スナブ二蝶形骨

スナブ二蝶形骨
タイプ	デルタヘドロン ジョンソン J 83 – J 84 – J 85
顔	12個の三角形
エッジ	18
頂点	8
頂点構成	${\displaystyle 4\times (3^{4})+4\times (3^{5})}$
対称グループ	${\displaystyle D_{2\mathrm {d}}}$
二重多面体	細長いギロビファスティギウム
プロパティ	凸状の
ネット

幾何学において、スナブ二面体とは、12 個の正三角形を面とする凸多面体です。デルタ面体とジョンソン立体の一例です。さまざまな方法で構築できます。この形状は、シャム十二面体、三角十二面体、三方十二面体、十二十二面体とも呼ばれます。

スナブ二面体は、中心原子を囲む原子クラスター、つまり十二面体分子構造として視覚化できます。その頂点は球内に配置でき、8 つの球クラスターすべての中で最小のレナード ジョーンズ ポテンシャルとして使用することもできます。スナブ二面体の二重多面体は、細長いジャイロビファスティギウムです。

スナブ二蝶形は、さまざまな方法で作ることができます。名前が示すように、スナブ二蝶形は、四角形二蝶形の表面からすべての辺を切り取り、その間にある角度でねじれた正三角形（次の図の明るい青色）を追加することによって作成されます。^{[引用が必要]このプロセスの構築は、}スナビフィケーションとして知られています。^[1]

スナブ二蝶形骨は、三角錐の2辺を頂点に沿って切断することで作成することもできます。これらの頂点は互いに押し付けられ、その結果、新しい2つの頂点が押しのけられます。^[2]あるいは、スナブ二蝶形骨は、五角錐の2辺を両錐の底部を連結する線に沿って切断し、その間に2つの正三角形を挿入することで作成できます。 ^{[3]スナブ二蝶形骨を作成する別の方法は、}正方形の反角柱から開始し、2つの正方形の面を正三角形のペアに置き換えます。スナブ二蝶形の別の構成は、対角ジャイロビアンティキューポラとしてです。これは同じ位相と対称性を持ちますが、正三角形はありません。回転対称で接続された2つの反キューポラとして、中心平面上の正方形に4つの頂点があります。

スナブ二蝶形骨の物理的モデルは、図に示すように、 12個の正三角形（12ダイヤモンド）で形成されたネットを折ることで形成できます。ジョン・モントロールが提案した別のネットは、境界上の凹頂点が少なく、折り紙の構築に便利です。^[4]

スナブ二面体の8つの頂点には、直交座標で次のように表すことができます。 ここで、は3次多項式 の正の実数解です。3つの変数、、は、次の式で表されます。^[5] この作図には3次方程式の解が含まれるため、他の7つのデルタ面体とは異なり、スナブ二面体はコンパスと定規で作図することはできません。^[2]$${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm t,r,0),&\qquad (0,-r,\pm t),\\(\pm 1,-s,0),&\qquad (0,s,\pm 1).\end{aligned}}}$$${\displaystyle q\approx 0.16902}$ ${\textstyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$ $${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,\qquad s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,\qquad t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$$

このような構成の結果、スナブ二面体には12個の正三角形があります。デルタ面体は、すべての面が正三角形である多面体です。8つの凸デルタ面体があり、そのうちの1つがスナブ二面体です。^[6]より一般的には、すべての面が正多角形である凸多面体はジョンソン立体であり、すべての凸デルタ面体はジョンソン立体です。スナブ二面体はそのうちの1つであり、84番目のジョンソン立体として列挙されています。^{[7]スナブ二面体の双対多面体は、}細長いジャイロビファスティギウムです。 ${\displaystyle J_{84}}$

辺の長さが12のスナブ二蝶形の表面積は^[8] 12の正三角形の面積である。その体積は次の式で計算できる: ^[8]${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A=3{\sqrt {3}}a^{2}\approx 5.19615a^{2},}$$ $${\displaystyle V\approx 0.85949a^{3}.}$$

スナブ二蝶形は、正方二蝶形と同じ対称性、つまり8次の反柱対称性 を持ちます。すなわち、2つの反対辺の中点を通る180°回転対称軸、この軸を通る2つの垂直な反射対称面、および軸に垂直な反射とそれに続く1/4回転、そしておそらく軸に平行な別の反射によって与えられる4つの追加の対称操作を持ちます。[ ^6]${\displaystyle D_{2\mathrm {d}}}$

