共分散

確率論と統計学における共分散は、2つのランダム変数の同時変動性の尺度である。^[1]

したがって、共分散の符号は、変数間の線形関係の傾向を示します。 1 つの変数の大きい値が主に他の変数の大きい値に対応し、同じことが小さい値にも当てはまる場合 (つまり、変数は同様の動作を示す傾向がある場合)、共分散は正になります。 ^[2]逆に、1 つの変数の大きい値が主に他の変数の小さい値に対応する場合 (つまり、変数は反対の動作を示す傾向がある場合)、共分散は負になります。 共分散の大きさは、2 つのランダム変数に共通する分散の幾何平均です。相関係数は、 2 つのランダム変数の合計分散の幾何平均で割ることによって共分散を正規化します。

（1）2つのランダム変数の共分散（結合確率分布の特性として見ることができる母数 パラメータ）と、（2）標本の記述子として機能するだけでなく、母数パラメータの推定値としても機能する標本共分散を区別する必要があります。

2つの共分布する 実数値ランダム変数 と有限の2次モーメントを持つ場合、共分散は、それぞれの期待値からの偏差の積の期待値（または平均）として定義されます。 ^{[3] [4] : 119}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}}$$

ここで、 はの期待値であり、 の平均とも呼ばれます。共分散は、分散と類似して、 またはと表記されることもあります。期待値の線形性を使用することで、これはそれらの積の期待値からそれらの期待値の積を引いたものに簡略化できます。 ただし、この式は壊滅的な相殺 の影響を受けやすいです(下の数値計算のセクションを参照)。 ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma _{XY}}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} \left[X\right]\right)\left(Y-\operatorname {E} \left[Y\right]\right)\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY-X\operatorname {E} \left[Y\right]-\operatorname {E} \left[X\right]Y+\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]+\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]\\&=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right],\end{aligned}}}$$

共分散の測定単位は、の単位と の単位を掛け合わせたものです。対照的に、共分散に依存する相関係数は、線形従属の無次元の尺度です。(実際、相関係数は、共分散の正規化されたバージョンとして簡単に理解できます。) ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

2つの複素確率変数 間の共分散は次のように定義される^{[4] :119}${\displaystyle Z,W}$ $${\displaystyle \operatorname {cov} (Z,W)=\operatorname {E} \left[(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}\right]=\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} \left[{\overline {W}}\right]}$$

定義の 2 番目の要素の複雑な活用に注意してください。

関連する疑似共分散も定義できます。

（実）ランダム変数ペアがの値を等確率でとることができる場合、共分散は平均とに関して次のよう に同等に表すことができます。${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle p_{i}=1/n}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).}$$

手段を直接参照せずに、次のように表現することもできる。^[5] $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j}).}$$

より一般的には、の実現が可能であるが、の確率が等しくない場合、共分散は ${\displaystyle n}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).}$$

2 つの離散確率変数とが結合確率分布を持ち、結合確率に対応する要素によって表される場合、共分散は行列のインデックスの二重和を使用して計算されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p_{i,j}}$${\displaystyle P(X=x_{i},Y=y_{j})}$

$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i,j}(x_{i}-E[X])(y_{j}-E[Y]).}$$

3 つの独立したランダム変数と 2 つの定数を考えます。 特殊なケース、およびでは、と の間の共分散は の分散であり、共分散という名前はまったく適切です。 ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle q,r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=qA+B\\Y&=rA+C\\\operatorname {cov} (X,Y)&=qr\operatorname {var} (A)\end{aligned}}}$$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$

とが次の結合確率質量関数を持つと仮定する。^[6]ここで、6つの中央のセルは、 6つの仮想的な実現の離散結合確率を与える。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle (x,y)\in S=\left\{(5,8),(6,8),(7,8),(5,9),(6,9),(7,9)\right\}}$

