レイリー数

流体力学において、流体のレイリー数（Ra、レイリー卿^[1]にちなんで）は、浮力駆動の流れ、自由（または自然）対流とも呼ばれる無次元数です。^{[2] [3] [4]}これは流体の流れの状態を特徴付けます。^[5]ある低い値の範囲は層流を示し、高い値の範囲は乱流を示します。ある臨界値を下回ると、流体の動きはなく、熱伝達は対流ではなく伝導によって行われます。ほとんどの工学的目的では、レイリー数は大きく、10 ⁶から10 ⁸程度です。

レイリー数は、流体内の浮力と粘性の関係を表すグラスホフ数( Gr ) と、運動量拡散率と熱拡散率の関係を表すプラントル数 ( Pr ) の積として定義されます: Ra = Gr × Pr 。[4] [3] したがって、これは浮力と粘性力の比に運動量と熱拡散率の比を乗じたもの^と見なすこともできます: Ra = B/ μ × ν / α 。これはヌッセルト数( Nu )と密接に関連しています。^[5]

レイリー数は、流体の質量密度が不均一な場合の流体（水や空気など）の挙動を表します。質量密度の差は通常、温度差によって生じます。通常、流体は加熱されると膨張し、密度が低くなります。重力により、流体の密度の高い部分が沈みます。これを対流といいます。レイリー卿は^[2]レイリー・ベナール対流の事例を研究しました。^[6]レイリー数 Ra が流体の臨界値を下回ると、流れはなく、熱伝達は純粋に伝導によって行われます。その値を超えると、熱は自然対流によって伝達されます。^[3]

質量密度の差が温度差によって引き起こされる場合、Raは定義により、速度における拡散熱輸送の時間スケールと対流熱輸送の時間スケールの比である：^[4]${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\text{拡散による熱輸送の時間スケール}}{{\text{速度}}~uでの対流による熱輸送の時間スケール}}.}$$

これは、レイリー数がペクレ数の一種^[4]であることを意味します。3次元すべてでサイズが^{[明確化が必要]}で質量密度差がの流体の体積の場合、重力による力は のオーダーで、 は重力による加速度です。ストークス方程式から、流体の体積が沈んでいる場合、粘性抵抗は のオーダーで、 は流体の動粘性です。これら 2 つの力が等しい場合、速度は です。したがって、流れによる輸送の時間スケールは です。距離を越えた熱拡散の時間スケールはで、 は熱拡散率です。したがって、レイリー数 Ra は ${\displaystyle l}$${\displaystyle \Delta \rho }$${\displaystyle \Delta \rho l^{3}g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \eta lu}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$${\displaystyle l/u\sim \eta /\Delta \rho lg}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l^{2}/\alpha }$${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}}$$

ここで、平均質量密度、熱膨張係数、距離にわたる温度差の流体の密度差を近似しました。 ${\displaystyle \Delta \rho =\rho \beta \Delta T}$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Delta T}$${\displaystyle l}$

レイリー数はグラスホフ数とプラントル数の積として表される：^{[4] [3]} $${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .}$$

垂直壁付近の 自由対流の場合、レイリー数は次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

どこ：

• xは特性長さである
• Ra _{x は}特性長さxのレイリー数である。
• gは重力加速度である。
• β は熱膨張係数です（理想気体の場合、 1/ Tに等しく、 T は絶対温度です）。
• ${\displaystyle \nu }$動粘性は
• αは熱拡散率である
• T _{s は}表面温度である
• T _∞は静止温度（物体の表面から離れた流体の温度）
• Gr _xは特性長さxのグラスホフ数である。
• Prはプラントル数である

上記では、流体特性 Pr、ν、α、β は次のように定義される膜温度で評価されます。

$${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.}$$

均一な壁面加熱フラックスの場合、修正レイリー数は次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}}$$

どこ：

• q″ _oは均一表面熱流束である
• kは熱伝導率である。^[7]

レイリー数は、凝固合金のマッシーゾーンにおける A 偏析などの対流不安定性を予測する基準としても使用できます。マッシーゾーンのレイリー数は次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}}$$

どこ：

• Kは平均透過率（マッシュの最初の部分）
• Lは特性長さスケールである
• αは熱拡散率である
• νは動粘性である
• Rは凝固速度または等温線速度である。^[8]

A 偏析は、レイリー数が特定の臨界値を超えると形成されると予測されます。この臨界値は合金の組成とは無関係であり、これが、対流不安定性を予測するための他の基準 (たとえば、鈴木基準) に対するレイリー数基準の主な利点です。

トラビ・ラッドらは、鋼合金の臨界レイリー数は17であることを示した。^[8]ピカリングらはトラビ・ラッドの基準を調査し、その有効性をさらに検証した。鉛スズおよびニッケルベースの超合金の臨界レイリー数も開発された。^[9]

上記のレイリー数は、空気や水などのバルク流体の対流に関するものですが、対流は、水で飽和した多孔質岩石などの多孔質媒体の内部に流体が存在し、それを満たす場合にも発生します。^[10]その場合、レイリー数（レイリー・ダルシー数と呼ばれることもあります）は異なります。バルク流体、つまり多孔質媒体ではない媒体では、ストークス方程式から、液体のサイズの領域の下降速度が求められます。多孔質媒体では、この式は、多孔質媒体の透過率を伴うダルシーの法則から得られる式に置き換えられます。レイリー数またはレイリー・ダルシー数は、 ${\displaystyle l}$${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho kg/\eta }$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}}$$

これは凝固合金の軟弱な領域におけるA偏析にも当てはまる。 ^[8]

地球物理学では、レイリー数は根本的に重要です。レイリー数は、地球のマントルなどの流体体内の対流の存在と強さを示します。マントルは、地質学的時間スケールでは流体として動作する固体です。地球のマントルの内部加熱のみによるレイリー数 Ra _Hは、次のように表されます。

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}}$$

どこ：

• Hは単位質量あたりの放射性熱生成率である。
• ηは動粘性である
• kは熱伝導率である
• Dはマントルの深さである。^[11]

マントルの底部から核への加熱のレイリー数 Ra _Tは、次のように定義することもできます。

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{\text{sa}}D^{3}C_{P}}{\eta k}}}$$

どこ：

• Δ T _saは、基準マントル温度と核・マントル境界温度との間の超断熱温度差（超断熱温度差とは、エントロピー勾配がゼロであるが、状態方程式に現れる他の変数のプロファイルが同じである流体における実際の温度差を差し引いたものである）である。
• C _Pは定圧における比熱容量である。 ^[11]

地球のマントルの値が高いということは、地球内部の対流が活発で時間とともに変化し、深部から地表に輸送される熱のほぼすべてが対流によるものであることを示しています。

• グラスホフ数
• プラントル数
• レイノルズ数
• ペクレ数
• ヌッセルト数
• レイリー・ベナール対流

• Turcotte, D.; Schubert, G. (2002). Geodynamics (第2版). ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7。

• レイリー数計算機