コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式（コーシー・ブニャコフスキー・シュワルツの不等式とも呼ばれる）^{[1] [2] [3] [4]}は、内積空間における2つのベクトルの内積の上限をベクトルノルムの積で表したものである。数学において最も重要かつ広く使われている不等式の1つと考えられている。^[5]

ベクトルの内積は有限和（有限次元ベクトル空間経由）、無限級数（数列空間のベクトル経由）、および積分（ヒルベルト空間のベクトル経由）を記述できる。和の不等式はオーギュスタン＝ルイ・コーシー（1821）によって発表された。積分に対応する不等式はヴィクトル・ブニャコフスキー （1859）^[2]とヘルマン・シュワルツ（1888） によって発表された 。シュワルツは積分版の現代的な証明を与えた。^[5]

コーシー・シュワルツの不等式は、内積空間のすべてのベクトルとに対して${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

ここで は内積です。内積の例には、実数および複素数のドット積が含まれます。内積 の例を参照してください。すべての内積は、標準ノルムまたは誘導ノルムと呼ばれるユークリッドノルムを生じます。ここで、ベクトルのノルムはによって表され、定義されます 。ここで は常に非負の実数です (内積が複素数値であっても)。上記の不等式の両辺の平方根を取ると、コーシー・シュワルツの不等式は、ノルムに関するより馴染みのある形式で次のように表すことができます。^{[6] [7]}${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \ell_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$

さらに、2辺が等しいのは、およびが線形従属している場合に限ります。^{[8] [9] [10]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

セドラキアンの不等式は、ベルクストロームの不等式、エンゲルの形式、ティトゥの補題（またはT2補題）としても知られ、実数および正の実数に対して、 または、和の表記法を使用して、 ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$$${\displaystyle {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}},}$$$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\biggr )}^{2}{\bigg }}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,\leq \,\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$$

これは、と を代入して のドット積を使用することで得られるコーシー・シュワルツの不等式の直接的な結果です。この形式は、不等式に分子が完全な平方である分数が含まれる場合に特に役立ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}{\vphantom {t}}}}}$${\displaystyle v_{i}'={\textstyle {\sqrt {v_{i}{\vphantom {t}}}}}$

実ベクトル空間は2 次元平面を表します。また、内積がドット積である2 次元ユークリッド空間でもあります。 のとき、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになります。 ここで はと の間の角度です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})}$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})}$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}={\bigl (}\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta {\bigr )}^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

上記の形式は、おそらく不等式を理解するのに最も簡単です。なぜなら、余弦の二乗は最大でも 1 になる可能性があり、これはベクトルが同じ方向または反対方向にある場合に発生するからです。これは、ベクトル座標、、、に関して次の ように言い換えることもできます。 ここで、等式が成立するのは、ベクトル がベクトル と同じ方向または反対方向にある場合、またはそれらのいずれかがゼロ ベクトルである場合のみです。 ${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$$${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$$${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$

標準的な内積、つまりドット積を持つユークリッド空間 では、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

この場合、コーシー・シュワルツの不等式は、右辺と左辺の差が次の式で表されることを観察することで、初等代数のみを用いて証明することができる。 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}$$

または、次の二次多項式を考えることによって${\displaystyle x}$ $${\displaystyle (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}={\biggl (}\sum _{i}u_{i}^{2}{\biggr )}x^{2}+2{\biggl (}\sum _{i}u_{i}v_{i}{\biggr )}x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

後者の多項式は非負なので、実根は最大で1つしかなく、したがって判別式は0以下となる。つまり、 $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}\sum _{i}{u_{i}^{2}}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i}{v_{i}^{2}}{\biggr )}\leq 0.}$$

および（ただしおよび）であり、ベクトル空間上の内積が標準複素内積（ で定義され、バー表記は複素共役に使用される）である場合、不等式は次のようにより明示的に言い換えることができます。 ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}$$${\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}^{2}={\Biggl |}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}{\Biggr |}^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.}$$

つまり、 $${\displaystyle {\bigl |}u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}{\bigr |}^{2}\leq {\bigl (}|u_{1}|{}^{2}+\cdots +|u_{n}|{}^{2}{\bigr )}{\bigl (}|v_{1}|{}^{2}+\cdots +|v_{n}|{}^{2}{\bigr )}.}$$

二乗可積分複素数値関数の内積空間に対して、次の不等式が成立する。 $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}g(x){\bigr |}^{2}\,dx.}$$

ヘルダーの不等式はこれを一般化したものです。

任意の内積空間において、三角不等式はコーシー・シュワルツの不等式の結果であり、次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&={\bigl (}\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|{\bigr )}^{2}.&&\end{alignedat}}}$$

平方根を取ると三角不等式が得られます。 $${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$$

コーシー・シュワルツの不等式は、内積が内積自体によって誘導される位相に関して連続関数であることを証明するために用いられる。 ^{[11] [12]}

コーシー・シュワルツの不等式は、次のように定義することで「2つのベクトル間の角度」の概念を任意の実内積空間に拡張することを可能にする。^{[13] [14]} $${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$$

コーシー・シュワルツの不等式は、右辺が区間[−1, 1]内にあることを示すことによってこの定義が理にかなっていることを証明し、（実）ヒルベルト空間がユークリッド空間の単なる一般化であるという概念を正当化します。また、量子忠実度から計量を抽出するときに行われるように、右辺の絶対値または実部を取ることによって、複素 内積空間の角度を定義するために使用することもできます。 ^{[15] [16]}

