ボレルグラフ定理

関数解析において、ボレルのグラフ定理はL.シュワルツによって証明された閉グラフ定理の一般化である。^[1]

ボレルのグラフ定理は、解析で遭遇するほとんどの空間で定義され、値を持つ線型写像に対して、閉グラフ定理が有効であることを示している。 ^[1]

位相空間は、それが分離可能な完備距離化可能空間であり、スーラン空間がポーランド空間の連続像である場合にポーランド空間と呼ばれる。分離可能なフレシェ空間の弱い双対と分離可能なフレシェ・モンテル空間の強い双対はスーラン空間である。また、超関数の空間とユークリッド空間の開集合上のすべてのLp 空間、および解析で発生する他の多くの空間はスーラン空間である。ボレルのグラフ定理は次のように述べている: ^[1]

およびをハウスドルフ局所凸空間とし、を線型とします。 が任意のバナッハ空間族の帰納的極限である場合、 がスースラン空間である場合、 のグラフが のボレル集合である場合、は連続です。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle u}$

A. マーティノーによって証明されたこの定理の改良は、K解析空間を使用する。位相空間は、コンパクト集合の可算和の可算積であるとき、aと呼ばれる。ハウスドルフ位相空間は、${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{\sigma \delta}}$${\displaystyle Y}$K-解析的とは、空間の連続像である場合（つまり、空間があり、への連続写像が）である。すべてのコンパクト集合はK-解析的であるため、非可分なK-解析的空間が存在する。また、すべてのポーランド空間、スースラン空間、反射的フレシェ空間はK-解析的であり、フレシェ空間の弱双対も同様である。一般化された定理は次のように述べている。^[2]${\displaystyle K_{\sigma \delta}}$${\displaystyle K_{\sigma \delta}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

およびを局所凸ハウスドルフ空間とし、を線型とします。が任意のバナッハ空間族の帰納的極限である場合、 がK-解析的空間である場合、 のグラフが で閉じている場合、は連続です。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle u}$

• 閉グラフ特性 – 積空間で閉じたマップのグラフ
• 閉グラフ定理 – グラフの連続性に関する定理
• 閉グラフ定理（関数解析）  – グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 関数のグラフ – 数学関数の表現

• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.