二項数

数学、特に数論において、二項数は、2 つの項を含む同次多項式を評価することによって得られる整数です。これは、カニンガム数の一般化です。

二項数は、2 つの項を含む同次多項式(二項式とも呼ばれる)を評価することによって得られる整数です。この二項式の形式はで、および です。ただし、は常に で割り切れるため、負の符号付きバージョンから生成された数を調べるときは、通常、最初に で割ります。このようにして形成された二項数は、ルーカス列 を形成します。具体的には、 ${\displaystyle x^{n}\!\pm y^{n}}$${\displaystyle x>y}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle x^{n}\!-y^{n}}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle U_{n}(a+b,ab)={\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}},}$そして${\displaystyle V_{n}(a+b,ab)=a^{n}\!+b^{n}}$

二項数はカニンガム数の一般化であり、カニンガム数は の二項数であることが分かります。二項数のその他の部分集合はメルセンヌ数とレプユニットです。 ${\displaystyle y=1}$

これらの数を研究する主な目的は、それらの因数分解を得ることです。2つの平方の差や2 つの立方の合計など、数を定義するために使用された基礎となる多項式 (二項式) を因数分解することによって得られる代数因数とは別に、一見ランダムに発生するその他の素因数 (ジグモンディの定理で述べられている少数の例外を除いて、与えられた場合に と因数分解しないため原始素因数と呼ばれます) があり、数論学者が探しているのはこれらです。 ${\displaystyle x^{n}\!\pm y^{n}}$${\displaystyle x^{m}\!\pm y^{m}}$${\displaystyle m<n}$

いくつかの二項式にはオーリフィーユ因数分解があり^[1]、素因数を見つけるのに役立ちます。円分多項式も因数分解を見つけるのに役立ちます。^[2]

ルジャンドルの定理を適用することで、因数を探すのに必要な作業量が大幅に削減されます。^{[3]この定理は、 が}偶数の場合、二項数のすべての因数は の形式であり、が奇数の場合、の形式であると述べています。 ${\displaystyle kn+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2kn+1}$

二項係数を意味するときに「二項数」と書く人もいますが、この用法は標準的ではなく、非推奨です。

• カニンガムプロジェクト

• リーゼル、ハンス (1994)。素数と因数分解のためのコンピュータ手法。数学の進歩。第 126 巻 (第 2 版)。ボストン、マサチューセッツ州: バークハウザー。ISBN 0-8176-3743-5.ZBL0821.11001  。​

• MathWorld の二項数