エクマン輸送

エクマン螺旋の特性を導出するために、均質流体中の均一な水平地衡流内部流を考察する。この流れは、${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$ここで、均一性のため、2つの成分は一定です。この性質のもう1つの結果として、水平勾配はゼロになります。その結果、連続の式は次のようになります。${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$問題となる内部の流れは水平方向であることに注意してください。${\displaystyle w=0}$境界層を含むあらゆる深度において。この場合、地球物理学的運動を支配するナビエ・ストークス運動量方程式は、次のように簡略化できます。^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle f}$はコリオリパラメータです。${\displaystyle \rho _{0}}$流体密度と${\displaystyle \nu _{E}}$渦粘性は、ここでは簡略化のためにすべて定数とみなされます。これらのパラメータはエクマン螺旋のスケールでは変動が小さいため、この近似は成り立ちます。均一な流れには均一に変化する圧力勾配が必要です。内部流れの流れの成分を代入すると、${\displaystyle u={\bar {u}}}$そして${\displaystyle v={\bar {v}}}$上記の式において、以下が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}-f{\bar {v}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}={\text{constant}}\\[5pt]f{\bar {u}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}={\text{constant}}\end{aligned}}}$

このセクションの冒頭にある3つの式のうち最後の式を用いると、圧力は深さに依存しないことがわかる。

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle u={\bar {u}}+Ae^{\lambda z}}$そして ${\displaystyle v={\bar {v}}+Be^{\lambda z}}$上記の微分方程式の解として十分である。これらの可能な解を同じ方程式に代入した後、 ${\displaystyle \nu _{E}^{2}\lambda ^{4}+f^{2}=0}$続きます。 ${\displaystyle \lambda }$以下のような結果が考えられます。

${\displaystyle \lambda =\pm (1\pm i){\sqrt {\frac {f}{2\nu _{E}}}}}$

底面の滑り止め状態と一定の内部流れのため${\displaystyle z\gg d}$係数${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$決定できます。最終的には、次の解決策につながります。${\displaystyle {\vec {u}}(z)}$: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right]-{\bar {v}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right),\\[5pt]v&={\bar {u}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right)+{\bar {v}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right],\end{aligned}}}$

ここ、${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\nu _{E}}{f}}}}$速度ベクトルは、${\displaystyle z}$の順序を取る${\displaystyle d}$これが理由です${\displaystyle d}$はエクマン層の厚さとして定義される。この解から、エクマン螺旋のいくつかの重要な特性が導かれる。

• いつ${\displaystyle z\rightarrow {0}}$流れは内部の流れに対して横方向の成分を持っているようで、北半球では左に45度ずれている。${\displaystyle f>0}$南半球では右に45度、${\displaystyle f<0}$なお、この場合、この流れと内部の流れとの間の角度は最大になります。 が増加すると、角度は減少します。${\displaystyle z}$。
• いつ${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$値を取る${\displaystyle \pi }$結果として生じる流れは内部の流れと一致しますが、${\displaystyle e^{-\pi }}$内部の流れに関して。
• より高い値の場合${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$以前と同様に、反対方向には最小限の横方向成分が存在する。指数項は、${\displaystyle z\gg d}$、 その結果${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$これらの特性により、水深の関数として表される流れの速度ベクトルは螺旋状になります。

底部のエクマン螺旋を形成する流れの解は、底部が流れに加えるせん断応力の結果である。論理的に、流れにせん断応力が加わる場所であればどこでも、エクマン螺旋が形成される。これは、風によって空気と水の界面で起こる。風応力が加わる状況が考えられる。${\displaystyle {\vec {\tau }}=(\tau _{x},\tau _{y})}$内部流のある水面に沿って作用する${\displaystyle {\vec {u}}=(u,v)}$下側。ここでも、流れは均一で、地衡流の内部を持ち、均質な流体です。地衡流の運動方程式は、底部の螺旋セクションで述べたものと同じで、次のように簡略化できます。^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$