${\displaystyle X}$は3つの値（5、6、7）を取ることができ、 は2つの値（8と9）を取ることができます。それらの平均は、およびです。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu _{X}=5(0.3)+6(0.4)+7(0.1+0.2)=6}$${\displaystyle \mu _{Y}=8(0.4+0.1)+9(0.3+0.2)=8.5}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)={}&\sigma _{XY}=\sum _{(x,y)\in S}f(x,y)\left(x-\mu _{X}\right)\left(y-\mu _{Y}\right)\\[4pt]={}&(0)(5-6)(8-8.5)+(0.4)(6-6)(8-8.5)+(0.1)(7-6)(8-8.5)+{}\\[4pt]&(0.3)(5-6)(9-8.5)+(0)(6-6)(9-8.5)+(0.2)(7-6)(9-8.5)\\[4pt]={}&{-0.1}\;.\end{aligned}}}$$

分散は、2つの変数が同一である共分散の特別なケースである: ^{[4] : 121} $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)\equiv \sigma ^{2}(X)\equiv \sigma _{X}^{2}.}$$

、、、が実数値のランダム変数であり、が実数値の定数である場合、共分散の定義から次の事実が導かれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a,b,c,d}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,a)&=0\\\operatorname {cov} (X,X)&=\operatorname {var} (X)\\\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} (Y,X)\\\operatorname {cov} (aX,bY)&=ab\,\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (X+a,Y+b)&=\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (aX+bY,cW+dV)&=ac\,\operatorname {cov} (X,W)+ad\,\operatorname {cov} (X,V)+bc\,\operatorname {cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {cov} (Y,V)\end{aligned}}}$$

実数値の確率変数の列と定数に対して、 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$$${\displaystyle \operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma ^{2}(X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j}{a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}$$

2つのランダム変数間の共分散を計算するための便利な恒等式は 、Hoeffdingの共分散恒等式である: ^[7] ここで、はランダムベクトルの結合累積分布関数であり、は周辺分布である。 ${\displaystyle X,Y}$ $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\left(F_{(X,Y)}(x,y)-F_{X}(x)F_{Y}(y)\right)\,dx\,dy}$$${\displaystyle F_{(X,Y)}(x,y)}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle F_{X}(x),F_{Y}(y)}$

共分散がゼロであるランダム変数は無相関と呼ばれます。^{[4] : 121}同様に、主対角線外のすべての要素で共分散行列がゼロであるランダムベクトルの成分も無相関と呼ばれます。

とが独立した確率変数である場合、それらの共分散はゼロである。^{[4] : 123  [8]}これは、独立性の下では、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].}$$

しかし、逆は一般には真ではありません。たとえば、 がに一様に分布し、 が であるとします。明らかに、と は独立ではありませんが、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle Y=X^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} \left(X,X^{2}\right)\\&=\operatorname {E} \left[X\cdot X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} \left[X^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{3}\right]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} \left[X^{2}\right]\\&=0-0\cdot \operatorname {E} [X^{2}]\\&=0.\end{aligned}}}$$

この場合、との関係は非線形ですが、相関と共分散は2つのランダム変数間の線形依存関係の尺度です。この例は、2つのランダム変数が無相関である場合、それが一般に独立していることを意味しないことを示しています。ただし、2つの変数が一緒に正規分布している場合（ただし、それらが個別に正規分布している場合は除きます）、無相関であることは独立性を意味します。[ ^9]${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$共分散が正であると は正の相関があると言われ、であれば となる可能性が高いことを意味します。逆に、共分散が負であるとは負の相関があり、であれば となる可能性が高いです。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X>E[X]}$${\displaystyle Y>E[Y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X>E[X]}$${\displaystyle Y<E[Y]}$

共分散の特性の多くは、内積と同様の特性を満たすことを観察することで簡潔に抽出できます。

1. 双線形：定数とランダム変数の場合${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X,Y,Z,}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (aX+bY,Z)=a\operatorname {cov} (X,Z)+b\operatorname {cov} (Y,Z)}$
2. 対称:${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)}$
3. 半正定値:すべてのランダム変数に対して、 がほぼ確実に定数であることを意味します。${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\operatorname {cov} (X,X)\geq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=0}$${\displaystyle X}$

