トートロジー一形式

数学において、トートロジー 1 形式は、多様体の余接束上で定義される特殊な1 形式です。物理学では、機械システム内の点の速度とその運動量との間の対応関係を作成するために使用され、ラグランジアン力学とハミルトン力学(多様体上)の間の橋渡しとなります。 ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$${\displaystyle Q}$

この形式の外微分は、シンプレクティック多様体の構造を与えるシンプレクティック形式を定義します。トートロジー 1 形式は、ハミルトン力学とラグランジアン力学の形式を関連付ける上で重要な役割を果たします。トートロジー 1 形式は、リウヴィル 1 形式、ポアンカレ 1 形式、正準1 形式、またはシンプレクティック ポテンシャルと呼ばれることもあります。同様のオブジェクトとして、接バンドル上の正準ベクトル場があります。 ${\displaystyle T^{*}Q}$

トートロジー1形式を定義するには、上の座標チャートと上の標準座標系を選択します。任意の点を選択します。コタンジェントバンドルの定義により、およびトートロジー1形式は、および の座標表現で与えられます 。${\displaystyle U}$${\displaystyle T^{*}Q}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle m\in T^{*}Q.}$${\displaystyle m=(q,p),}$${\displaystyle q\in Q}$${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q.}$${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},}$$${\displaystyle n=\mathop {\text{dim}} Q}$${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p.}$

この定義を保存する上の座標は、全微分 (正確な形式)まで、すべて正準座標と呼ばれます。異なる正準座標系間の変換は、正準変換として知られています。 ${\displaystyle T^{*}Q}$

標準シンプレクティック形式はポアンカレ2形式とも呼ばれ、次のように表される。 $${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}$$

この概念を一般の繊維束に拡張したものは、はんだ形式として知られています。慣例により、形式が一意の標準的な定義を持つ場合は常に「標準形式」という語句を使用し、任意の選択を行う必要がある場合は常に「はんだ形式」という用語を使用します。代数幾何学と複素幾何学では、「標準」という用語は標準クラスと混同されるため推奨されず、トートロジーバンドルのように「トートロジー」という用語が好まれます。

トートロジー 1 形式は、位相空間上の形式としてかなり抽象的に定義することもできます。 を多様体とし、を余接バンドルまたは位相空間とします。 を 標準ファイバーバンドル射影とし、 を 誘導接線マップ とします。を 上の点とします。は余接バンドルなので、における接空間のマップであると理解できます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle M=T^{*}Q}$$${\displaystyle \pi :M\to Q}$$$${\displaystyle \mathrm {d} \pi :TM\to TQ}$$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q=\pi (m)}$$${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .}$$

つまり、 はの繊維内にある。点におけるトートロジー一形式は次のように定義される。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle q.}$${\displaystyle \theta_{m}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle \theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .}$$

これは線形マップな ので $${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \theta :M\to T^{*}M.}$$

シンプレクティックポテンシャルは一般にもう少し自由に定義され、また局所的にのみ定義されます。つまり、となる任意の 1 形式です。実際、シンプレクティックポテンシャルは、閉じた形式によって標準的な 1 形式と異なります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \omega =-d\phi }$

トートロジー 1 形式は、プルバックを「キャンセル」する唯一の 1 形式です。つまり、を の 1 形式とすると、 はセクションです。の任意の 1 形式に対して、によるプルバックは、定義により、ここで、はのプッシュフォワードです。 は の1 形式であるのと同様に、 の 1 形式は、上の任意の1 形式に対して、という特性を持つ唯一の形式です。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q.}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle T^{*}Q,}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.}$${\displaystyle \beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q}$${\displaystyle \beta .}$${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma }$${\displaystyle Q.}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle Q.}$

したがって、プルバックと外微分の間の交換により、 $${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .}$$

が余接束上のハミルトニアンであり、がハミルトニアンベクトル場である場合、対応する作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle S}$$${\displaystyle S=\theta (X_{H}).}$$

もっと平凡な言葉で言えば、ハミルトンフローは、ハミルトン・ヤコビの運動方程式に従う機械システムの古典的な軌道を表します。ハミルトンフローはハミルトンベクトル場の積分であり、作用角変数の従来の表記法を使用して次のように記述します。 積分は、エネルギーを一定に保つことによって定義される多様体上で行われるものと理解されます。$${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}$$${\displaystyle E}$${\displaystyle H=E={\text{const}}.}$

多様体がリーマン計量または擬リーマン計量を持つ場合、一般化座標で対応する定義を行うことができます。具体的には、計量をマップと見なすと 、 次のように定義します 。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g,}$$${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q,}$$$${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$$$${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$$

一般化された座標では、1は 、 ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$${\displaystyle TQ,}$$${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$$$${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}$$

この計量により、単位半径の球面を定義することができます。この球面に制限された標準的な 1 形式は接触構造を形成します。接触構造を使用して、この計量の測地線フローを生成することができます。 ${\displaystyle T^{*}Q.}$

• Ralph AbrahamとJerrold E. Marsden、『Foundations of Mechanics』(1978) Benjamin-Cummings、ロンドンISBN  0-8053-0102-X セクション3.2を参照してください。