この場合の境界条件は以下のとおりです。

• 表面${\displaystyle (z=0)}$: ${\displaystyle \;\;\;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau _{x}\;}$そして${\displaystyle \;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau _{y}}$
• 内部へ向かう${\displaystyle (z\rightarrow {-\infty })}$:${\displaystyle \;\;\;u={\bar {u}}\;}$そして ${\displaystyle \;v={\bar {v}}}$

これらの条件により、解を決定できます。^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)-\tau _{y}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\\[5pt]v&={\bar {v}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+\tau _{y}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\end{aligned}}}$

底部エクマン螺旋との違いがいくつか見られる。内部流からのずれは、内部流ではなく風応力のみに依存する。一方、底部エクマン螺旋の場合、ずれは内部流によって決定される。風によって駆動される流れの成分は、エクマン層の厚さに反比例する。${\displaystyle d}$したがって、例えば流体の粘度が小さいために層の厚さが小さい場合、この成分は非常に大きくなる可能性があります。最後に、表面での流れは、北半球では風向に対して右に45度、南半球では左に45度です。底部のエクマン螺旋の場合は、これが逆になります。

上記の式と仮定は、エクマン螺旋の実際の観測を代表するものではありません。理論と観測の相違点は、角度が予想される45度ではなく5～20度であること^{[ 27 ]}、およびエクマン層の深さ、ひいてはエクマン螺旋が予想よりも浅いことです。これには、成層^{[ 28 ]} 、乱流、水平勾配^{[ 26 ]}の3つの主な要因が寄与しています。これに関与するその他の重要度の低い要因としては、ストークスドリフト^{[ 29 ]} 、波、ストークス・コリオリ力^{[ 30 ]}があります。

エクマン層の数学的定式化は、中立成層流体、すなわち圧力勾配、コリオリ力、乱流抵抗の力が釣り合っているという仮定から始まる。

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \ u}$そして${\displaystyle \ v}$速度は${\displaystyle \ x}$そして${\displaystyle \ y}$それぞれ方向、${\displaystyle \ f}$は局所コリオリパラメータであり、${\displaystyle \ K_{m}}$は拡散渦粘性であり、混合長理論を用いて導出できる。${\displaystyle p}$これは修正された圧力です。重力を考慮するために、圧力の静水圧を組み込んでいます。

エクマン層が理論的に存在しうる領域は数多くあります。例えば、大気圏底部、地表付近、海洋底、海底付近、そして大気と水の境界面付近の海洋上面などが挙げられます。これらの異なる状況それぞれに、適切な境界条件が存在します。これらの状況は、結果として得られる常微分方程式系に適用される境界条件によって説明できます。上層境界層と下層境界層それぞれのケースを以下に示します。

上層海洋におけるエクマン層の境界条件を検討します。^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\text{at }}z=0:\quad A{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau ^{x}\quad {\text{and}}\quad A{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau ^{y},}$

どこ${\displaystyle \ \tau ^{x}}$そして${\displaystyle \ \tau ^{y}}$表面応力の成分は、${\displaystyle \ \tau }$風場または海洋表面の氷層の、そして${\displaystyle \ A\equiv \rho K_{m}}$は動粘度です。

反対側の境界条件は、${\displaystyle \ z\to -\infty :u\to u_{g},v\to v_{g}}$、 どこ${\displaystyle \ u_{g}}$そして${\displaystyle \ v_{g}}$地衡流は${\displaystyle \ x}$そして${\displaystyle \ y}$方向。

これらの微分方程式を解くと、次の値が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\cos(z/d-\pi /4)-\tau ^{y}\sin(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]v&=v_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\sin(z/d-\pi /4)+\tau ^{y}\cos(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]d&={\sqrt {2K_{m}/|f|}}.\end{aligned}}}$

価値${\displaystyle d}$これはエクマン層深度と呼ばれ、海洋における風による乱流混合の浸透深度を示す指標です。なお、これは2つのパラメータ、すなわち乱流拡散率によって変化します。${\displaystyle K_{m}}$緯度は、${\displaystyle f}$典型的な${\displaystyle K_{m}=0.1}$m${\displaystyle ^{2}}$/秒、そして緯度45度では（${\displaystyle f=10^{-4}}$s${\displaystyle ^{-1}}$）、 それから${\displaystyle d}$約45メートルです。このエクマン深度予測は、必ずしも観測結果と完全に一致するとは限りません。

