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数理物理学において、閉じた時間的曲線( CTC ) は、時空内の物質粒子のローレンツ多様体における世界線であり、「閉じて」出発点に戻るものです。この可能性は、1937 年にウィレム・ヤコブ・ファン・ストックムによって初めて発見され[ 1 ]、その後1949 年にクルト・ゲーデルによって確認されました[ 2 ] 。ゲーデルは、 CTC を許容する一般相対性理論(GR)の方程式の解であるゲーデル計量を発見し、それ以来、ティプラー円筒や通過可能なワームホールなど、CTC を含む他の GR 解が発見されています。CTC が存在する場合、その存在は少なくとも理論的には時間を遡るタイムトラベルの可能性を示唆し、祖父のパラドックスの亡霊を巻き起こすように思われますが、ノビコフの自己無矛盾性原理は、そのようなパラドックスを回避できることを示しているようです。一部の物理学者は、特定のGR解に現れるCTCは、GRに取って代わる将来の量子重力理論によって排除される可能性があると推測しており、スティーブン・ホーキングはこの考えを「年代保護予想」と名付けた。他の物理学者は、与えられた時空内のすべての閉じた時間的曲線が事象の地平線を通過する場合（これは年代検閲と呼ばれる性質である）、事象の地平線が取り除かれた時空は依然として因果的に良好な振る舞いをし、観測者は因果違反を検出できない可能性があると指摘している。[ 3 ]
一般相対性理論、より具体的にはミンコフスキー空間におけるシステムの進化について議論する際、物理学者はしばしば「光円錐」に言及します。光円錐は、物体の現在の状態から考えられる将来の進化、または現在の位置から考えられるすべての位置を表します。物体の将来の位置は、物体が移動できる速度によって制限され、その速度は最高で光速です。たとえば、時刻t 0で位置pにある物体は、時刻t 1までにp + c ( t 1 − t 0 )の範囲内の位置にしか移動できません。
これは通常、水平軸に物理的な場所、垂直軸に時間、単位が のグラフで表されます。は時間、ctは空間を表します。この表現では、光円錐は物体を中心とした45度の線として現れます。光は1回あたりこのような図では、物体の将来のあらゆる位置が円錐内に収まります。さらに、あらゆる空間位置には未来の時間が存在するため、物体は空間内の任意の場所に無期限に留まることができることを意味します。
このような図上の任意の一点はイベントと呼ばれます。別々のイベントは、時間軸に沿って異なる場合は時間的に分離されているとみなされ、空間軸に沿って異なる場合は空間的に分離されているとみなされます。物体が自由落下している場合、 t軸に沿って上昇します。加速している場合は、x軸に沿っても移動します。物体が時空を通過する実際の経路（通過可能な経路とは対照的に）は、ワールドラインと呼ばれます。別の定義では、光円錐はすべての可能なワールドラインを表します。
時空計量の「単純な」例では、光円錐は時間的に前方を向いています。これは、物体が同時に2つの場所に存在できない、あるいは別の場所に瞬時に移動できないという一般的なケースに対応します。このような時空では、物理的物体の世界線は定義上、時間軸に沿っています。しかし、この向きは「局所的に平坦な」時空にのみ当てはまります。曲がった時空では、光円錐は時空の測地線に沿って「傾き」ます。例えば、恒星の近くを移動している場合、恒星の重力が物体を「引っ張り」、その世界線に影響を与えるため、将来の位置は恒星に近くなります。これは、対応する時空図上でわずかに傾いた光円錐として現れます。このような状況で自由落下している物体は、局所的な世界線に沿って移動し続けます。物体は自転軸上にありますが、外部の観測者からは宇宙空間でも加速しているように見えます。これは、例えば物体が軌道上にある場合によくある状況です。
極端な例として、適切な高曲率計量を持つ時空では、光円錐が45度を超えて傾くことがあります。これは、物体の基準系から見て、外部の静止系にいる観測者から空間的に隔てられた潜在的な「未来」の位置が存在することを意味します。この外部の視点から見ると、物体は空間を瞬時に移動することができます。このような状況では、物体の現在の空間位置が自身の未来の光円錐内にないため、物体は移動しなければなりません。さらに、十分な傾きがあれば、外部から見ると「過去」にあるイベント位置も存在します。物体自身の空間軸に見えるものを適切に動かすことで、物体は外部から見ると時間の中を移動しているように見えます。
