対称閉鎖

数学において、集合上の二項関係の対称閉包とは、集合上の最小の対称関係のうち、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$

たとえば、 が空港の集合で、 が「空港から空港への直行便がある」という意味である場合、 の対称閉包は「からまたは からへの直行便がある」という関係です。 または、 が人間の集合で、 が「 の親」という関係である場合、 の対称閉包は「は の親または子である」という関係です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

集合上の関係の対称閉包は次のように与えられる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle S=R\cup \{(y,x):(x,y)\in R\}.}$$

言い換えれば、 の対称閉包はとその逆の関係との和集合である。${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\operatorname {T} }.}$

• 推移閉包 – 与えられた二項関係を含む最小の推移関係
• 反射閉包 – 二項関係に対する演算フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• フランツ・バーダー、トビアス・ニプコウ著『 Term Rewriting and All That』、ケンブリッジ大学出版局、1998年、8ページ