実際、これらの特性は、共分散が、有限の 2 次モーメントを持つランダム変数の部分空間を取り、定数だけ異なる任意の 2 つを識別することによって得られる商ベクトル空間上の内積を定義することを意味します。(この識別により、上記の正の半定値が正の定値性に変換されます。) その商ベクトル空間は、有限の 2 次モーメントと平均 0 を持つランダム変数の部分空間と同型です。その部分空間では、共分散はサンプル空間上の実数値関数のL ²内積とまったく同じです。

その結果、有限分散を持つランダム変数の場合、 コーシー・シュワルツの不等式 を介して不等式が成立します。 $${\displaystyle \left|\operatorname {cov} (X,Y)\right|\leq {\sqrt {\sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)}}}$$

証明: ならば、それは自明に成り立つ。そうでなければ、ランダム変数 ${\displaystyle \sigma ^{2}(Y)=0}$$${\displaystyle Z=X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y.}$$

そして、 $${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \sigma ^{2}(Z)&=\operatorname {cov} \left(X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y,\;X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y\right)\\[12pt]&=\sigma ^{2}(X)-{\frac {(\operatorname {cov} (X,Y))^{2}}{\sigma ^{2}(Y)}}\\\implies (\operatorname {cov} (X,Y))^{2}&\leq \sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)\\\left|\operatorname {cov} (X,Y)\right|&\leq {\sqrt {\sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)}}\end{aligned}}}$$

観測されていない母集団から抽出された各変数の観測に基づく変数間の標本共分散は、次のエントリを持つ 行列で与えられる。${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K\times K}$ ${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathbf {q} }}=\left[q_{jk}\right]}$

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(X_{ij}-{\bar {X}}_{j}\right)\left(X_{ik}-{\bar {X}}_{k}\right),}$

これは変数と変数間の共分散の推定値です。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

標本平均と標本共分散行列は、ランダムベクトルの平均と共分散行列の不偏推定値です。ランダムベクトル は、 j番目の要素がランダム変数の 1 つであるベクトルです。標本共分散行列の分母に ではなくが含まれる理由は、基本的に、母平均が不明で標本平均 で置き換えられるためです。母平均がわかっている場合、類似の不偏推定値は次のように表されます。 ${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$${\displaystyle (j=1,\,\ldots ,\,K)}$${\displaystyle \textstyle N-1}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )}$${\displaystyle \mathbf {\bar {X}} }$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )}$

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(X_{ij}-\operatorname {E} \left(X_{j}\right)\right)\left(X_{ik}-\operatorname {E} \left(X_{k}\right)\right)}$。

有限の2次モーメントを持つ共分布ランダム変数のベクトルに対して、その自己共分散行列（分散共分散行列または単に共分散行列とも呼ばれる） （またはとも表記される）は次のように定義される^{[10] ：335}${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}&\dots &X_{m}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$${\displaystyle \Sigma (\mathbf {X} )}$${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

共分散行列Σを持つランダムベクトルを とし、左側に作用する行列をAとします。行列ベクトル積AXの共分散行列は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (\mathbf {AX} ,\mathbf {AX} )&=\operatorname {E} \left[\mathbf {AX(A} \mathbf {X)} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {AX} ]\operatorname {E} \left[(\mathbf {A} \mathbf {X} )^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {AXX} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {AX} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right]\\&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {A} \operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\\&=\mathbf {A} \left(\operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\right]\right)\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\\&=\mathbf {A} \Sigma \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

これは期待値の線形性の直接的な結果であり、白色化変換などの線形変換をベクトルに 適用する場合に役立ちます。

実数ランダムベクトル との場合、相互共分散行列は^[10]に等しい^：336${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m\times n}$

ここで はベクトル (または行列) の転置です。 ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

この行列の 番目の要素は、 のi番目のスカラー成分とのj番目のスカラー成分間の共分散に等しくなります。特に、 は の転置です。 ${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},Y_{j})}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )}$${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$

