共分散分析

共分散分析（ANCOVA）は、ANOVAと回帰を組み合わせた一般的な線形モデルです。ANCOVAは、従属変数（DV）の平均が、1つ以上のカテゴリカル独立変数（IV）の各レベルと1つ以上の連続変数の間で等しいかどうかを評価します。たとえば、カテゴリカル変数は治療を表し、連続変数は共変量（CV）（通常は邪魔な変数）である場合、またはその逆の場合があります。数学的には、ANCOVAはDVの分散を、CVによって説明される分散、カテゴリカルIVによって説明される分散、および残差分散に分解します。直感的には、ANCOVAはCVのグループ平均によってDVを「調整」するものと考えることができます。^{[ 1 ]}

ANCOVAモデルは、応答変数（DV）と共変量（CV）の間に線形関係があると仮定します。

${\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\mathrm {B} (x_{ij}-{\overline {x}})+\epsilon _{ij}.}$

この方程式では、DV、$\displaystyle y_{ij}}$は i 番目のカテゴリグループにおける j 番目の観測値です。CV、${\displaystyle x_{ij}}$は、 i番目のグループにおける共変量のj番目の観測値です。観測データから導出されたモデル内の変数は${\displaystyle \mu }$（全体の平均値）${\displaystyle {\overline {x}}}$（共変量のグローバル平均）${\displaystyle x}$) 適合させる変数は$\displaystyle \tau _{i}}$（カテゴリカルIVのi番目のレベルの効果）${\displaystyle B}$（直線の傾き）${\displaystyle \epsilon _{ij}}$（ i番目のグループにおけるj番目の観測値に関連する、観測されていない誤差項）。

この仕様では、カテゴリ別治療効果の合計はゼロになります。${\displaystyle \left(\sum _{i}^{a}\tau _{i}=0\right).}$線形回帰モデルの標準的な仮定も成り立つと仮定する。詳細は後述。^{[ 2 ]}

農業研究では、ANCOVA はさまざまな肥料の効果を分析するために使用できます ($\displaystyle \tau _{i}}$作物収量への影響（$\displaystyle y_{ij}}$)、土壌の質を考慮しながら (${\displaystyle x_{ij}}$) を共変量として用いる。土壌の質は連続変数であり、作物の収量に影響を与え、区画によって異なる場合があり、結果が混乱する可能性がある。

このモデルは、土壌の質の違いに合わせて収量測定値を調整し、肥料の種類によって有意な差があるかどうかを評価します。数式で表すと次のようになります。

${\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\beta (x_{ij}-{\overline {x}})+\epsilon _{ij},}$

どこ：

• $\displaystyle y_{ij}}$作物の収穫量は${\displaystyle j}$下の 番目のプロット${\displaystyle i}$第 1 肥料の種類、
• ${\displaystyle \mu }$は作物の平均収量です。
• $\displaystyle \tau _{i}}$の効果を表す${\displaystyle i}$制約条件を満たす 番目の肥料の種類$\displaystyle \sum _{i}\tau _{i}=0}$識別のため、
• ${\displaystyle \beta }$土壌の質と作物の収量の関係を表す回帰直線の傾きは、
• ${\displaystyle x_{ij}}$土壌の質は${\displaystyle j}$下の 番目のプロット${\displaystyle i}$第 1 種の肥料の種類、そして${\displaystyle {\overline {x}}}$は世界平均土壌品質であり、
• ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$は残差誤差項であり、平均 0、分散 の正規分布に従うと仮定される。$\displaystyle \sigma ^{2}}$。

この設定では、ANCOVAは作物収量の全分散を、土壌品質（共変量）によって説明される分散、肥料の種類（カテゴリ変数IV）によって説明される分散、および残差分散に分割します。土壌品質を調整することで、ANCOVAは肥料が作物収量に及ぼす影響をより正確に推定します。制約$\displaystyle \sum _{i}\tau _{i}=0}$これにより、カテゴリ変数の効果がゼロを中心とするように調整され、グループ間の差異を意味のある形で解釈することが可能になります。カテゴリ変数を用いたANOVAおよびANCOVAでは標準的な手法です。

ANCOVAの使用にはいくつかの重要な仮定があり、結果の解釈に影響を与えます。^{[ 2 ]}標準的な線形回帰の仮定が成り立ちます。さらに、共変量の傾きがすべての治療群で等しい（回帰傾きの均一性）と仮定します。

仮定3：誤差項の独立性

誤差は無相関である。つまり、誤差共分散行列は対角行列である。

共変量をANOVAに含めると、一般的には従属変数の分散の一部が説明されるため、独立変数によって説明される分散の比率が増加し、統計的検出力が向上します^{[ 7 ]。}しかし、共変量をANOVAに追加すると、自由度も減少します。したがって、従属変数の分散をほとんど説明しない共変量を追加すると、実際には検出力が低下する可能性があります。

• MANCOVA（多変量共分散分析）

• ランダム化ブロック、分割プロット、反復測定、ラテン方格など、最大3つの処理因子を含むすべてのANOVAおよびANCOVAモデルの例と、Rでのそれらの分析（サウサンプトン大学）
• 独立標本に対する一元配置共分散分析
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• GJP Van Breukelen および KRA Van Dijk によるランダム化比較試験における共変量の使用 (2007)