ボンドグラフ

ボンドグラフとは、電気、機械、水力、熱、化学などの領域における物理動的システム内およびシステム間のエネルギーの流れをグラフィカルに表現したものです。これは、工学およびシステム生物学に関連するシステムのモデル化と分析に用いられます。

エネルギーという概念はあらゆる物理領域に共通するため、ボンドグラフはこれらのエネルギー領域すべてを統一的に記述するものであり、19世紀の科学者ジェームズ・クラーク＝マクスウェルとケルビン卿によって導入された物理的類推を体系的に用いたものと考えることができる。機械と電気の類推は、物理的類推の一例である。

ボンドグラフは、エネルギーの流れ、すなわち電力となる類似のべき乗共役変数の概念を利用します。これらの変数ペアは「努力」と「流れ」と呼ばれ、例えば電気領域では電圧と電流、機械領域では力と速度に対応します。これらのべき乗共役変数は、ボンドグラフの構成要素を接続するボンドによって伝達されます。

ボンドグラフのコンポーネントも類推に基づいており、電気領域と機械領域を例として、機械的なバネと電気的なコンデンサの両方を表すCコンポーネント、機械的な慣性と電気的なインダクタの両方を表すIコンポーネント、機械的なダンパーと電気的な抵抗器の両方を表すRコンポーネントが含まれます。

電気回路における並列接続と直列接続の概念は、ボンドグラフの用語では0接点と1接点として抽象化され、それぞれの物理領域における接続の類似物として再び使用される。

ボンドグラフのトランスフォーマー（TF）とジャイレーター（GY）コンポーネントは、領域内および領域間のエネルギー変換を表します。したがって、回転機械領域における理想的なギアボックスはTFコンポーネントで表され、電気エネルギーを機械エネルギーに変換する理想的なDCモーターはGYコンポーネントで表されます。柔軟性、慣性、摩擦を有する非理想的なトランスデューサーは、C、I、Rコンポーネントを含めることでモデル化されます。

ボンドグラフにおける因果律の概念は、シミュレーションに適した常微分方程式（ode）、状態空間方程式、微分代数方程式（dae）など、さまざまな形式のシステム方程式を生成するだけでなく、可逆性やゼロダイナミクスといった動的システムの特性を調査するためにも用いられます。また、因果律はモデリングの選択を導き、修正するためにも利用できます。

ボンドグラフを用いたエネルギーの流れの分析は、大規模なマルチドメインシステムの階層的モデルを体系的に構築することにつながります。したがって、ボンドグラフ法は、工学だけでなくシステム生物学や生命科学にも関連するシステムを含む、マルチドメイン物理システムの大規模なコンピュータモデル、すなわちデジタルツインを構築するための基礎となります。

ボンドグラフアプローチは、Jan C Willemsの行動モデリングアプローチ、および Arjan van der SchaftとBM Maschkeのポートハミルトニアンアプローチに関連している。

ボンドグラフ法は、もともとヘンリー・ペインターによって提案され、彼はこの手法を工学システムに応用した。生物物理システムのモデリングにボンドグラフを用いる方法は、 1970年代初頭にアハロン・カチャルスキー、ジョージ・オスター、アラン・ペレルソンによって導入された。

類推

物理領域間の類似性の重要性は、ケルビン卿とジェームズ・クラーク＝マクスウェルによって指摘されました。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}ボンドグラフは、類似性に対する体系的なアプローチと考えることができます。^{[ 3 ]}このセクションでは、ボンドグラフ類似性の主要な特徴を強調します。より詳細な内容は、多くの教科書やチュートリアル論文に記載されています。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 3 ]}

ボンドグラフの主要な特徴を紹介するため、図には電気システムと機械システムの2つの類似システムのボンドグラフを示します。ここでは簡単な説明を行い、以降のセクションでさらに詳しく説明します。

ボンドグラフのC成分は、電気コンデンサCまたは機械バネKのいずれかを表します。
ボンドグラフのI成分は、電気インダクタンスLまたは機械的質量Mのいずれかを表す。
ボンドグラフのR成分は、電気抵抗器Rまたは機械式ダンパーDのいずれかを表します。
銛の記号はエネルギーを伝達する結合を表し、銛の方向は正のエネルギーの流れに対応し、符号の規則となります。共役変数は、説明のために各結合上に表示されています。
1接点は、各構成要素に同じ電流iが流れる電気回路の直列接続と、共通の速度を共有する機械システムの3つの構成要素の接続を表します。したがって、ボンドグラフの構成要素は同じ流れfを共有しますが、作用力は異なり、それぞれ電気部品と機械部品の電圧と力に対応します。3つの作用力の合計がゼロになるという条件により、接点ではエネルギーが保存されます。