より一般的には、およびを、または第1変数に反線型なヒルベルト空間とし、をそれぞれ値を持つランダム変数とします。すると、およびの共分散は、 （第1変数に反線型） 上のセクスティリニア形式で、次のように与えられます。${\displaystyle H_{1}=(H_{1},\langle \,,\rangle _{1})}$${\displaystyle H_{2}=(H_{2},\langle \,,\rangle _{2})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle \,,\rangle }$${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {Y} }$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{X,Y}(h_{1},h_{2})=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )(h_{1},h_{2})&=\operatorname {E} \left[\langle h_{1},(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])\rangle _{1}\langle (\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]),h_{2}\rangle _{2}\right]\\&=\operatorname {E} [\langle h_{1},\mathbf {X} \rangle _{1}\langle \mathbf {Y} ,h_{2}\rangle _{2}]-\operatorname {E} [\langle h,\mathbf {X} \rangle _{1}]\operatorname {E} [\langle \mathbf {Y} ,h_{2}\rangle _{2}]\\&=\langle h_{1},\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\dagger }\right]h_{2}\rangle _{1}\\&=\langle h_{1},\left(\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\dagger }]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\dagger }\right)h_{2}\rangle _{1}\\\end{aligned}}}$$

のとき、とが正確に計算されない場合、方程式は壊滅的なキャンセルを起こしやすいため、データが以前に中心化されていない場合はコンピュータプログラムでは避けるべきです。^{[11]この場合、}数値的に安定したアルゴリズムが優先されます。^[12]${\displaystyle \operatorname {E} [XY]\approx \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[XY\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]\operatorname {E} \left[Y\right]}$

共分散は、2 つのランダム変数間の「線形依存性」の尺度と呼ばれることもあります。これは、線形代数の文脈での意味とは異なります(線形依存性を参照)。共分散を正規化すると、ピアソン相関係数が得られます。これは、変数間の関係を記述する最適な線形関数の適合度を示します。この意味で、共分散は依存性の線形尺度です。

共分散は生物学において重要な尺度である。DNA の特定の配列は種の間で他の配列よりも保存されているため、タンパク質の二次構造と三次構造、またはRNA構造を研究するには、近縁種の配列を比較します。配列の変化が見つかるか、非コード RNA (マイクロ RNAなど) にまったく変化が見つからない場合、配列は RNA ループなどの共通の構造モチーフに必要であることがわかります。遺伝学では、共分散は遺伝関係マトリックス (GRM) (別名血縁マトリックス) を計算するための基礎となり、近親者が知られていないサンプルからの集団構造の推論や、複雑な形質の遺伝率の推定の推論が可能になります。

進化と自然選択の理論では、価格方程式は遺伝形質の頻度が時間の経過とともにどのように変化するかを説明します。この方程式は、形質と適応度の共分散を使用して、進化と自然選択を数学的に説明します。これは、遺伝子伝達と自然選択が集団の各新世代内の遺伝子の割合に与える影響を理解する方法を提供します。^{[13] [14]}

共分散は金融経済学、特に現代ポートフォリオ理論と資本資産価格モデルにおいて重要な役割を果たします。さまざまな資産の収益間の共分散は、特定の仮定の下で、投資家が分散投資の観点から保有すべき（規範的分析）または保有すると予測される（実証的分析）さまざまな資産の相対的な量を決定するために使用されます。

共分散行列は、気象予報モデルを実行するために必要な初期条件を推定する上で重要であり、この手順はデータ同化と呼ばれます。「予報誤差共分散行列」は、通常、平均状態 (気候学的平均またはアンサンブル平均) の周りの摂動間で構築されます。「観測誤差共分散行列」は、複合観測誤差 (対角線上) の大きさと、測定値間の相関誤差 (対角線外) を表すように構築されます。これは、カルマン フィルタリングや、時間変動システムのより一般的な状態推定に広く応用されている例です。

渦共分散法は、平均値からの垂直風速の瞬間偏差とガス濃度の瞬間偏差間の共分散が垂直乱流フラックスを計算するための基礎となる重要な大気測定技術です。

共分散行列は信号のスペクトル変動を捉えるために使用されます。^[15]

共分散行列は、主成分分析でデータ前処理における特徴の次元を削減するために使用されます。