ティトゥの補題

数学において、次の不等式は、それぞれティトゥの補題、 ベルクストロームの不等式、エンゲルの形式、セドラキャンの不等式と呼ばれ、 1997年に出版されたナイリ・セドラキャンの論文「有用な不等式の応用について^{」[1] 、1998年に出版された}アーサー・エンゲルの書籍「問題解決戦略」 、 2003年に出版されたティトゥ・アンドレースクの書籍「数学オリンピックの秘宝^{」[2]に言及している。 [3]これは、}コーシー・ブニャコフスキー・シュワルツの不等式 の直接的な帰結である。しかし、セドラキャンは彼の論文（1997年）で、この不等式をこの形式で書くと証明技法として使用でき、非常に有用な新しい応用があることに気づいた。著書「代数的不等式（セドラキャン）」では、この不等式のいくつかの一般化が提示されている。^[4]

任意の実数 と正の実数については、次の式が成り立ちます（Nairi Sedrakyan (1997)、Arthur Engel (1998)、Titu Andreescu (2003)）。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$${\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}.}$

コーシー・シュワルツの不等式と同様に、セドラキアンの不等式をランダム変数に一般化することができます。この定式化では、 を実数ランダム変数、 を正のランダム変数とします。XとY は独立である必要はありませんが、 と は両方とも定義されていると仮定します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[|X|]}$${\displaystyle E[Y]}$$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}/Y]\geq \operatorname {E} [|X|]^{2}/\operatorname {E} [Y]\geq \operatorname {E} [X]^{2}/\operatorname {E} [Y].}$$

例1. ネスビットの不等式。

正の実数の場合${\displaystyle a,b,c:}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

例 2. 国際数学オリンピック(IMO) 1995。

正の実数の場合、${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle abc=1}$${\displaystyle {\frac {1}{a^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{b^{3}(a+c)}}+{\frac {1}{c^{3}(a+b)}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

例3.

正の実数の場合、${\displaystyle a,b}$${\displaystyle 8(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)^{4}.}$

例4.

正の実数の場合、${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {9}{2(a+b+c)}}.}$

例1.

証明:および を使用して結論付けます。${\displaystyle n=3,}$ ${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},a_{3}\right):=(a,b,c),}$${\displaystyle \left(b_{1},b_{2},b_{3}\right):=(a(b+c),b(c+a),c(a+b))}$$${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(c+a)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}}+1\geq {\frac {1}{2}}(1)+1={\frac {3}{2}}.\blacksquare }$$

例2.

私たちはそれを持っています${\displaystyle {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2a^{2}b^{2}c^{2}}}={\frac {3}{2}}.}$

例3.

私たちは、${\displaystyle {\frac {a^{2}}{1}}+{\frac {b^{2}}{1}}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{2}}}$${\displaystyle a^{4}+b^{4}={\frac {\left(a^{2}\right)^{2}}{1}}+{\frac {\left(b^{2}\right)^{2}}{1}}\geq {\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{2}}\geq {\frac {\left({\frac {(a+b)^{2}}{2}}\right)^{2}}{2}}={\frac {(a+b)^{4}}{8}}.}$

例4.

私たちはそれを持っています${\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}}={\frac {9}{2(a+b+c)}}.}$