リープ・リニガーモデル

物理学において、リープ・リニガーモデルは、 1次元で運動し、ボーズ・アインシュタイン統計を満たす粒子の気体を記述する。より具体的には、ディラックのデルタ相互作用を持つ1次元ボーズ気体を記述する。このモデルは、 1963年にこのモデルを発表したエリオット・H・リープとヴェルナー・リニガー [de]にちなんで名付けられた。^{[1]このモデルは、}ニコライ・ボゴリュボフの弱相互作用ボーズ気体の理論を比較し、テストするために開発された。 ^[2]

周期境界条件で定義される 軸上を1次元で運動するボソンを考えると、 N体システムの状態は多体波動関数で記述されなければならない。このモデルの ハミルトニアン は次のように導入される。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,L]}$ ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})}$

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}+2c\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,}$

ここで はディラックのデルタ関数です。定数 は相互作用の強さを表し、は反発相互作用と引力相互作用を表します。^[3]ハードコア極限はトンクス・ジラード気体として知られています。^[3]${\displaystyle \delta}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c<0}$${\displaystyle c\to \infty}$

ボソンの集合の場合、波動関数は任意の 2 つの粒子の入れ替えによって変化しません (入れ替え対称性) 。 つまり、すべての に対して が成立し、すべての に対して が成立します。${\displaystyle \psi (\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots )=\psi (\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots )}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi (\dots ,x_{j}=0,\dots )=\psi (\dots ,x_{j}=L,\dots )}$${\displaystyle j}$

ハミルトニアンのデルタ関数は、2つの座標、例えばと が等しいときに境界条件を生じます。この条件は、 のとき、導関数が次を満たす というものです。${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{2}\searrow x_{1}}$

${\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)\psi (x_{1},x_{2})\right|_{x_{2}=x_{1}+}=c\psi (x_{1}=x_{2})}$。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式 は 、 を明示的に構築することで解けます。 は対称なので、 という条件で定義される単体 における値によって完全に決定されます。 ${\displaystyle H\psi =E\psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots ,\leq x_{N}\leq L}$

この解はベーテ仮説の形で次のように表される^[2]。

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\right)}$、

波数ベクトル で、和はすべての順列にわたって、整数、 、および にマッピングされます。係数、および は条件 によって決定され、これにより全エネルギー ${\displaystyle 0\leq k_{1}\leq k_{2}\leq \dots ,\leq k_{N}}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{N}}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H\psi =E\psi }$

${\displaystyle E=\sum _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}}$、

振幅は次のように与えられる。

${\displaystyle a(P)=\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\right)\,.}$^[4]

これらの方程式は'sに基づいて決定されます。これにより次の方程式が導かれます: ^[2]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum _{i=1}^{N}\arctan \left({\frac {k_{j}-k_{i}}{c}}\right)\qquad \qquad {\text{for }}j=1,\,\dots ,\,N\ ,}$

ここで はが奇数のとき整数であり、が偶数のとき、 の値をとる。 の基底状態において、は ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<\cdots <I_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots }$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}}\ 1\leq j<N\qquad {\text{and }}I_{1}=-I_{N}.}$