オーリフィーユ因数分解

数論において、オーリフィーユ因数分解は、レオン・フランソワ・アントワーヌ・オーリフィーユにちなんで名付けられ、円分多項式の特定の整数値の因数 分解である。^{[1]円分多項式は整数上の}既約多項式であるため、このような因数分解は多項式の代数的因数分解からは得られない。しかし、円分多項式から生じる特定の整数族には、以下の例のように、族全体に適用される式によって与えられる因数分解がある。

• の形の数は、次のような因数分解（ソフィー・ジェルマンの恒等式）を持つ：および と設定すると、 の次のオーリフィーユ因数分解が得られる。ここで は4番目の円分多項式である：^[2]${\displaystyle a^{4}+4b^{4}}$$${\displaystyle a^{4}+4b^{4}=(a^{2}-2ab+2b^{2})\cdot (a^{2}+2ab+2b^{2}).}$$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=2^{k}}$${\displaystyle \Phi _{4}(2^{2k+1})=2^{4k+2}+1}$${\displaystyle \ファイ _{4}(x)=x^{2}+1}$ $${\displaystyle 2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1} +1)。}$$
• 形式の数は次のように因数分解されます。ここで、最初の因数 ( ) は2 つの立方数の和の代数因数分解です。およびと設定すると、次の の因数分解が得られます。^[2]ここで、因数分解の 3 つの項のうち最初の項は であり、残りの 2 つの項は ​​のオーリフィーユ因数分解を提供します。ここで です。${\displaystyle a^{6}+27b^{6}}$${\displaystyle a^{2}+3b^{2}}$$${\displaystyle a^{6}+27b^{6}=(a^{2}+3b^{2})\cdot (a^{2}-3ab+3b^{2})\cdot (a^ {2}+3ab+3b^{2}).}$$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=3^{k}}$${\displaystyle 3^{6k+3}+1}$ $${\displaystyle 3^{6k+3}+1=(3^{2k+1}+1)\cdot (3^{2k+1}-3^{k+1}+1)\cdot (3^{2k+1}+3^{k+1}+1).}$$${\displaystyle \Phi _{2}(3^{2k+1})}$${\displaystyle \ファイ _{6}(3^{2k+1})}$${\displaystyle \Phi_{6}(x)=x^{2}-x+1}$
• 形式の数またはその因数（平方自由度を含む）は、次のいずれかの条件が満たされる場合にのみ、オーリフィーユ因数分解を持ちます。 ${\displaystyle b^{n}-1}$${\displaystyle \Phi_{n}(b)}$${\displaystyle b=s^{2}\cdot t}$ ${\displaystyle t}$
  • ${\displaystyle t\equiv 1{\pmod {4}}}$そして${\displaystyle n\equiv t{\pmod {2t}}}$
  • ${\displaystyle t\equiv 2,3{\pmod {4}}}$そして${\displaystyle n\equiv 2t{\pmod {4t}}}$

したがって、平方根のない で、 がを法としてと合同な場合、 が1 mod 4 と合同な場合はオーリフィーユ因数分解が起こり、そうでない場合はオーリフィーユ因数分解が起こります。${\displaystyle b=s^{2}\cdot t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle b^{n}-1}$${\displaystyle b^{n}+1}$

• 数が特定の形式である場合（正確な表現は基数によって異なる）、2つまたは3つの数の積を与えるオーリフィーユ因数分解が使用されることがある。次の式は、カニンガム計画基数のオーリフィーユ因数をF、L、およびMの積として与える：^[3]

L = C − D、M = C + Dとすると、 2 ≤ b ≤ 24 の底を持つ( b ⁿの累乗は b の累乗でもあるため、完全累乗は除く)、b n ^± 1 のオーリフィーユ因数分解の形式はF * ( C − D ) * ( C + D ) = F * L * Mであり、次のようになる。

（199までと998までのすべての平方自由基数の多項式の係数については、 ^{[4] [5] [6]}を参照）

• ルーカス数は 次のようなオーリフィーユ因数分解を持つ: ^[7]${\displaystyle L_{10k+5}}$

${\displaystyle L_{10k+5}=L_{2k+1}\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}-5F_{2k+1}+1)\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}+5F_{2k+1}+1)}$

ここでは番目のルーカス数、 は番目のフィボナッチ数です。${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n}$

1869年、オーリフィーユ因数分解が発見される前に、ランドリー [fr; es; de]は、膨大な手作業による努力により^{[8] [9]、}次の素因数分解を達成しました。

${\displaystyle 2^{58}+1=5\cdot 107367629\cdot 536903681.}$

3年後の1871年、オーリフィーユはこの因数分解の性質を発見した。つまり、 の数は、前のセクションの式で次のように因数分解される: ^{[2] [8]}${\displaystyle 2^{4k+2}+1}$${\displaystyle k=14}$

${\displaystyle 2^{58}+1=(2^{29}-2^{15}+1)(2^{29}+2^{15}+1)=536838145\cdot 536903681.}$

もちろん、ランドリーの完全な因数分解はこれに従います（明らかな因数5を取り除いてください）。因数分解の一般的な形式は後にルーカスによって発見されました。^[2]

536903681はガウスメルセンヌノルムの例である。^[9]

• オーリフィーユ因数分解、コリン・バーカー
• オーリフィーユ因数分解、ジェラール・P・ミション
• オーリフィーユ型因数分解の探索
• オンライン要素収集
• オーリフィーユ因数分解に関する注記
• オーリフィーユ因数分解