ミスナー空間

ミスナー空間は抽象的な数学的時空であり、^[1]チャールズ・W・ミスナーによって初めて記述された。^[2]ローレンツ 軌道 としても知られている。タウブ-NUT時空の簡略化された2次元バージョンである。非曲率特異点を含み、一般相対性理論のさまざまな仮説に対する重要な反例である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}/{\text{ブースト}}}$

ミチオ・カクは、この概念を理解するために次のような類推を展開している。「ミスナー空間は、例えば部屋が宇宙全体になるような理想的な空間である。例えば、部屋の左壁のすべての点は、右壁の対応する点と同一であり、左壁に向かって歩くと、壁を通り抜けて右壁から現れる。これは、左壁と右壁が、ある意味では円筒のように結合されていることを示唆している。したがって、反対側の壁はすべて互いに同一視され、天井も同様に床と同一視される。ミスナー空間は、ワームホールと同じ位相を持ちながら、数学的に扱うのがはるかに簡単であるため、よく研究されている。壁が動くと、ミスナー宇宙内でタイムトラベルが可能になるかもしれない。」^[3]

ミスナー空間の最も単純な記述は、計量

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dx^{2},}$

一定のブーストによる時空点のあらゆるペアの識別

${\displaystyle (t,x)\to (t\cosh(\pi )+x\sinh(\pi ),x\cosh(\pi )+t\sinh(\pi ).}$

メトリック 座標で円筒多様体上に直接定義することもできる。${\displaystyle \mathbb {R} \times S}$${\displaystyle (t',\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=-2dt'd\varphi +t'd\varphi ^{2},}$

2つの座標は地図によって関連付けられている

${\displaystyle t=2{\sqrt {-t'}}\cosh \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle x=2{\sqrt {-t'}}\sinh \left({\frac {\varphi }{2}}\right)}$

そして

${\displaystyle t'={\frac {1}{4}}(x^{2}-t^{2})}$

${\displaystyle \phi =2\tanh ^{-1}\left({\frac {x}{t}}\right)}$

ミスナー空間は、閉じた時間的曲線とコンパクトに生成されたコーシー地平線の両方を含み、平坦である（ミンコフスキー空間であるため）ため、因果関係の研究の標準的な例です。座標 では、接線ベクトル を持つによって定義されるループはノルム を持ち、閉じたヌル曲線になります。これがクロノロジー地平線です。領域 には閉じた時間的曲線はありませんが、領域 内のすべての点には、その点を通る閉じた時間的曲線が存在します。 ${\displaystyle (t',\varphi )}$${\displaystyle t=0,\varphi =\lambda }$${\displaystyle X=(0,1)}$${\displaystyle g(X,X)=0}$${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t>0}$

これは光円錐の傾きによるもので、 の場合、光円錐は定数の線より上に留まりますが、 の場合、その線を超えると開き、定数のループはすべて閉じた時間的曲線になります。 ${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle t}$

ミスナー空間は、量子場に対してクロノロジー保護の概念が使用された最初の時空であり、^[4]半古典的近似では真空の応力エネルギーテンソルの期待値が発散することを示した。 ${\displaystyle \langle T_{\mu \nu }\rangle _{\Omega }}$

• Berkooz, M.; Pioline, B.; Rozali, M. (2004). 「ミスナー空間における閉じた弦: 巻き弦の宇宙論的生成」.宇宙論および天体粒子物理学ジャーナル. 2004 (8): 004. arXiv : hep-th/0405126 . Bibcode :2004JCAP...08..004B. doi :10.1088/1475-7516/2004/08/004. S2CID  119408206.