U( n )の分類空間

数学において、ユニタリ群U( n ) の分類空間は、空間 BU( n ) と普遍束 EU( n ) から成り、パラコンパクト空間X上の任意のエルミート束は、ホモトピーを除いて一意な写像X → BU( n ) による EU( n )の引き戻しである。特に、主 U(1) 束が応用されている。

この普遍的な繊維構造を持つ空間は、以下のように構築することができる。

1. 無限次元複素ヒルベルト空間におけるn次元平面のグラスマン多様体、または、
2. n平面のグラスマン多様体の、誘導される位相構造を伴う直接極限。

両方の構造について、ここでは詳しく説明します。

普遍束の全空間EU( n )は次のように与えられる。

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\$ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}

ここで、H は無限次元複素ヒルベルト空間を表し、e _iはHのベクトルであり、$\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$はH上の内積です。したがって、EU( n ) はHにおける正規直交nフレームの空間であることがわかります。

この空間におけるU( n ) の群作用は自然なものである。基底空間は次のようになる。

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

そして、はHにおけるグラスマンn次元部分空間（またはn平面）の集合である。すなわち、

${\displaystyle BU(n)=\{V\サブセット H\$ :\ \dim V=n\}}

したがって、Vはn次元ベクトル空間である。

C ^kにおけるn個のベクトルの正規直交族の空間をF _n ( C ^k )とし、C ^kのn次元部分ベクトル空間のグラスマン多様体をG _n ( C ^k ) とする。普遍束の全空間は、 k → ∞ のときのF _n ( C ^k )の直接極限とみなすことができ、基底空間は、k → ∞ のときのG _n ( C ^k )の直接極限である。

命題：コホモロジー環${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$環内の係数を持つ${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の は、 Chern クラスによって生成されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

証明:まずn = 1 の場合を考えます^。この場合、U(1) は円 S 1 であり^、普遍^束はS ∞ ^→ CP ∞^です。CP ^kのコホモロジーは、${\displaystyle \mathbb {Z} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$ここで、c ₁はU(1) バンドルS ^{2 k +1} → CP ^kのオイラー類であり、 k ∈ N *に対する単射CP ^k → CP ^{k +1は、射影空間のコホモロジーのこれらの表現と互換性がある。これにより、} n = 1の場合の命題が証明される。

ホモトピーファイバーシーケンスが存在する

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

具体的には、全空間の一点${\displaystyle BU(n-1)}$基底空間の点によって与えられる${\displaystyle BU(n)}$複素ベクトル空間の分類${\displaystyle V}$単位ベクトルとともに${\displaystyle u}$で${\displaystyle V}$一緒に分類すると${\displaystyle u^{\perp }<V}$分割中${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$軽視された${\displaystyle u}$地図を実現する${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$直接合計を表す${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ギシン配列を適用すると、長い正確な配列が得られる。

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

どこ${\displaystyle \eta }$は繊維の基本クラスです${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$ギシン配列の特性により、${\displaystyle j^{*}}$は乗法準同型写像である。帰納法により、${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$は、${\displaystyle p<-1}$、 どこ${\displaystyle \partial }$ゼロでなければならず、したがって${\displaystyle j^{*}}$全射でなければならない。したがって、${\displaystyle j^{*}}$常に全射でなければならない。多項式環の普遍性により、各生成元に対する逆像の選択は乗法的な分割を誘導する。したがって、完全性により、${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$常に単射でなければならない。したがって、環準同型によって分割された短い完全列が得られる。

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

したがって、我々は結論する${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$どこ${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$これで導入研修は完了です。

スペクトルによって表されるコホモロジー理論として位相複素K理論を考える${\displaystyle KU}$。 この場合、${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$[ ^{4 ]}および^​${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$無料です${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$モジュールについて${\displaystyle \beta _{0}}$そして${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$のために${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$そして${\displaystyle r\leq n}$[ ^{5 ]この}説明では、製品構造は${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$H空間構造から来ています${\displaystyle BU}$ベクトル束のホイットニー和によって与えられる。この積はポントリャーギン積と呼ばれる。

位相的K理論は、数値的な対称多項式を用いて明示的に知られている。

K理論はボット周期性定理により2周期であるため、K理論はK ₀を計算することに帰着し、BU( n )は複素多様体の極限であるため、偶数次元のセルのみを持つCW構造を持ち、奇数K理論は消滅します。

したがって${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$、 どこ${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$ここで、tはボット生成子である。

K _{0 (BU(1)) は}wに関する数値多項式の環であり、 H _∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ]の部分環とみなされます。ここでwはトートロジー束の双対要素です。

n 次元トーラスの場合、K ₀ (B T ⁿ ) はn 個の変数に関する数値多項式です。写像K ₀ (B T ⁿ ) → K ₀ (BU( n )) は、分割原理により全射です。これは、 T ⁿがU( n ) の最大トーラスであるためです。この写像は対称化写像です。

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

そして、その画像は、整数条件を満たす対称多項式として識別できる。

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

どこ

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

は多項係数であり、${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$r 個の異なる整数を含み、${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$それぞれ、回数。

正典に含まれるもの${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$標準的な包含関係を誘発する${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$それぞれの分類空間において、それぞれの余極限は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {U}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);}

${\displaystyle \operatorname {BU}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).}

${\displaystyle \operatorname {BU} }$は確かに分類空間である${\displaystyle \operatorname {U} }$。

• O( n )の空間分類
• SO(n)の空間分類
• SU(n)の空間分類
• 位相的K理論
• アティヤ・ヤニッヒの定理

• JF Adams (1974)『安定ホモトピーと一般化ホモロジー』シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-00524-0計算が含まれています${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$そして${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$。
• S.オチャニン; L. Schwartz (1985)、「Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex」、Math。 Z.、190 (4): 543–557、土井: 10.1007/BF01214753以下の説明が含まれています${\displaystyle K_{0}(BG)}$として${\displaystyle K_{0}(K)}$-任意のコンパクト連結リー群のコモジュール。
• L. Schwartz (1983)、「K-théorie et homotopiestead」、論文、パリ第 7 大学明示的な説明${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• A. ベイカー、F. クラーク、N. レイ、L. シュワルツ (1989)、「クンマー合同式とBUの安定ホモトピーについて」、Trans. Amer. Math. Soc.、316 (2)、American Mathematical Society: 385–432、doi : 10.2307/2001355、JSTOR 2001355 
• ローソン、H.ブレイン；ミシェルソン、マリー＝ルイーズ（1990年2月21日）。スピン幾何学。プリンストン大学出版局。ISBN 9780691085425。
• ハッチャー、アレン（2002）。代数トポロジー。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-X。
• ミッチェル、スティーブン（2001年8月）。普遍主束と分類空間（PDF）。

• nLab上で空間を分類する
• nLab上のBU(n)