ウィーナーデコンボリューション

数学において、ウィーナーデコンボリューションは、デコンボリューションに固有のノイズ問題にウィーナーフィルターを応用したものです。これは周波数領域で動作し、信号対雑音比が悪い周波数でのデコンボリューションされたノイズの影響を最小限に抑えようとします。

ほとんどの視覚画像の周波数スペクトルは非常に安定しており、簡単に推定できるため、 ウィーナー逆畳み込み法は画像逆畳み込みアプリケーションで広く使用されています。

ウィーナーデコンボリューションはノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられました。

次のようなシステムが与えられたとします:

${\displaystyle \y(t)=(h*x)(t)+n(t)}$

ここで は畳み込みを表し、 ${\displaystyle *}$

• ${\displaystyle \x(t)}$は、時刻における何らかの元の信号（不明）です。${\displaystyle \t}$
• ${\displaystyle \h(t)}$線形時間不変システムの既知のインパルス応答である
• ${\displaystyle \n(t)}$は、未知の付加ノイズであり、${\displaystyle \x(t)}$
• ${\displaystyle \y(t)}$観測された信号は

私たちの目標は、次のように推定できるものを見つけることです。 ${\displaystyle \g(t)}$${\displaystyle \x(t)}$

${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)=(g*y)(t)}$

ここで、平均二乗誤差を最小化する推定値である。${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)}$${\displaystyle \x(t)}$

${\displaystyle \\epsilon(t)=\mathbb{E}\left|x(t)-{\hat{x}}(t)\right|^{2}}$、

は期待値を表します。ウィーナーデコンボリューションフィルタはそのような を提供します。フィルタは周波数領域で最も簡単に記述できます。 ${\displaystyle \\mathbb{E}}$${\displaystyle \g(t)}$

${\displaystyle \ G(f)={\frac {H^{*}(f)S(f)}{|H(f)|^{2}S(f)+N(f)}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \G(f)}$および はおよびのフーリエ変換であり、${\displaystyle \H(f)}$${\displaystyle \g(t)}$${\displaystyle \h(t)}$
• ${\displaystyle \ S(f)=\mathbb {E} |X(f)|^{2}}$は元の信号の平均パワースペクトル密度であり、${\displaystyle \x(t)}$
• ${\displaystyle \ N(f)=\mathbb {E} |V(f)|^{2}}$はノイズの平均パワースペクトル密度であり、${\displaystyle \n(t)}$
• ${\displaystyle X(f)}$、、およびは、それぞれ、および、およびのフーリエ変換である。${\displaystyle Y(f)}$${\displaystyle V(f)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle n(t)}$
• 上付き文字は複素活用を表します。${\displaystyle {}^{*}}$

フィルタリング操作は、上記のように時間領域で実行することも、周波数領域で実行することもできます。

${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)=G(f)Y(f)}$

次に逆フーリエ変換を実行してを取得します。 ${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)}$${\displaystyle \ {\hat {x}}(t)}$

なお、画像の場合は上記の引数は2 次元になりますが、結果は同じになります。 ${\displaystyle \t}$${\displaystyle \f}$

上記のフィルタ式を書き直すと、ウィーナー フィルタの動作が明らかになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}G(f)&={\frac {1}{H(f)}}\left[{\frac {1}{1+1/(|H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f))}}\right]\end{aligned}}}$

ここで、は元のシステムの逆、は信号対雑音比、 は純粋にフィルタリングされた信号と雑音のスペクトル密度の比です。 ノイズがゼロの場合（つまり、信号対雑音が無限大の場合）、角括弧内の項は 1 に等しくなります。これは、予想どおり、ウィーナー フィルタがシステムの逆であることを意味します。 ただし、特定の周波数でノイズが増加すると、信号対雑音比が低下するため、角括弧内の項も低下します。 つまり、ウィーナー フィルタは、フィルタリングされた信号対雑音比に応じて周波数を減衰させます。 ${\displaystyle \ 1/H(f)}$${\displaystyle \ \mathrm {SNR} (f)=S(f)/N(f)}$${\displaystyle \ |H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f)}$

上記のウィーナー フィルター方程式では、一般的な画像のスペクトル コンテンツとノイズのスペクトル コンテンツを知る必要があります。多くの場合、これらの正確な量にアクセスすることはできませんが、適切な推定を行うことができる状況にある場合があります。たとえば、写真画像の場合、信号 (元の画像) には通常、強い低周波数と弱い高周波数が含まれますが、多くの場合、ノイズ コンテンツは周波数に対して比較的平坦になります。

上で述べたように、平均二乗誤差を最小化する元の信号の推定値を生成したいのですが、これは次のように表すことができます。

${\displaystyle \\epsilon(f)=\mathbb{E}\left|X(f)-{\hat{X}}(f)\right|^{2}}$。

の前述の定義との同等性は、フーリエ変換に対するプランシュレルの定理またはパーセバルの定理を使用して導くことができます。 ${\displaystyle \epsilon }$

を式に代入すると、上の式は次のように変形できる。 ${\displaystyle \ {\hat {X}}(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)Y(f)\right|^{2}\\&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)\left[H(f)X(f)+V(f)\right]\right|^{2}\\&=\mathbb {E} {\big |}\left[1-G(f)H(f)\right]X(f)-G(f)V(f){\big |}^{2}\end{aligned}}}$

二次方程式を展開すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon (f)&={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} |X(f)|^{2}\\&{}-{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}G^{*}(f)\,\mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}\\&{}-G(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f){\Big \}}\\&{}+G(f)G^{*}(f)\,\mathbb {E} |V(f)|^{2}\end{aligned}}}$

ただし、ノイズは信号とは独立していると仮定しているため、次のようになります。

${\displaystyle \\mathbb{E} {\Big\{}X(f)V^{*}(f){\Big\}}=\mathbb{E} {\Big\{}V(f)X^{*}(f){\Big\}}=0}$

パワースペクトル密度とを代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \S(f)}$${\displaystyle \N(f)}$

${\displaystyle \epsilon (f)={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)+G(f)G^{*}(f)N(f)}$

最小の誤差値を見つけるには、に対するWirtinger 導関数を計算し、それをゼロに設定します。 ${\displaystyle \G(f)}$

${\displaystyle \ {\frac {d\epsilon (f)}{dG(f)}}=0\Rightarrow G^{*}(f)N(f)-H(f){\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)=0}$

この最終的な等式を並べ替えると、ウィーナー フィルターが得られます。

• 情報場理論
• デコンボリューション
• ウィーナーフィルター
• 点広がり関数
• ブラインドデコンボリューション
• フーリエ変換

ウィキメディア コモンズには、モーション ブラー画像でのウィーナー逆畳み込みの例 (および MATLAB/GNU Octave のソース コード) に関連するメディアがあります。

• Rafael Gonzalez、Richard Woods、Steven Eddins。『Matlab を使用したデジタル画像処理』Prentice Hall、2003 年。

• さまざまなデコンボリューション方法の比較。