二重オブジェクト

数学の一分野である圏論において、双対対象は、任意のモノイド圏の対象に対する線形代数の双対ベクトル空間の類似物である。これは、有限次元ベクトル空間の双対性の圏論的性質に基づく部分的な一般化にすぎない。双対を許容する対象は、双対化可能な対象と呼ばれる。この形式論では、双対ベクトル空間V ^{∗ が}公理を満たさないため、無限次元ベクトル空間は双対化できない。^{[ 1 ]}多くの場合、対象は、何らかの有限性またはコンパクト性の性質を満たす場合にのみ双対化可能である。^{[ 2 ]}

各対象が双対を持つような圏は、自律圏または剛体圏と呼ばれる。標準的なテンソル積を持つ有限次元ベクトル空間の圏は剛体圏であるが、すべてのベクトル空間の圏は剛体圏ではない。

Vをある体K上の有限次元ベクトル空間とする。双対ベクトル空間V ^∗の標準的な概念は次の性質を持つ。任意のKベクトル空間UとWに対して、随伴Hom _K ( U ⊗ V , W ) = Hom _K ( U , V ^∗ ⊗ W )が存在し、これは一意の同型を除いてV ^{∗を特徴づける。この表現は、ベクトル空間の}テンソル積を適切に置き換える任意の圏で意味を持つ。任意のモノイド圏( C , ⊗) に対して、双関手の自然な同型を持つ対象V ^∗ ∈ Cとして対象Vの双対を定義することを試みることができる。

Hom _C ((–) ₁ ⊗ V , (–) ₂ ) → Hom _C ((–) ₁ , V ^∗ ⊗ (–) ₂ )

双対性の適切な概念のためには、この写像は圏論の意味で自然であるだけでなく、何らかの形でモノイド構造を尊重しなければならない。^{[ 1 ]}したがって、双対対象の実際の定義はより複雑である。

閉じたモノイド圏C 、すなわち内部 Hom関手を持つモノイド圏では、双対ベクトル空間の標準的な定義を汎関数の空間としてシミュレートするという別のアプローチがある。対象V ∈ Cに対して、 V ^{∗ を}次のように定義する。${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}_{C}(V,\mathbb {1} _{C})}$ここで、1 _Cはモノイド恒等式である。場合によっては、このオブジェクトは上記の意味でVの双対オブジェクトとなるが、一般には異なる理論につながる。 ^{[ 3 ]}

ある物体を考えてみましょう${\displaystyle X}$モノイド圏において${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$対象物${\displaystyle X^{*}}$は左双対と呼ばれます${\displaystyle X}$2つの射が存在する場合

${\displaystyle \eta :I\to X\otimes X^{*}}$共同評価と呼ばれるもの、そして${\displaystyle \varepsilon :X^{*}\otimes X\to I}$評価と呼ばれる、

以下の2つの図式が可換となるようにする。

対象物${\displaystyle X}$は右双対と呼ばれます${\displaystyle X^{*}}$この定義はDold & Puppe (1980)によるものです。

左双対が存在する場合、それらは正準的に同型であり、右双対も同様である。Cがブレイド（または対称）である場合、すべての左双対は右双対でもあり、その逆もまた然りである。

モノイド圏を1つの対象を持つ双圏と考えると、双対ペアはまさに随伴ペアになります。

• 標準的なテンソル積を持つ体K上のベクトル空間のモノイド圏 (Vect _K , ⊗ _K ) を考えます。空間Vは、それが有限次元である場合に限り双対化可能であり、この場合、双対オブジェクトV ^{∗ は}双対ベクトル空間の標準的な概念と一致します。
• 可換環R上のモジュールのモノイド圏 (Mod _R , ⊗ _R ) を標準テンソル積で考える。モジュールMが双対化可能であるのは、それが有限生成射影モジュールである場合のみである。この場合、双対オブジェクトM ^{∗ は}準同型モジュールHom _R ( M , R ) によっても与えられる。^{[ 4 ]}
• モノイド構造としてスマッシュ積を持つ、点付きスペクトルのホモトピー圏Ho(Sp)を考える。Mがコンパクト近傍レトラクトである場合、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（例えば、コンパクトで滑らかな多様体の場合）、対応する尖点スペクトル Σ ^∞ ( M ⁺ ) は双対化可能である。これは、特にコンパクト多様体に対するポアンカレ双対性を意味するスパニアー・ホワイトヘッド双対性の結果である。^{[ 1 ]}
• カテゴリー${\displaystyle \mathrm {終了} (\mathbf {C} )}$あるカテゴリーのエンドファンクターの${\displaystyle \mathbf {C} }$は、ファンクターの合成に関するモノイド圏である。ファンクター${\displaystyle F}$はファンクターの左双対である${\displaystyle G}$かつその場合に限り${\displaystyle F}$左随伴${\displaystyle G}$[ ^{5 ]​}

すべての対象が左（または右）双対を持つモノイド圏は、左（または右）自律圏と呼ばれることがある。 代数幾何学では、これを左（または右）剛体圏と呼ぶ。すべての対象が左と右の両方の双対を持つモノイド圏は、自律圏と呼ばれる。対称性も持つ自律圏は、コンパクト閉圏と呼ばれる。

双対化可能な対象の任意の自己準同型fはトレースを持ち、これはCのモノイド単位の特定の自己準同型である。この概念には、線形代数におけるトレースや鎖複体のオイラー標数などの非常に特殊なケースが含まれる。

• 双対化オブジェクト