ボンドグラフは、変数間の類似性、構成要素間の類似性、構成要素間の接続間の類似性という3種類の類似性を使用します。これらについては、以降のセクションで説明します。

変数間の類似性

ボンドグラフは、エネルギーの流れ、つまりパワーを、異なる物理領域間の類似性を抽象化するための基礎として使用します。^{[ 4 ]}パワー共役変数は、その積がパワーとなる変数のペアであり、これらのリストはさまざまな物理領域の表に表示されます。表に示されているように、ボンドグラフは、努力/流れの類似性を使用して、2 つの共役変数のそれぞれを分類します。横方向/貫通方向の類似性も可能ですが、一般的には使用されません。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}努力の従来のボンドグラフ記号は e であり、流れの記号は f です。^{[ 4 ]}

ボンドグラフは、2つの共役べき乗変数eとfに加えて、2つの積分変数pとqを使用します。

$p=\int ^{t}e(\tau )d\tau ~~~{\text{and}}~~~q=\int ^{t}f(\tau )d\tau$

同様に：

${\dot {p}}={\frac {dp}{dt}}=e~~~{\text{and}}~~~{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}=f$

図に示されている銛の記号は、エネルギーを伝達するパワーボンド、またはボンドを表しています。銛の方向は正のエネルギーの流れに対応し、符号規則に対応します。説明のために、各ボンド上に共役変数が表示されています。

構成要素間の類似性

pとe、qとfの関係は図式で示されています。物理的特性は、エネルギー変数と電力変数の関係を表す構成方程式に集約されます。図では、Cはqとeの関係を表す構成方程式、Iはpとfの関係を表す構成方程式、Rはeとfの関係を表す構成方程式を表しています。図のようにe、f、p、qを正方形の4つの角に配置する代わりに、四面体の4つの頂点に配置することもできます。このような図は、状態の四面体と呼ばれます。^{[ 4 ]}

これら３つの構成方程式 $\Phi _{C},\Phi _{I}~{\text{and}}~\Phi _{R}$ eとfをそれぞれ関連付ける3つのコンポーネントに対応します。2つの動的コンポーネントCとIは、積分器とRコンポーネントを組み込んでいます。^{[ 4 ]} CコンポーネントとIコンポーネントはエネルギーを蓄積しますが、散逸しません。Rはエネルギーを散逸しますが、蓄積しません。pとqをリンクするメモリスタコンポーネントを定義することもできますが、このコンポーネントは一般的に使用されていません。^{[ 9 ]}

 $\Phi _{C},\Phi _{I}~{\text{and}}~\Phi _{R}$ 変数間の関係を表す線形関数または非線形関数は次のように表される。

$q=\Phi _{C}(e),~~p=\Phi _{I}(f)~~{\text{and}}~~e=\Phi _{R}(f)$

線形の場合：

$q=Ce,~~p=If,~~e=Rf$

どこ $C,~I,~{\text{and}}~R$ これらはそれぞれ、一般化された静電容量、慣性、抵抗を表すスカラー定数である。

eとfは共役変数であるため、単一の結合上に配置され、したがって3つの成分C、I、Rは単一の結合で結ばれ、エネルギーが流れる単一のエネルギーポートを持つことになります。成分と、それらに接する結合は図に示されています。慣例として、結合はこれら3つの成分に向かって配置されます。

表記法

コロン（:）表記は、構成要素を参照するために使用されることがあります。例えば、質量-ばね-ダンパーシステムのボンドグラフでは、I:M、C:K、R:D のように表記することで、ボンドグラフの構成要素とそれらの物理的な類似物との間の関連性を強調することができます。

接続間の類似性

電気回路図には、並列接続と直列接続、または共通電圧と共通電流という2種類の接続があります。これらはエネルギーを分配しますが、蓄積したり散逸させたりはしません。共通電圧と共通電流の接続のボンドグラフのアナロジーは、それぞれ0ジャンクション（共通努力）と1ジャンクション（共通フロー）です。どちらもエネルギーを分配しますが、蓄積したり散逸させたりはしません。^{[ 4 ]}