とを確率変数とする。このとき共分散不等式^{[17] [18]}は次のように与えられる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}$$

確率変数の集合の内積をそれらの積の期待値を使って定義すると、 コーシー・シュワルツの不等式は次のようになる。 $${\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}$$$${\displaystyle {\bigl |}\operatorname {E} (XY){\bigr |}^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$$

コーシー・シュワルツの不等式を使用して共分散不等式を証明するには、 とし、 は 分散 、は共分散を表します。 ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}\operatorname {Cov} (X,Y){\bigr |}^{2}&={\bigl |}\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )){\bigr |}^{2}\\&={\bigl |}\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle {\bigr |}^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \operatorname {Var} }$${\displaystyle \operatorname {Cov} }$

コーシー・シュワルツ不等式には、以下に示すもの以外にも多くの異なる証明がある^{[19] 。 [5] [7]} 他の文献を参照すると、混乱の原因となるものが2つある。第一に、一部の著者は、⟨⋅,⋅⟩を第一引数ではなく第二引数で線形であると定義している。第二に、いくつかの証明は、体がである場合にのみ有効であり、そうではない^[20]。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

このセクションでは、次の定理の 2 つの証明を示します。

以下に示す 2 つの証明では、ベクトルの少なくとも 1 つがゼロである (または、 の場合と同等) という単純なケースでの証明は同じです。繰り返しを減らすために、この証明は 1 回だけ以下に示します。この証明には、上記の等式の特徴付けの簡単な部分も含まれています。つまり、と が線形従属である場合、${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

したがって、コーシー・シュワルツの不等式は非ゼロベクトルに対してのみ証明する必要があり、また等式特性の非自明な方向のみを示す必要があります。

の特別なケースは上で証明されているので、以下では 次 のように仮定する。${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$$${\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .}$$

最初の引数における内積の線形性から次のことが分かります。 $${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.}$$

したがって、はベクトルに直交するベクトルである（実際、の を に直交する平面に投影したものは である）。したがって、に ピタゴラスの定理を適用すると 、 ${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} .}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z} }$$$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}$$

を掛けて平方根を取ると、コーシー・シュワルツの不等式が成り立ちます。さらに、上の式の関係が実際に等式である場合、となり、したがっての定義により、 との間に線形従属関係が確立されます。このセクションの冒頭で逆が証明されているため、証明は完了しています。${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}$${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} .}$${\displaystyle \blacksquare }$

任意のベクトルのペアを考えます。によって定義される関数を定義します。ここで、 は、かつ を満たす複素数です。の場合、 は1 とすることができる ため、このような は存在します。${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |=1}$${\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$${\displaystyle \alpha }$

内積は正定値なので、は非負の実数値のみを取ります。一方、内積の双線型性を使って展開することができます。 したがって、は次数の多項式です（ただし、これは以前に確認したケースです）。の符号は変化しないので、この多項式の判別式は非正でなければなりません。 結論は以下のとおりです。^[21]${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle p(t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {u} =0,}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \Delta =4{\bigl (}\,|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}{\bigr )}\leq 0.}$$

等式の場合、はの場合のみに発生することに注意してください。 の場合、したがって${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle p(t)={\bigl (}t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert {\bigr )}^{2}.}$${\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}$${\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}$${\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .}$

コーシー・シュワルツの不等式には様々な一般化がある。ヘルダーの不等式はこれをノルムに一般化する。より一般的には、バナッハ空間上の線型作用素のノルムの定義の特殊なケースとして解釈できる（つまり、空間がヒルベルト空間である場合）。さらに一般化されるのは作用素理論の文脈で、例えば作用素凸関数や作用素代数の場合で、定義域や値域はC*-代数やW*-代数に置き換えられる。 ${\displaystyle L^{p}}$

内積は正の線形関数を定義するために使用できる。例えば、ヒルベルト空間が有限測度であるとすると、標準的な内積は による正の関数を生成する。逆に、上の すべての正の線形関数は の点ごとの複素共役である内積を定義するために使用できる。この言語では、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになる[ ^22]。${\displaystyle L^{2}(m),m}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle L^{2}(m)}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}$${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g.}$ $${\displaystyle {\bigl |}\varphi (g^{*}f){\bigr |}^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}$$

これはC*-代数上の正関数にそのまま拡張される：

次の 2 つの定理は、作用素代数のさらなる例です。

これは、が線形関数であるとき、という事実を拡張します。 が自己随伴である場合、つまり である場合は、Kadison の不等式と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=a^{*},}$

もう一つの一般化は、コーシー・シュワルツ不等式の両辺を補間することによって得られる改良である。

この定理はヘルダーの不等式から導かれる。^[29]行列の演算子とテンソル積には非可換バージョンも存在する。^[30]

コーシー・シュワルツ不等式とカントロビッチ不等式のいくつかの行列バージョンが線形回帰モデルに適用される。^{[31] [32]}

• ベッセルの不等式 – 正規直交列に関する定理
• ヘルダーの不等式 – Lp 空間における積分間の不等式
• ジェンセンの不等式 – 凸関数の定理
• カントロヴィッチ不等式
• 國田・渡辺不等式
• ミンコフスキー不等式– L ^p空間がノルムベクトル空間である ことを証明する不等式
• ペイリー・ジグムント不等式 – 数学における確率方程式

• 最も古い使用例: コーシー・シュワルツの不等式の項目には、歴史的な情報が記載されています。
• コーシー・シュワルツの不等式を線形独立ベクトルの決定に適用する例のチュートリアルと対話型プログラム。