間接効用関数

経済学では、消費者の間接効用関数は 、商品価格のベクトルと所得額に直面したときに消費者が達成可能な最大効用を示します。これは、消費者の嗜好と市場状況の両方を反映します。 ${\displaystyle v(p,w)}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$

この関数は間接的と呼ばれます。なぜなら、消費者は通常、価格ではなく消費するものの観点から好みについて考えるからです。消費者の間接効用は、消費財の量のベクトルで定義された効用関数から計算できます。まず、効用最大化問題を解くことによってベクトルで表される最も好ましい手頃な価格のバンドルを計算し、次に消費者がそのバンドルから得る効用を計算します。結果として得られる間接効用関数は、 ${\displaystyle v(p,w)}$${\displaystyle u(x),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x(p,w)}$${\displaystyle u(x(p,w))}$

${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w)).}$

間接的な効用関数は次のとおりです。

• R ⁿ ₊ × R ₊上で連続。ここでn は商品の数です。
• 価格の下落;
• 収入が厳密に増加する。
• 価格と所得は次数 0 で同次です。価格と所得がすべて与えられた定数で乗算された場合、同じ消費束が最大値を表すため、最適な効用は変化しません。
• ( p , w )において準凸。

さらに、ロイの恒等式によれば、v ( p , w ) がおよびで微分可能であれば、 ${\displaystyle (p^{0},w^{0})}$${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0}$

${\displaystyle -{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.}$

間接効用関数は、価格が一定に保たれている場合の支出関数の逆関数である。すなわち、あらゆる価格ベクトルと効用レベルに対して：^{[1] ：106}${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle v(p,e(p,u))\equiv u}$

効用関数はマーシャル需要関数を持つコブ・ダグラス関数であるとしよう^[2]${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.6}x_{2}^{0.4},}$

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {0.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {0.4w}{p_{2}}},}$

ここで、消費者の所得です。間接効用関数は、効用関数の量を需要関数に置き換えることによって求められます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{0.6}(x_{2}^{*})^{0.4}=\left({\frac {0.6w}{p_{1}}}\right)^{0.6}\left({\frac {0.4w}{p_{2}}}\right)^{0.4}=(0.6^{0.6}*.4^{.4})w^{0.6+0.4}p_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}=Kp_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}w,}$

ここで、効用関数は、その引数が消費者にとって最適ではなく、効用最大化問題を解決しない場合でも、引数が保持するあらゆる量に対する効用を示すことに注意してください。対照的に、間接効用関数は、消費者が与えられた価格と収入に対して需要関数を最適に導出したと仮定します。 ${\displaystyle K=(0.6^{0.6}*0.4^{0.4})。}$

• ゴーマン極形式
• ヒックス需要関数
• 価値関数

• コーンズ、リチャード (1992)。「個人消費者行動: 直接的および間接的な効用関数」。二重性と現代経済学。ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局。pp. 31–62。ISBN 0-521-33601-5。
• Jehle, GA ; Reny, PJ (2011).上級ミクロ経済理論（第3版）. ハーロウ：プレンティスホール. pp. 28–33. ISBN 978-0-273-73191-7。
• ルーンバーガー、デイヴィッド・G. (1995)ミクロ経済理論ニューヨーク：マグロウヒル pp. 103–107. ISBN 0-07-049313-8。
• マスコレル、アンドリュー、ウィンストン、マイケル・D、グリーン、ジェリー・R (1995)。ミクロ経済理論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 56–57。ISBN 0-19-507340-1。
• ニコルソン、ウォルター (1978)。ミクロ経済理論: 基本原理と拡張(第 2 版)。ヒンズデール: ドライデン プレス。pp. 57–59。ISBN 0-03-020831-9。