水平速度の深さによる変化（${\displaystyle -z}$) はエクマン螺旋と呼ばれ、上図と右図に示されています。

連続の式を適用すると、垂直速度は次のようになります。

${\displaystyle w={\frac {1}{f\rho _{o}}}\left[-\left({\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial y}}\right)e^{z/d}\sin(z/d)+\left({\frac {\partial \tau ^{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial y}}\right)(1-e^{z/d}\cos(z/d))\right].}$

なお、垂直方向に積分した場合、エクマン螺旋に伴う体積輸送は、北半球では風向の右側に位置することに注意されたい。

下方を表面で囲まれたエクマン層の伝統的な展開では、2つの境界条件が利用されます。

• 表面が滑りにくい状態であること。
• エクマン速度は地衡流速度に近づき、${\displaystyle z}$無限大に及ぶ。

エクマン層の観測には主に2つの困難が伴う。1つは、理論が単純すぎるため、渦粘性が一定であると仮定していることである。エクマン自身もそれを予見していた^{[ 32 ]}。

明らかに${\displaystyle \ \left[\nu \right]}$対象領域内の水の密度が均一でない場合、一般的には一定値とはみなせない。

また、海洋における流速分布を観測するのに十分な感度を持つ計測機器を設計することが困難であるためでもある。

底部のエクマン層は、回転する円筒形の水槽に染料を落とし、回転速度をわずかに変化させることで容易に観察できる。^{[ 33 ]}表面のエクマン層も回転する水槽で観察できる。^{[ 34 ]}

大気中では、エクマン解は一般的に水平風場の大きさを過大評価する。これは、表面層の速度シアを考慮していないためである。惑星境界層を表面層とエクマン層に分割すると、一般的に、より正確な結果が得られる。^{[ 35 ]}

エクマン螺旋という特徴を持つエクマン層は、海洋ではめったに観測されない。海洋表面付近のエクマン層はわずか10～20メートルの深さまでしか広がっていない^{[ 35 ]。}また、このような浅い深度での速度プロファイルを観測できるほど感度の高い計測機器は、1980年頃からしか利用できない^{[ 31 ]。}さらに、風波が表面付近の流れを変化させ、表面付近での観測をかなり困難にしている^{[ 36 ] 。}

エクマン層の観測は、頑丈な表面係留装置と高感度流速計の開発によって初めて可能になった。エクマン自身も、自分の名前が付けられた渦を観測するために流速計を開発したが、成功しなかった。^{[ 37 ]} ベクトル測定流速計^{[ 38 ]}と音響ドップラー流速計は、どちらも流速の測定に使用されている。

海洋におけるエクマン螺旋に似た現象の最初の記録された観測は、1958年に北極海の流氷上で行われた。^{[ 39 ]}より最近の観測には、以下のようなものがある（網羅的なリストではない）。

• 1980年の混合層実験^{[ 40 ]}
• 1982年の長期上層海洋調査中のサルガッソ海内^{[ 41 ]}
• 1993年の東部境界海流実験中のカリフォルニア海流内^{[ 42 ]}
• 南氷洋のドレーク海峡域内^{[ 43 ]}
• 東部熱帯太平洋の北緯2度、西経140度において、水深5～25メートルの間に5つの流速計を用いて調査を行った。^{[ 44 ]}この研究では、熱帯安定波に伴う地衡流せん断が、水平方向に均一な密度で予想されるものと比較してエクマン螺旋を変化させていることが指摘された。
• 2008年のSOFINE実験中のケルゲレン高原の北側^{[ 45 ]}

これらの観測のいくつかに共通して、渦は「圧縮」されており、速度の減衰率を考慮して導出された渦粘性よりも、深さに対する回転率を考慮した場合の渦粘性の推定値が大きいことがわかった。^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 45 ]}