剛体力学

力学の物理科学において、剛体力学は、外部からの力の作用下で相互接続された物体のシステムの動きを研究します。物体が剛体である（つまり、加えられた力の作用下で変形しない）という仮定により、システムの構成を記述するパラメータを各物体に取り付けられた参照フレームの並進と回転に減らすことで、解析が簡素化されます。 ^{[1] [2]これにより、}流体、高弾性、塑性挙動を示す物体は除外されます。

剛体システムのダイナミクスは、運動学の法則と、ニュートンの第 2 法則 (運動力学) またはその派生形であるラグランジュ力学の応用によって記述されます。これらの運動方程式を解くことで、システムの個々のコンポーネントの位置、動き、加速度、およびシステム全体を時間の関数として記述できます。剛体ダイナミクスの定式化と解法は、機械システムのコンピューター シミュレーションにおける重要なツールです。

粒子のシステムが固定された平面に平行に動く場合、そのシステムは平面運動に拘束されていると言われる。この場合、N個の粒子P _i、i =1、... 、 Nの剛体システムに対するニュートンの法則（運動力学）は、 k方向への動きがないため単純化される。基準点Rにおける合力とトルクを決定すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},}$$

ここで、r _{i は}各粒子の平面軌道を表します。

剛体の運動学では、基準粒子の位置Rと加速度A、および剛体粒子系の 角速度ベクトルωと角加速度ベクトルα_{に基づいて、粒子P iの加速度の式が次のように表される。}$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .}$$

平面運動に制限されているシステムの場合、角速度ベクトルと角加速度ベクトルは運動平面に垂直なkに沿って向いており、この加速度方程式は単純化されます。この場合、加速度ベクトルは、基準点Rから点r _{iへの単位ベクトル}e _iと単位ベクトルを導入することで単純化できます。 ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .}$$

これにより、システムにかかる合力は次のようになり 、トルクは次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

ここで、およびはすべての粒子P _{i の}平面に垂直な単位ベクトルです。 ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$

質量中心 Cを基準点として使用すると、ニュートンの法則のこれらの式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,}$$

ここで、Mは全質量、I _{C は}剛体システムの動きに垂直で質量中心を通る軸の周りの 慣性モーメントです。

3 次元の剛体の向きを記述する方法がいくつか開発されています。それらは次のセクションでまとめられています。

方向を表す最初の試みは、レオンハルト オイラー によるものです。彼は、互いに回転できる 3 つの基準フレームを想像し、固定された基準フレームから始めて 3 回回転することで、空間内の他の任意の基準フレームを取得できることに気付きました (2 回の回転で垂直軸を固定し、もう 1 回の回転で他の 2 つの軸を固定します)。これらの 3 つの回転の値は、オイラー角と呼ばれます。一般に、は歳差運動、章動運動、および固有回転を表すために使用されます。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

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  オイラー角の図
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  固定軸を中心としたボールの固有回転
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  オイラー角におけるコマの動き

これらは、ヨー、ピッチ、ロール、ナビゲーション角度、カルダン角度とも呼ばれる 3 つの角度です。数学的には、これらは 12 の可能なオイラー角セット内の 6 つの可能性のセットを構成し、その順序は、飛行機などの乗り物の方向を説明するのに最もよく使用される順序です。航空宇宙工学では、これらは通常、オイラー角と呼ばれます。

オイラーはまた、2 つの回転の合成は、異なる固定軸の周りの 1 つの回転に等しいことにも気付きました (オイラーの回転定理)。したがって、前の 3 つの角度の合成は 1 つの回転に等しくなければなりませんが、その軸の計算は、行列が開発されるまでは複雑でした。

この事実に基づいて、彼は回転軸上のベクトルと角度の値に等しいモジュールを使用して、任意の回転を記述するベクトル的方法を導入しました。したがって、任意の方向は、参照フレームからその方向につながる回転ベクトル (オイラー ベクトルとも呼ばれます) によって表すことができます。方向を表すために使用される場合、回転ベクトルは一般に方向ベクトルまたは姿勢ベクトルと呼ばれます。

軸角度表現と呼ばれる同様の方法では、回転軸に沿った単位ベクトルと、角度を示す別の値を 使用して回転または方向を記述します(図を参照)。

行列の導入により、オイラーの定理は書き換えられました。回転は、回転行列または方向余弦行列と呼ばれる直交行列によって記述されました。方向を表すために使用される場合、回転行列は一般に方向行列または姿勢行列と呼ばれます。