対称性と平行移動を除けば、スナブ二蝶形面には 5 種類の単純な (自己交差しない)閉じた測地線があります。これらは多面体の表面上の経路で、頂点を避け、局所的には最短経路のように見えます。つまり、交差する多面体の各面を横切る直線セグメントをたどり、多面体の辺を横切るときに、その辺に入射する 2 つの面で補角を作ります。直感的には、この経路に沿って多面体の周りに輪ゴムを張っても、輪ゴムは所定の位置に留まります。局所的に経路を変更して短くする方法はありません。たとえば、測地線の 1 つの種類は、スナブ二蝶形面の 2 つの反対側の辺の中点 (対称軸が多面体から出る場所) を角度 で横切ります。 2 つ目のタイプの測地線は、スナブ二蝶形と対称軸 (多面体の赤道) を垂直に二等分する平面との交点付近を通り、8 つの三角形の辺をとの間で交互に角度を成して横切ります。多面体の表面上の測地線を少しだけ (シフトしても頂点と交差しない程度に) シフトしても、測地線としての性質と長さは維持されるため、これら 2 つの例には、同じタイプのシフト バージョンがあり、対称性が低く配置されています。スナブ二蝶形上の 1 辺の長さが 1 の 5 つの単純な閉じた測地線の長さは、次のとおりです。 ${\displaystyle \pi /3}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \pi /6}$

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$(赤道測地線の場合)、、(反対側の辺の中点を通る測地線の場合)、、 および。${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$

無限に多くの種類の単純な閉じた測地線を持つ四面体を除いて、スナブ二蝶形は三角面体の中で最も多くの種類の測地線を持っています。^[9]

スナブ二面体は4 連結であり、つまり 4 つの頂点を削除すると残りの頂点が切断される。これは 4 連結の単体的多面体で 覆われた4 つのうちの 1 つであり、つまり頂点の最大独立集合がすべて同じサイズである。この特性を持つ他の 3 つの多面体は、正八面体、五角両錐体、および 12 の頂点と 20 の三角形の面を持つ不規則多面体である。^[10]

計算化学と分子物理学の研究では、スナブ二蝶形の頂点を中心とする球は、数値実験によれば、8つの球のクラスターの中で可能な限り最小のレナード・ジョーンズポテンシャルを持つクラスターを形成する。^[5]

化合物の幾何学では、多面体は中心原子を囲む原子クラスターとして視覚化されることがあります。十二面体分子幾何学は、それがスナブ二面体であるクラスターを記述します。^[11]

スナブ二面体という名前は、ジョンソン（1966）によるジョンソン立体の分類に由来する。^[12]しかし、この立体はラウゼンバーガー（1915）によって初めて研究された。^{[13] [14]これは、フロイデンタールとファン・D・ワーデン（1947）の論文で再研究され、8つの凸型}デルタ面体の集合が初めて説明され、シャム十二面体と名付けられた。^{[15] [14]}

十二面体という名前は、12 面のデルタ面体であることにちなんで、ベルナル (1964) によって同じ形状に付けられました。六角両錐体などの単体十二面体もありますが、正辺の面で実現できるのはこれだけです。ベルナルは、不規則に密に詰めた球の配置でできる穴の形に興味を持っていたため、デルタ面体の制限的な定義を使用しました。デルタ面体は、合同な球の集合の中心によって形成できる三角形の面を持つ凸多面体であり、その接線は多面体の辺を表し、この球のシステムによって作成されたケージ内に別の球を詰める余地はありません。この制限的な定義では、三角双錐（1つの穴ではなく2つの四面体の穴を形成するため）、五角双錐（頂点の球が相互に浸透するため、球のパッキングには発生しないため）、正二十面体（別の球のための内部空間があるため）は認められない。ベルナルは、スナブ二角錐は「結晶学におけるカルシウムイオンの非常に一般的な配位」であると書いている。^[16]配位幾何学では、通常、三角十二面体または単に十二面体として知られている。^{[2] [出典が必要]}

• ワイスタイン、エリック W.「スナブディスフェノイド」。マスワールド。