現在でも活発な研究分野です。 ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty .}$${\displaystyle t\gtrsim r^{(\alpha -2D)(\alpha -D)}}$${\displaystyle D}$

リープ・ロビンソン境界は、数理物理学の多くの分野で使用されています。この境界の主な応用としては、量子シミュレーション アルゴリズムの誤差境界、熱力学的極限の存在、相関の指数関数的減衰、リープ・シュルツ・マティスの定理などがあります。

デジタル量子シミュレーションの目的は、最小の基本量子ゲートを使用して量子システムのダイナミクスをシミュレートすることです。粒子と最近傍相互作用するシステムの場合、リー積公式を使用して時間の経過に伴うダイナミクスをシミュレートするには、量子ゲートが必要です。2018 年に、Haah ら^{[4] は}、量子ゲートのみを使用するほぼ最適な量子アルゴリズムを提案しました。そのアイデアは、システムのダイナミクスを、空間的に分離されたサブシステムのダイナミクスで近似するというものです。近似の誤差は、元の Lieb-Robinson 境界によって制限されます。その後、このアルゴリズムはべき乗則相互作用に一般化され、その後、より強力な Lieb-Robinson 境界を導出するために使用されます。^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(n^{2}t^{2})}$${\displaystyle O(nt\log(nt))}$

バルク物質の特性を記述することを目的としたモデルの重要な特性の 1 つは、熱力学的限界の存在です。これは、システムの固有の特性は、あらゆる実験設定において有限であるシステムのサイズとは本質的に無関係であるべきであることを示しています。

平衡の観点から見た静的熱力学極限は、Lieb–Robinson 限界が証明されるずっと前に決まっていました。例えば^[6]を参照してください。場合によっては、Lieb–Robinson 限界を使用して、無限格子に対するダイナミクスの熱力学極限、の存在を有限格子ダイナミクスの極限として確立できます。この極限は通常、有限部分集合 の増加シーケンス、つまり に対して包含 が存在するように考えられます。無限ダイナミクスを強連続な 1 パラメータの自己同型群として存在を証明するために、 がコーシー列であり、したがって収束することが証明されました。基本的な考察により、熱力学極限の存在がわかります。熱力学極限のより詳細な説明は^{、[24] の}セクション 6.2 にあります。${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Gamma }$${\displaystyle n<m}$${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Lambda _{m}}$${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$${\displaystyle \{\tau _{t}^{\Lambda _{n}}\}_{n}}$

ロビンソンは、指数関数的に減少する相互作用の熱力学的極限の存在を初めて示した人物である。^[9]その後、ナハターガエレら^{[5] [16] [20]は}、上記の「リープ・ロビンソン境界の改良」のセクションで説明したほぼすべてのタイプの相互作用に対して無限体積ダイナミクスの存在を示した。

状態 における観測量の期待値を とします。2つの観測量との間の相関関数は次のように定義されます。${\displaystyle \langle A\rangle _{\Omega }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }.}$

リープ・ロビンソン境界は、非縮退基底状態以上のエネルギーギャップを 持つシステムでは相関が距離とともに指数関数的に減少することを示すために用いられる。^{[2] [12]}言い換えれば、不等式 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle |\langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }|\leq K\|A\|\|B\|\min(|X|,|Y|)\ e^{-a\,d(X,Y)},}$

は、それぞれ集合と集合内のサポートを持つ観測可能量とに対して成立します。ここで、とには定数があります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a}$

あるいは、状態を積状態としてとらえることも可能であり、その場合には相関は基底状態より上のエネルギーギャップを仮定することなく指数関数的に減少する。^[5]${\displaystyle \Omega }$

このような崩壊は相対論的力学では長い間知られていましたが、ニュートン力学では推測されただけでした。リープ・ロビンソン境界は、ハミルトニアンの局所的推定によって相対論的対称性を置き換えることに成功しました。

リープ・シュルツ・マティスの定理は、同型副格子を持つ二部格子上のハイゼンベルク反強磁性体の基底状態は非縮退、すなわち一意であるが、ギャップは非常に小さくなる可能性があることを意味している。^[25]

長さが偶数で半整数スピンを持つ1次元および準1次元のシステムでは、アフレックとリーブ^[26]はリーブ、シュルツ、マティス^[27]による元の結果を一般化し、基底状態より上のスペクトルのギャップ が${\displaystyle \gamma _{L}}$

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c/L,}$

ここで、は格子の大きさであり、は定数である。この結果をより高い次元、、に拡張する多くの試みがなされた。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d>1}$

リープ・ロビンソン境界は、ヘイスティングス^[11]とナハターゲール・シムズ^[28]によって 、高次元の場合のリープ・シュルツ・マティス定理の証明に利用されました。ギャップの境界は次のようになりました。

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c\log(L)/L.}$。

2015 年に、リープ・ロビンソン境界は、ここで説明するように、局所ハミルトニアンのコンテキスト以外にも応用できることが示されました。スピンボゾンモデルは、振動子の連続体と結合したスピンのダイナミクスを記述します。これは詳細に研究されており、さまざまな量子システムにおける量子散逸効果を説明しています。連続ボゾン浴を持つスピンボゾンモデルのハミルトニアンを で表し、ガウス求積法に従って選択された周波数を持つ調和振動子を含むように浴が離散化されたスピンボゾンモデルを で表します。スピンハミルトニアンのすべての観測可能量について、上記の離散化スキームに従ってスピンボゾンモデルを離散化することによって誘導される の期待値の誤差は、次の式で制限されます^[29]${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{L}}$${\displaystyle L\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ここで、は正の定数であり、はリーブ・ロビンソン速度であり、この場合、スピン・ボソン模型における浴の最大周波数に正比例する。ここで、離散モードの数は、式（ １ ）の下に記載される距離の役割を果たす。調和振動子の局所フォック空間切断によって生じる誤差を制限することもできる^[30]${\displaystyle c,a}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \omega _{max}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d(X,Y)}$

リープ・ロビンソン速度の最初の実験的観測は、シェノーらによって行われた^{[31] 。}