ポントリャーギン製品

数学において、ポントリャーギン積は、レフ・ポントリャーギン(1939) によって導入され、位相空間上の積によって誘導される位相空間のホモロジー 上の積である。特殊なケースとしては、アーベル群のホモロジー上のポントリャーギン積、 H 空間上のポントリャーギン積、ループ空間上のポントリャーギン積などがある。

ポンチャギン積を定義するには、まず、m 番目と n 番目のホモロジー群の直積を空間の (m+n) 番目のホモロジー群に写す写像が必要です。したがって、特異鎖のレベルから始めて、外積を定義します。2 つの位相空間 X と Y および 2 つの特異単体 とが与えられれば、積写像を定義できます。唯一の難しさは、これが における特異 (m+n) 単体を定義することを示すことです。これを行うには、 を(m+n) 単体に細分化します。すると、この写像がホモロジー上の次の形式の写像を誘導することを示すのは簡単です。 ${\displaystyle f:\Delta ^{m}\to X}$${\displaystyle g:\Delta ^{n}\to Y}$${\displaystyle f\times g:\Delta ^{m}\times \Delta ^{n}\to X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \Delta^{m}\times \Delta^{n}}$

${\displaystyle H_{m}(X;R)\otimes H_{n}(Y;R)\to H_{m+n}(X\times Y;R)}$

と が循環であるならばも循環であり、 または のいずれかが境界であるならば積も境界であること を証明することによって。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\times g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

乗法 を持つH空間 が与えられたとき、ホモロジー上のポントリャーギン積は次の写像の合成によって定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu :X\times X\to X}$

${\displaystyle H_{*}(X;R)\otimes H_{*}(X;R){\xrightarrow[{}]{\times }}H_{*}(X\times X;R){\xrightarrow[{}]{\mu _{*}}}H_{*}(X;R)}$

ここで、最初のマップは上で定義した外積であり、2 番目のマップはH 空間の乗算に続いてホモロジー関数を適用してホモロジーのレベルで準同型性を得ることによって与えられます。次に。 ${\displaystyle X\times X\to X}$${\displaystyle H_{*}(X;R)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H_{n}(X;R)}$

• ブラウン、ケネス S. ( 1982)。群のコホモロジー。Graduate Texts in Mathematics。第 87 巻。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-90688-1MR  0672956 。
• レフ・ポントリャギン（1939年）。 「コンパクトなリー群におけるホモロジー」。Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)。新しいシリーズ。6 (48): 389–422。MR0001563  。
• ハッチャー、ハッチャー（2001）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-79160-1。