一連の光円錐をループ状に配置すれば、閉じた時間的曲線を作り出すことができる。そのため、物体はこのループを周回して、出発点と同じ場所と時間に戻ることが可能になる。このような軌道上の物体は、自由落下状態であれば、時空の同じ地点に繰り返し戻ってくることになる。元の時空の位置に戻ることは可能性の一つに過ぎない。物体の未来の光円錐は、時間的に前後両方の時空点を含むため、このような条件下では、物体がタイムトラベルを行うことも可能になるはずである。
CTCは、一般相対性理論のアインシュタイン場方程式の局所的に問題のない厳密解に現れ、その中には最も重要な解も含まれています。これらには以下が含まれます。
これらの例の中には、ティプラー円筒のようにかなり人工的なものもあるが、カー解の外側部分は何らかの意味で汎用的であると考えられているため、その内部にCTCが含まれていることを知るとかなり不安になる。ほとんどの物理学者は、そのような解のCTCは人工物だと考えている。[ 4 ]
CTCの特徴の一つは、過去の時間とは繋がっていない世界線が存在する可能性を開くことであり、そのため、過去の原因に遡ることができない事象の存在が可能になる。通常、因果律は、時空におけるあらゆる事象は、あらゆる静止系においてその原因に先行されることを要求する。この原理は決定論において極めて重要であり、一般相対性理論の言葉で言えば、空間的なコーシー面上の宇宙に関する完全な知識を用いて、時空の残りの部分の完全な状態を計算できるということである。しかし、CTCでは、事象がその原因と「同時」である可能性があるため、因果律は破綻する。つまり、ある意味で事象は自らを引き起こすことができる可能性がある。過去の知識だけに基づいて、CTC内に時空の他の物体に干渉する何かが存在するかどうかを判断することは不可能である。したがって、CTCはコーシー地平線をもたらし、過去のある時点に関する完全な知識から予測できない時空領域を生み出す。
連続的にCTCを点に変形させることはできない（つまり、CTCと点は時間的にホモトピックではない）。なぜなら、その点において多様体は因果的に良好な振る舞いをしないからである。CTCを点に変形させない位相的特徴は、時間的位相的特徴として知られている。
CTCの存在は、宇宙における物質エネルギー場の物理的に許容される状態に制約を課す可能性がある。このような議論によれば、閉じた時間的世界線の族に沿って場の構成を伝播させると、最終的には元の状態と同一の状態になるはずである。この考えは、 CTCの存在を否定するための可能性のあるアプローチとして、一部の科学者によって検討されてきた。
CTC の量子定式化が提案されているが、 [ 5 ] [ 6 ]量子理論では不可能と予測されるエンタングルメントを自由に生成できるという大きな課題がある。 [ 7 ]ドイッチュの処方が成り立つ場合、これらの CTC の存在は量子計算と古典計算 (どちらもPSPACE内) の等価性も意味する。[ 8 ]ロイドの処方が成り立つ場合、量子計算は PP 完全となる。
CTCには2つのクラスがあります。1つは、ある点に縮約可能なCTC（あらゆる場所で未来方向の時間的性質を持つという条件を放棄した場合）であり、もう1つは縮約不可能なCTCです。後者の場合、常に普遍被覆空間に移動して因果関係を再確立することができます。前者の場合、そのような手順は不可能です。閉じた時間的曲線は、時間的曲線間の時間的ホモトピーによってある点に縮約することはできません。なぜなら、その点は因果的に良好な振る舞いをしないからです。[ 3 ]
年代順違反集合は、CTCが通過する点の集合です。この集合の境界はコーシー地平線です。コーシー地平線は、閉じたヌル測地線によって生成されます。[ 9 ]各閉じたヌル測地線には、ループに沿ったアフィンパラメータの変化率の再スケーリングを表す赤方偏移係数が関連付けられています。この赤方偏移係数により、幾何級数が収束するため、アフィンパラメータは無限回の回転後に有限値で終了します。