前述のオイラーベクトルは回転行列の固有ベクトルです（回転行列は固有の実固有値を持ちます）。2つの回転行列の積は回転の合成です。したがって、前と同様に、方向は初期フレームからの回転として与えられ、記述したいフレームを実現できます。

n次元空間における非対称物体の配置空間はSO( n ) × R ⁿです。物体に接線ベクトルの基底を付加することで、方向を視覚化できます。各ベクトルが指す方向によって、物体の方向が決まります。

回転を記述する別の方法は、回転四元数（バーソルとも呼ばれる）を使用することです。回転四元数は、回転行列および回転ベクトルと同等です。回転ベクトルに関しては、行列との変換がより簡単です。方向を表すために使用される場合、回転四元数は通常、方向四元数または姿勢四元数と呼ばれます。

3 次元空間における剛体の力学を考慮するには、ニュートンの第 2 法則を拡張して、剛体の動きとそれに作用する力とトルクのシステムとの関係を定義する必要があります。

ニュートンは粒子に関する第二法則を次のように定式化した。「物体の運動の変化は加えられた力に比例し、力が加えられた直線の方向に生じる。」^[3] ニュートンは一般に質量×速度を粒子の「運動」と呼んでいたため、「運動の変化」という語句は質量×粒子の加速度を指し、したがってこの法則は通常次のように記述される。 ここで、F は粒子に作用する唯一の外力、mは粒子の質量、a は粒子の加速度ベクトルである。ニュートンの第二法則を剛体に拡張するには、剛体粒子系を考慮する必要がある。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

N 個の粒子 P _i、i=1、...、Nのシステムが剛体に組み立てられている場合、ニュートンの第 2 法則をその物体内の各粒子に適用できます。F _iが質量m _iの粒子 P _iに適用される外力である場合、 F _{ij は粒子 P i}に作用してこれらの粒子 間の距離を一定に保つ 粒子 P _jの内力です。$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$

これらの力の方程式の重要な簡略化は、剛体に作用する合力とトルクを導入することによって得られます。この合力とトルクは、システム内の粒子の 1 つを参照点Rとして選択することによって得られます。ここで、各外力は、関連するトルクを加えて適用されます。合力FとトルクT は、次の式で与えられます。 ここで、R _{iは粒子 P i}の位置を定義するベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$

ニュートンの粒子に関する第 2 法則は、これらの合力とトルクの式と組み合わされ、 内部力F _{ij が}ペアで打ち消される式となります。剛体の運動学では、基準粒子の位置Rと加速度a 、および剛体粒子システムの角速度ベクトル ω と角加速度ベクトル α に基づいて、粒子 P _iの加速度の式が次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

剛体の質量特性は、その質量中心と慣性行列によって表される。条件を満たすように 基準点Rを選択する。$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

それはシステムの質量の中心として知られています。

基準点Rに対するシステムの慣性行列[I _R ]は次のように定義される。 $${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

ここで、は列ベクトルR _i − R、はその転置、は3 行 3 列の単位行列です。 ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$は と 自身のスカラー積であり、 はと 自身のテンソル積です。 ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$

質量中心と慣性行列を使用すると、単一の剛体の力とトルクの方程式は次の形式になり 、剛体に対するニュートンの運動の第二法則として知られています。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$

剛体の相互接続システムB _i , j = 1, ..., Mの動力学は、各剛体を分離し、相互作用力を導入することによって定式化されます。各剛体にかかる外部力と相互作用力の合力は、力-トルク方程式をもたらします。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

ニュートンの定式化により、M個の剛体システムのダイナミクスを定義する6つのM方程式が得られる。 ^[4]

回転する物体は、トルクの影響下にあるかどうかに関わらず、歳差運動や章動運動の挙動を示すことがあります。回転する固体の挙動を記述する基本方程式は、オイラーの運動方程式です。 ここで、擬似ベクトルτとLは、それぞれ物体にかかるトルクと角運動量、スカラーIは慣性モーメント、ベクトルωは角速度、ベクトルαは角加速度、D は慣性座標系での微分、d は物体に固定された相対座標系での微分です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$

トルクが適用されていない場合のこの方程式の解については、 「オイラーの運動方程式」および「ポアンソの楕円体」の記事で説明されています。

オイラーの方程式から、回転軸に垂直、つまりLに垂直なトルクτを加えると、 τとL の両方に垂直な軸を中心に回転することがわかります。この運動は歳差運動と呼ばれます。歳差運動の角速度Ω _{P は}、外積で表されます。^[要出典] $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

