カントロヴィッチ不等式

数学において、カントロヴィッチの不等式は、コーシー・シュワルツの不等式の特殊なケースであり、コーシー・シュワルツの不等式自体は三角不等式の一般化である。

三角不等式は、任意の三角形の 2 辺の長さを足すと、3 辺目の長さ以上になるというものです。簡単に言えば、カントロビッチの不等式は、三角不等式の基本的な考え方を線型計画法の用語と表記規則に変換したものです。(三角不等式に固有の基本的な考え方 (線分と距離) をより広いコンテキストに一般化できる他の例については、ベクトル空間、内積、およびノルム ベクトル空間を参照してください。)

より正式には、カントロビッチの不等式は次のように表現できます。

させて

${\displaystyle p_{i}\geq 0,\quad 0<a\leq x_{i}\leq b{\text{ }}i=1,\dots ,n.}$

させて${\displaystyle A_{n}=\{1,2,\dots ,n\}.}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}-{\frac {(ab)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum _{i\in X}p_{i}-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}}$

カントロビッチ不等式は収束解析で使用され、コーシーの最急降下の収束率を制限します。

カントロヴィッチの不等式に相当するものは、さまざまな分野で現れています。たとえば、コーシー・シュワルツ・ブニャコフスキーの不等式とヴィーラントの不等式はカントロヴィッチの不等式と同等であり、これらはすべて、ヘルダーの不等式の特殊なケースです。

カントロヴィッチの不等式は、線形計画法の分野の先駆者であるソビエトの経済学者、数学者、ノーベル賞受賞者のレオニード・カントロヴィッチにちなんで名付けられました。

Marshall と Olkin (1990) による Kantorovich 不等式の行列バージョンもあります。その拡張と統計への応用については、Liu と Neudecker (1999) や Liu ら (2022) を参照してください。

• コーシー・シュワルツの不等式 – 内積とノルムを関係付ける数学的不等式

• Weisstein、Eric W.「Kantorovich 不等式」。MathWorld。
• PlanetMathの Cauchy-Schwarz の不等式。
• 数理計画用語集の「カントロビッチ不等式」の項目
• Marshall, AW と Olkin, I.、コーシー不等式とカントロビッチ不等式の行列バージョン。Aequationes Mathematicae 40 (1990) 89–93。
• Liu, Shuangzhe および Neudecker, Heinz、「Cauchy-Schwarz および Kantorovich 型行列不等式の調査」統計論文 40 (1999) 55-73。
• Liu, Shuangzhe、Leiva, Víctor、Zhuang, Dan、Ma, Tiefeng、Figueroa-Zúñiga, Jorge I.、「多変量線形モデルとその診断における応用を伴う行列微分計算」Journal of Multivariate Analysis 188 (2022) 104849。https://doi.org/10.1016/j.jmva.2021.104849

• レオニード・ヴィタリエヴィチ・カントロヴィッチの伝記