力学における対称性

『Symmetry in Mechanics: A Gentle, Modern Introduction』は、シンプレクティック幾何学を用いたケプラー問題の解決に焦点を当てた、数学と数理物理学の学部生向けの教科書です。Stephanie Singerによって執筆され、2001 年に Birkhäuser社から出版されました。

古典力学におけるケプラー問題は、2 つの質点がニュートンの万有引力の法則(または反比例の法則に従う中心力) によって相互作用する2 体問題の特殊なケースです。この本はこの問題で始まり、終わります。最初は、2 つの物体の位置と運動量ベクトルを表す 12 個の変数のシステムを使用して問題を表すアドホックな方法で、物理法則の保存則を使用してこれらの変数が従う微分方程式のシステムを設定し、これらの方程式を解きます。2 回目は、2 つの物体の位置と変数を 12 次元位相空間内の単一の点として記述し、物体の挙動をハミルトン システムとして記述し、シンプレクティック縮小を使用して位相空間を 2 次元に縮小してから解くことで、より直接的かつ原理的な方法でケプラーの惑星運動の法則を導き出します。 ^[1]

本の中間部では、この旅を完了するために必要なシンプレクティック幾何学の仕組みを説明します。この部分で扱われるトピックには、多様体、ベクトル場と微分形式、プッシュフォワードとプルバック、シンプレクティック多様体、ハミルトンエネルギー関数、リー群とリー代数を使用した有限および無限小の物理的対称性の表現、対称性を保存量に関連付けるためのモーメントマップの使用などがあります。^{[1] [2] [3]}これらのトピックでも、具体的な例がプレゼンテーションの中心となっています。^[4]

この本は、多くの演習を含む、学部の数学と物理学の学生向けの教科書として書かれており、学生がすでに多変数微分積分と線型代数に精通していることを前提としています。^[1]これは、力学におけるシンプレクティック幾何学に関する他の本に比べて、背景資料のレベルがかなり低いものです。^{[ 5]}この本はシンプレクティック幾何学と力学を包括的に扱っているわけではありませんが、エイブラハムとマースデンの『力学の基礎』やアーノルドの『古典力学の数学的手法』など、他の資料でその資料を扱っている授業の補助資料として使用できます。あるいは、この本だけで、この資料をより包括的に別の授業で紹介する前に、よりわかりやすい最初の授業を提供することができます。^{[1] [2] [4]}

評論家のウィリアム・サッツァーは、この本は「実際の学生とその潜在的な困難に対処するために真剣に取り組んでいる」と書き、問題に対する数学的見解と物理的見解の間をうまく行き来している。^[1]同様に、評論家の JR ドルフマンは、この本は「数学と物理学の世界を隔てる言語障壁の一部を取り払っている」と書き、^[3]また、評論家のイジー・ヴァンジュラは、物理学の学生に数学的手法を動機付け、数学の学生に物理学の応用を提供するという二重の能力において「注目に値する」と呼び、「この本は完璧に書かれており、その目的を非常によく果たしている」と付け加えている。^[7]評論家のイヴァイロ・ムラデノフは、この本が例を第一に説明することに注意を払っていることを称賛し、ソフス・リーの国籍に関する小さな不正確さを指摘しながらも、学部生と大学院生の両方にこの本を推奨している。^[6]評論家のリチャード・モンゴモリは、この本は「読者をケプラー問題から成長中のシンプレクティック幾何学の分野への見解へと導く優れた仕事をしている」と書いている。^[5]