歳差運動は、コマの軸を水平にし、片方の端を緩く支えて（歳差運動に対して摩擦がない）置くことで実証できます。予想どおりに落下するのではなく、コマは軸を水平に保って重力に逆らっているように見えます。軸のもう一方の端は支えられず、軸の自由端が水平面内でゆっくりと円を描き、結果として歳差運動が起こります。この効果は、上記の式で説明できます。コマのトルクは、デバイスの質量中心に下向きに作用する重力と、デバイスの片方の端を支えるために上向きに作用する同じ力の 2 つの力によって供給されます。このトルクによって生じる回転は、直感的に予想されるように下向きではなく、デバイスを落下させますが、重力トルク（水平で回転軸に垂直）と回転軸（水平で支持点から外側）の両方に垂直、つまり垂直軸の周りで回転し、デバイスを支持点の周りでゆっくりと回転させます。

大きさτの一定のトルクの下では、歳差運動の速度Ω _Pは、角運動量の大きさ Lに反比例します。 ここで、θ はベクトルΩ _PとL の間の角度です。したがって、コマの回転が遅くなると (たとえば摩擦により)、角運動量が減少し、歳差運動の速度が増加します。この状態は、装置が自重を支えるのに十分な速度で回転できなくなるまで続きます。装置が歳差運動を停止して支えから落ちますが、これは主に歳差運動に対する摩擦により別の歳差運動が発生し、それが落下の原因となるためです。 $${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$

慣例により、これら 3 つのベクトル (トルク、スピン、歳差運動) はすべて、右手の法則に従って互いに対して方向付けられます。

剛体に作用する力の 仮想仕事を考慮することにより、多くの便利な機能を備えた剛体力学の代替定式化が得られます。

単一の剛体のさまざまな点に作用する力の仮想仕事は、その作用点の速度と、その結果生じる力とトルクを使用して計算できます。これを確認するには、力F ₁、F ₂ ... F _{n が}剛体の 点R ₁、R ₂ ... R _{nに作用するとします。}

R _i（i = 1, ..., n）の軌道は 剛体の動きによって定義されます。軌道に沿った 点R _iの速度は、 ω が剛体の角速度ベクトルで ある場合に次の式で表されます。$${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

仕事は、各力とその接触点の変位の ドット積から計算されます 。剛体の軌道が一般化座標q _j , j = 1, ..., mによって定義される場合、仮想変位δ r _{i は}次のように与えられます 。 この物体に作用する力のシステムの仮想仕事は、一般化座標で次のように表されます。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$ $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

またはδq _jの係数を集める $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

簡単にするために、回転角などの単一の一般化座標qで指定される剛体の軌道を考えると、式は次のようになります。 $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

合力FとトルクTを導入すると、この式は次のようになります。 $${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

定義される 量Qは$${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

は 、仮想変位δqに関連する一般化された力として知られています。この式は、複数の一般化座標によって定義される剛体の運動に一般化されます。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$$${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

重力やバネ力などの保存力は、ポテンシャルエネルギーとして知られるポテンシャル関数V ( q ₁ , ..., q _n )から導出できることに注目すると便利です。この場合、一般化された力は次のように表されます。 $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

剛体の機械システムの運動方程式は、仮想仕事の原理のダランベール形式を使用して決定できます。仮想仕事の原理は、剛体のシステムの静的平衡を研究するために使用されますが、ニュートンの法則に加速度項を導入することで、このアプローチは動的平衡を定義するように一般化されます。

機械システムの剛体の静的平衡は、システムの任意の仮想変位に対して加えられた力の仮想仕事がゼロであるという条件によって定義されます。これは仮想仕事の原理として知られています。^{[5]これは、任意の仮想変位に対する一般化された力がゼロ、つまり}Q _i =0 であるという要件に相当します。

機械システムがn 個の剛体 B _i、i = 1, ..., nから構築され、各剛体に加えられた力の合力が力とトルクのペアF _iとT _i、i = 1, ..., nであるとします。これらの加えられた力には、剛体が接続されている部分の反作用力は含まれないことに注意してください。最後に、各剛体の速度V _iと角速度ω _i、i = 1, ..., n が単一の一般化座標 q によって定義されていると仮定します。このような剛体システムは、自由度が1 つあると言われます。

