ボーア・ゾンマーフェルトモデル

ボーア・ゾンマーフェルトモデル（ゾンマーフェルトモデルまたはボーア・ゾンマーフェルト理論とも呼ばれる）は、原子核の周りの電子の軌道が楕円形であることを許容するようにボーアモデルを拡張したものである。ボーア・ゾンマーフェルト理論は、デンマークの物理学者ニールス・ボーアとドイツの物理学者アーノルド・ゾンマーフェルトにちなんで名付けられた。ゾンマーフェルトは、電子の軌道が（ボーアの原子モデルのように）円形ではなく楕円形であれば、水素原子の微細構造を記述できることを示した。

ボーア・ゾンマーフェルトモデルは、ボーアモデルの量子化された角運動量条件に、半径方向の量子化（ウィリアム・ウィルソンによる条件、ウィルソン・ゾンマーフェルト量子化条件^{[ 3 ] [ 4 ]}）を追加したものである。

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,}$

ここで、p _rは座標qに正準共役な動径運動量であり、q は動径位置、Tは完全な軌道周期です。積分は作用角座標の作用です。対応原理によって示唆されるこの条件は、量子数が断熱不変量であるため、唯一可能な条件です。

1913年、ニールス・ボーアは後に定義される対応原理の基礎を示し、それを用いて水素原子の線スペクトルを説明するモデルを定式化した。その後数年間、アーノルド・ゾンマーフェルトはヘンドリック・ローレンツとアルベルト・アインシュタインによって導入された量子数の断熱不変性の原理を利用して、量子規則を任意の可積分系に拡張した。ゾンマーフェルトは角運動量のz成分を量子化することで重要な貢献をした^{[ 5 ]} 。これは古い量子時代には「空間量子化」（ドイツ語：Richtungsquantelung）と呼ばれていた。これにより、電子の軌道は円ではなく楕円となり、量子縮退の概念が導入された。この理論は電子スピンの問題を除けば、ゼーマン効果を正しく説明できたはずである。ゾンマーフェルトのモデルはボーアのモデルよりも現代の量子力学の描像にずっと近かった。

1950年代、ジョセフ・ケラーは、 1917年のアインシュタインの解釈を用いてボーア・ゾンマーフェルトの量子化を更新し、^{[ 6 ]}現在ではアインシュタイン・ブリルアン・ケラー法として知られている。1971年、マルティン・グッツウィラーはこの方法が可積分系にのみ有効であることを考慮し、経路積分からカオス系を量子化する半古典的な方法を導出した。^{[ 7 ]}

ゾンマーフェルトモデルは、軸に沿って測定された原子の磁気モーメントは離散的な値しか取らないと予測した。この結果は回転不変性と矛盾するように見えるが、シュテルン＝ゲルラッハ実験によって確認された。これは量子力学の発展における重要な一歩であった。また、磁場によって原子のエネルギー準位が分裂する可能性（ゼーマン効果と呼ばれる）も説明した。 ヴァルター・コッセルはボーアとゾンマーフェルトと共に、原子のボーア＝ゾンマーフェルトモデルに取り組み、第一殻に2個、第二殻に8個の電子を導入した。^{[ 8 ]}

ボーア・ゾンマーフェルトモデルは根本的に矛盾しており、多くのパラドックスを引き起こしました。磁気量子数は、 xy平面に対する軌道面の傾きを測定するもの であり、いくつかの離散的な値しか取ることができませんでした。これは、原子が座標に対して制限なく回転できるという明白な事実と矛盾していました。ゾンマーフェルト量子化は異なる正準座標で実行でき、場合によっては異なる結果をもたらします。放射補正の組み込みは困難でした。なぜなら、放射と原子が結合したシステムの作用角座標を見つける必要があり、放射が逃げることを許容するとそれが難しくなるからです。理論全体は非積分運動に拡張されておらず、原理的にも多くのシステムを扱うことができませんでした。最終的に、このモデルは、 1925年にヴォルフガング・パウリがハイゼンベルクの行列力学を用いて初めて提示した、水素原子の現代的な量子力学的扱いに取って代わられました。水素原子の現在のモデルは、エルヴィン・シュレーディンガーが1926年に開発した波動力学の原子軌道に基づいている。

しかし、だからといってボーア・ゾンマーフェルトモデルに成功がなかったわけではない。ボーア・ゾンマーフェルトモデルに基づく計算は、より複雑な原子スペクトル効果の多くを正確に説明することができた。例えば、一次摂動までは、ボーアモデルと量子力学はシュタルク効果におけるスペクトル線分裂について同じ予測をする。しかし、高次の摂動では、ボーアモデルと量子力学は異なり、高電場強度下でのシュタルク効果の測定は、ボーアモデルよりも量子力学の正しさを確認するのに役立った。この違いの背後にある有力な理論は、電子の軌道の形状にあり、これは電子のエネルギー状態に応じて変化する。

ボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件は、現代数学において様々な疑問を提起する。一貫性のある半古典的量子化条件は、位相空間上に特定の構造を必要とするため、量子化可能なシンプレクティック多様体の種類に位相的な制約が生じる。特に、シンプレクティック形式は、エルミート線束の接続の曲率形式である必要があり、これは事前量子化と呼ばれる。

アーノルド・ゾンマーフェルトは原子エネルギー準位の相対論的解を導出した。^{[ 5 ]この導出[ 10 ]}は、電位におけるエネルギーの相対論的方程式から始める。

${\displaystyle W={m_{\mathrm {0} }c^{2}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)-k{\frac {Ze^{2}}{r}}}$

置換後${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$私たちは

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}+k{\frac {Ze^{2}}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}u}$

勢いをつけるために${\displaystyle p_{\mathrm {r} }=m{\dot {r}}}$、 ${\displaystyle p_{\mathrm {\varphi } }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$およびそれらの比率${\displaystyle {\frac {p_{\mathrm {r} }}{p_{\mathrm {\varphi } }}}=-{\frac {du}{d\varphi }}}$運動方程式は（ビネの式を参照）

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}=-\left(1-k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\right)u+{\frac {m_{\mathrm {0} }kZe^{2}}{p_{\mathrm {\varphi } }^{2}}}\left(1+{\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}\right)=-\omega _{\mathrm {0} }^{2}u+K}$

解決策付き

${\displaystyle u={\frac {1}{r}}=K+A\cos \omega _{\mathrm {0} }\varphi }$

周回あたりの近点角シフトは^{[ 11 ]}で与えられる。

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {s} }=2\pi \left({\frac {1}{\omega _{\mathrm {0} }}}-1\right)\approx 4\pi ^{3}k^{2}{\frac {Z^{2}e^{4}}{c^{2}n_{\mathrm {\varphi } }^{2}h^{2}}}}$

量子条件の下で

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {\varphi } }\,d\varphi =2\pi p_{\mathrm {\varphi } }=n_{\mathrm {\varphi } }h}$

そして

${\displaystyle \oint p_{\mathrm {r} }\,dr=p_{\mathrm {\varphi } }\oint \left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\,d\varphi =n_{\mathrm {r} }h}$

我々はエネルギーを得るだろう

${\displaystyle {\frac {W}{m_{\mathrm {0} }c^{2}}}=\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{\mathrm {r} }+{\sqrt {n_{\mathrm {\varphi } }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}-1}$

どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数である。この解（量子数の置換を用いる）はディラック方程式の解と等価である。^{[ 12 ]}それにもかかわらず、どちらの解もラムシフトを予測できない。

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