コ・ホプフィアングループ

数学の分野である群論において、共ホップ群とは、その固有部分群のいずれとも同型でない群である。この概念は、ハインツ・ホップにちなんで名付けられたホップ群の概念と双対である。^[1]

群Gがコホップ的であるとは、 が入射群準同型であるとき が射影的、つまり であるときで ある。^[2]${\displaystyle \varphi :G\to G}$ ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi (G)=G}$

• すべての有限群Gはコホップ群である。
• 無限巡回群は、入射的だが非射影的な準同型なので、コホップ群ではありません。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=2n}$
• 実数の加法群はコホップ群ではない。なぜなら は 上の無限次元ベクトル空間であり、したがって群 としてである。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} \cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• 有理数の加法群と商群は共ホップ群である。^[2]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$
• 非ゼロ有理数の乗法群は、写像が入射的だが非射影的な準同型写像であるため、コホップフィアンではない。^[2]同様に、正の有理数の群もコホップフィアンではない。${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{\ast}}$
• 非ゼロ複素数の乗法群はホップ群ではない。 ^[2]${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast}}$
• 任意の自由アーベル群は共ホップ群ではない。^[2]${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$
• いずれの自由群もホプフィアン群ではない。^[2]${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle F_{n}}$
• 有限生成の非基本的（つまり、事実上巡回的ではない）な 事実上自由な群が存在し、これは共ホップ群である。したがって、有限生成共ホップ群の有限指数の部分群は共ホップ群である必要はなく、共ホップ群であることは有限生成群の準等長不変量ではない。^[3]
• バウムスラッグ-ソリター群（ ）は共ホプフィアンではない。^[4]${\displaystyle BS(1,m)}$${\displaystyle m\geq 1}$
• Gが非零のオイラー特性（または非零の単体体積または非零のL ² -ベッティ数）を持つ閉じた非球面多様体の基本群である場合、 Gは共ホプフィアンである。^[5]
• Gが閉じた連結な有向既約3次元多様体Mの基本群である場合、 Mの有限被覆が円上のトーラス束または円と閉曲面の積でないときに限り、 Gはコホプフィアンである。 ^[6]
• Gが実半単純リー群の既約格子であり、G が事実上自由群でない場合、Gはコホップ群である。^[7]例えば、この事実はの群に当てはまる。${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\geq 3}$
• Gが片端捩れのない単語双曲群であれば、Selaの結果によりGは共ホプフィアンである。^[8]
• Gが完全な有限体積の滑らかなリーマンn多様体（n > 2）の基本群で負の曲率が挟まれた場合、 Gは共ホップ多様体である。^[9]
• 閉じた双曲面の写像類群は共ホップ群である。 ^[10]
• Out( Fn )群（n >2）は共ホプフィアン群である。_[ ^11]
• デルザントとポリアガイロは、 2次元捩れのない幾何学的に有限なクライン群の等長写像に対する共ホプフィシティの特徴付けを与えた。 ^[12]${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$
• 直角アルティン群 （ここでは有限の空でないグラフ）はコホップ群ではない。 のすべての標準生成元をべき乗に送ると定義され、 の自己準同型性は 入射的だが射影的ではない。^[13]${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle >1}$${\displaystyle A(\Gamma )}$
• 有限生成の捩れのない冪零群 Gは、関連する有理リー代数の性質に依存して、コホップフィアンであるかコホップフィアンでないかのいずれかになる。^{[5] [3]}
• Gが相対双曲群であり、Gの入射的だが非射影的な自己準同型である場合、あるk >1に対して放物型であるか、 Gが事実上巡回または放物型部分群上で分解するかのいずれかである。 ^[14]${\displaystyle \varphi :G\to G}$${\displaystyle \varphi ^{k}(G)}$
• 中間成長のグリゴルチュクグループ Gは共ホプフィアンではない。^[15]
• トンプソングループ Fはホプフィアンではない。^[16]
• ホップ群ではないがカズダンの性質(T)を持つ有限生成群 Gが存在する。^[17]
• Gがヒグマンの普遍有限提示群である場合、Gは共ホップ群ではなく、有限生成再帰提示共ホップ群に埋め込むことはできません。^[18]

• 群Gが有限共ホップ群であるとは、 がGにおいて有限の指数を持つ入射自己準同型であるとき、 となることを言う^[19]。例えば、自由群 は共ホップ群ではないが、有限共ホップ群である。${\displaystyle \varphi :G\to G}$${\displaystyle \varphi (G)=G}$${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle F_{n}}$
• 有限生成群Gは、 Gの有限インデックスの部分群の入れ子になった列が存在し、それぞれがGと同型であり、その共通部分が有限群である場合にスケール不変と呼ばれます。 ^[4]
• となるような入射自己準同型が存在するとき、群Gはdis-cohopfian ^[3]と呼ばれる。${\displaystyle \varphi :G\to G}$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}}$
• 粗幾何学において、距離空間Xは、すべての準等長埋め込みが粗く全射影的である（つまり、準等長である）とき、準等長的にコホップと呼ばれます。同様に、すべての粗い埋め込みが粗く全射影的であるとき、 Xは粗くコホップと呼ばれます。^[20] ${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle f:X\to X}$
• 計量幾何学において、任意の準対称埋め込みが全射であるとき、計量空間Kは準対称共ホップと呼ばれる。^[21] ${\displaystyle K\to K}$

• ホップフィアン天体

• K. Varadarajan、ホプフィアンおよび共ホプフィアン オブジェクト、Publicacions Matemàtiques 36 (1992)、no. 1、293​​～317ページ