この 1 自由度システムに適用される 力とトルクF _iおよびT _iの仮想仕事は 、この 1 自由度システムに作用する一般化された力 によって 与えられます。$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$$${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$

機械システムが m 個の一般化座標q _j、j = 1、...、mで定義されている場合、システムには m 個の自由度があり、仮想仕事は次のように与えられます。 ここで、 は 一般化座標q _jに関連付けられた一般化力です。仮想仕事の原理は、システムに作用するこれらの一般化力がゼロのときに静的平衡が発生することを示しています。つまり、 $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$$${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$$${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

これらのm方程式は剛体システムの静的平衡を定義します。

一般化座標qによって定義される 1 つの自由度を持ち、合力FとトルクTの作用を受けて運動する単一の剛体を考える。合力とトルクの基準点が物体の質量中心であると仮定すると、一般化座標qに関連付けられた一般化慣性力Q*は次のように表される 。$${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

この慣性力は、次の式を使って 剛体の運動エネルギーから計算できる。 $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$$${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

m個の一般化座標を持つn個の剛体 の系は 、m個の一般化慣性力を計算するために使用できる運動エネルギーを持つ^[6]$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールの仮想仕事の原理の形式によれば、剛体システムは、システムの任意の仮想変位に対して、作用する力と慣性力の合計の仮想仕事がゼロであるとき、動的平衡状態にあるとされています。したがって、m 個の一般化座標を持つ n 個の剛体システムの動的平衡には、任意 の 仮想変位セットδq _jに対して が成立することが必要です。この条件からm個の方程式が生成され、 次のようにも記述できます。 結果は、剛体システムのダイナミクスを定義する m 個の運動方程式のセットです。 $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

一般化された力Q _{j が}位置エネルギーV ( q ₁ , ..., q _m )から導出できる場合、これらの運動方程式は次の形になります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

この場合、ラグランジアンL = T − Vを導入すると、これらの運動方程式は次のようになります 。 これらはラグランジュの運動方程式として知られています。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

剛体粒子系の線形運動量と角運動量は、質量中心に対する粒子の位置と速度を測定することによって定式化されます。粒子系 P _i、i = 1、...、n が座標r _iと速度v _iにあるものとします。基準点R を選択し、相対位置と速度ベクトルを計算します。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

基準点Rに対する全線運動量ベクトルと角運動量ベクトルは 、 $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

Rを質量の中心として選択する と、これらの式は次のように簡略化されます。$${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

これらの式を剛体に適用するには、粒子が互いに剛体結合していると仮定し、P _{i 、i=1、...、nは座標}r _iと速度v _iで位置付けられます。基準点Rを選択し、相対位置と速度ベクトルを計算します。 ここでωはシステムの角速度です。^{[7] [8] [9]}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

この剛体の質量中心Rを基準として測定した線運動量と 角運動量は、 $${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

これらの方程式は次のように簡略化されます 。 ここで、M はシステムの総質量、[I _R ] は、次のように定義される 慣性モーメント行列です。 ここで、[r _i − R] はベクトルr _i − Rから構築された歪対称行列です。 $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$$${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$

• ロボットシステムの分析
• 動物、人間、ヒューマノイドシステムの生体力学的分析用
• 宇宙物体の分析用
• 剛体の奇妙な動きを理解するため。^[10]
• ジャイロセンサーなどのダイナミクスベースのセンサーの設計と開発に使用します。
• 自動車のさまざまな安定性向上アプリケーションの設計と開発に。
• 剛体を含むビデオゲームのグラフィックを改善するため

• E. レイマニス (1965)。 固定点の周りの結合剛体の運動の一般問題。 ( Springer、ニューヨーク)
• WB Heard (2006). 剛体力学: 数学、物理学および応用. ( Wiley-VCH ).

• クリス・ヘッカーの剛体力学情報 2007年3月12日アーカイブウェイバックマシン
• 物理ベースモデリング: 原理と実践
• Wayback Machineに 2008 年 11 月 20 日にアーカイブされた DigitalRune Knowledge Base には、剛体ダイナミクスに関する修士論文とリソースのコレクションが含まれています。
• F. クライン、「線幾何学と剛体の力学の関係についてのノート」（英訳）
• F. クライン、「サー・ロバート・ボールのねじ理論について」（英訳）
• E. コットン、「ケーリー幾何学の、固定点の周りの立体の変位の幾何学的研究への応用」（英訳）