フリー畳み込み

自由畳み込みは、確率測度の畳み込みという古典的な概念の自由確率論における類似概念です。自由確率論は非可換であるため、自由ランダム変数の加算と乗算から生じる加法的自由畳み込みと乗法的自由畳み込みを別々に議論する必要があります（下記参照。古典的な場合、自由乗法的畳み込みの類似概念は、ランダム変数の対数に移行することで加法的畳み込みに還元できます）。これらの演算は、ランダム行列の経験的スペクトル測度の観点からいくつかの解釈を持ちます。^{[ 1 ]}

自由畳み込みの概念は、ダン＝ヴィルジル・ヴォイクレスクによって導入された。^{[ 2 ] [ 3 ]}

させて${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$は実数直線上の2つの確率測度であり、${\displaystyle X}$は、法則を満たす非可換確率空間の確率変数である。${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle Y}$は、法則を持つ同じ非可換確率空間内の確率変数である。${\displaystyle \nu }$最後に、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は完全に独立している。すると、自由加算畳み込み${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$法則は${\displaystyle X+Y}$ランダム行列の解釈:${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$独立系${\displaystyle n}$による${\displaystyle n}$エルミート（または実対称）ランダム行列であって、少なくとも１つが任意のユニタリ（または直交）行列による共役に対して法則的に不変であり、かつ経験的スペクトル尺度が${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それぞれ${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$として${\displaystyle n}$が無限大に近づくと、経験的スペクトル尺度は${\displaystyle A+B}$傾向${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$[ ^{4 ]​}

多くの場合、確率測度を計算することが可能です${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$複素解析的手法と尺度のR変換を明示的に用いることによって${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$。

コンパクト台を持つ確率測度の自由畳み込みと古典的畳み込みの間には、正確な関数関係が存在する。${\displaystyle f}$自由畳み込みの上${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ せいぜい期待されるのは${\displaystyle f}$古典的な畳み込みに対して、4 階微分が${\displaystyle f}$は非負である。4階微分が非負であることは、コンパクト台を持つすべての集合に対して比較が成り立つための必要条件でもある。${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$[ ^{5 ]​}

矩形自由加算畳み込み（比率付き）${\displaystyle c}$）${\displaystyle \boxplus _{c}}$また、非可換確率の枠組みにおいてベナイシュ＝ジョルジュ^{[ 6 ]}によって定義されており、以下のランダム行列の解釈が可能である。${\displaystyle c\in [0,1]}$、 のために ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$独立系${\displaystyle n}$による${\displaystyle p}$少なくとも 1 つの行列が、任意のユニタリ行列 (または直交行列) による左および右への乗算に対して法則的に不変であり、かつ経験的特異値分布が${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それぞれ${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$として${\displaystyle n}$そして${\displaystyle p}$無限大に近づくように${\displaystyle n/p}$傾向${\displaystyle c}$すると、経験的特異値分布は${\displaystyle A+B}$傾向${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$[ ^{7 ]​}

多くの場合、確率測度を計算することが可能です${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$複素解析的手法と比率を持つ矩形R変換を明示的に用いる${\displaystyle c}$対策の${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$。

させて${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$区間上の 2 つの確率測度とする${\displaystyle [0,+\infty )}$そして、${\displaystyle X}$は、法則を満たす非可換確率空間の確率変数である。${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle Y}$は、法則を持つ同じ非可換確率空間内の確率変数である。${\displaystyle \nu }$最後に、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は自由に独立している。すると、自由乗法畳み込み${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$法則は${\displaystyle X^{1/2}YX^{1/2}}$（あるいは同等に、${\displaystyle Y^{1/2}XY^{1/2}}$ランダム行列の解釈: ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$独立系${\displaystyle n}$による${\displaystyle n}$少なくとも１つが任意のユニタリ行列（または直交行列）による共役に対して法則的に不変であり、かつ経験的スペクトル尺度が${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それぞれ${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$として${\displaystyle n}$が無限大に近づくと、経験的スペクトル尺度は${\displaystyle AB}$傾向${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$[ ^{8 ]​}

法律の場合も同様の定義が可能である。${\displaystyle \mu ,\nu }$単位円上に支持されている${\displaystyle \{z:|z|=1\}}$直交ランダム行列またはユニタリランダム行列の解釈による。

乗法自由畳み込みの明示的な計算は、複素解析的手法とS変換を用いて行うことができる。

• 自由畳み込みは、自由中心極限定理の証明を与えるために使用できる。
• 自由畳み込みは、自由な確率変数の和や積の法則やスペクトルを計算するために使用できます。そのような例としては、自由群上のランダムウォーク演算子（ケステン測度）や、独立なランダム行列の和や積の固有値の漸近分布などが挙げられます。

ランダム行列への応用を通して、自由畳み込みは、ギルコのG推定に関する他の研究と強い関連性を持っている。

無線通信、金融、生物学における応用例は、観測データの数がシステムの規模と同程度である場合に、有用な枠組みを提供してきた。

• 畳み込み
• 自由確率
• ランダム行列

• 「信号処理アプリケーションのための自由逆畳み込み」、O. RyanおよびM. Debbah、ISIT 2007、pp.  1846–1850
• James A. Mingo、Roland Speicher:自由確率とランダム行列。フィールズ研究所モノグラフ、第35巻、Springer、ニューヨーク、2017年。
• D.-V. Voiculescu、N. Stammeier、M. Weber (編):自由確率と作用素環、ミュンスター数学講義、EMS、2016

• アルカテル・ルーセントのフレキシブル無線に関する講座
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• ローランド・シュパイヒャーによる自由確率に関する概説論文。