0 接合部に影響を与えるすべてのボンドは同じ努力を持ちます。エネルギーは散逸するのではなく分配されるため、エネルギー流入の合計 (内向きのボンドで示される) はエネルギー流出の合計 (外向きのボンドで示される) と等しくなければなりません。したがって、共通の努力が e である場合、電力の流れの制約は、 $m$ 流入 $f_{i}^{in}$ 合計と等しくなければならない $n$ 流出 $f_{j}^{out}$ :

$\sum _{i=1}^{m}f_{i}^{in}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}^{out}$

同じ議論を用いると、1つの交差点に影響を与える努力は、以下の制約を受ける。

$\sum _{i=1}^{m}e_{i}^{in}=\sum _{j=1}^{n}e_{j}^{out}$

外部接続間の類似性

図に示すような単純な電気システムや機械システムのようなシステムは、環境とは一切関係がありません。このような関係には、外部電圧や外部力（つまり作用力）、外部電流や外部速度（つまり流れ）などが含まれます。同様に、作用力や流れの外部測定も重要です。階層システムを構築する目的においては、システム間でエネルギーが流れることができるエネルギーポートを定義すると便利です。これらの 5 つの可能性は、5 つのボンドグラフコンポーネントに対応します。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

${\text{S}}_{e}$ 外部電圧や外部力を加えることに類似した力源
${\text{S}}_{f}$ 外部の流れや外部速度を適用することに類似した流れ源
${\text{D}}_{e}$ 電圧や力を測定するのと同様の、努力センサー（検出器）
${\text{D}}_{f}$ 流量センサー（検出器）は、電流や速度を測定するのに類似している。
${\text{SS}}$ ソース/センサーコンポーネントとして、 ${\text{S}}_{e}$ - ${\text{D}}_{f}$ そして ${\text{S}}_{f}$ - ${\text{D}}_{e}$ ペアと外部接続用のエネルギーポートも備えている。^{[ 3 ]}

例えば、質量-ばね-ダンパー系に力を加えることができる。 $F$ 質量に適用され、質量の速度が測定される $v$ 単一のSSコンポーネントを使用します。コロン表記が含まれています。SS:ioは、力と速度のペアがシステムの入力と出力とみなせることを示しています。

エネルギー変換器間の類似点

共役努力変数と流量変数は各エネルギー領域で異なる単位を持つため、ある領域のモデルを別のエネルギー領域にボンドで直接接続することはできません。しかし、電力は各領域で同じ単位（J/sまたはW）を持つため、2ポート電力変換コンポーネントTFとGYを使用してそのような接続を提供できます。^{[ 4 ]} 2つのコンポーネントは電力を伝送しますが、蓄積または散逸しないため、左側のボンドと右側のボンドの共役変数に関連付けられた電力は同じでなければなりません。

$e_{2}f_{2}=e_{1}f_{1}$

各コンポーネントにはモジュラスがあります $m$ それに関連付けられています。TFコンポーネントの場合：

$e_{2}=me_{1}~~{\text{and}}~~f_{1}=mf_{2}$

GYコンポーネントの場合：

$e_{2}=mf_{1}~~{\text{and}}~~e_{1}=mf_{2}$

例えば、摩擦がなく質量のない面積のピストン $A$ 油圧を機械動力に変換して油圧を $P$ 機械的な力に関連している $F$ による：

$F=AP$

および水力の流れ $V$ ピストン速度 $v$ による：

$V=Av$

したがって、ボンドグラフのアナロジーは、モジュラスを持つTFコンポーネントです。 $m=A$ どこ $e_{1}=P,~~f_{1}=V$ そして $e_{2}=F,~~f_{2}=v$ 。

例えば、理想的な直流モーターは電気エネルギーを回転機械エネルギーに変換し、機械トルクを発生させます。 $T$ 電流に関係する $i$ による：

$T=ki$

そして逆起電力（電圧） $E$ 角速度 $\Omega$ による

$E=k\Omega$

したがって、ボンドグラフのアナロジーは、モジュラスを持つGYコンポーネントです。 $m=k$ どこ $e_{1}=E,~~f_{1}=i$ そして $e_{2}=T,~~f_{2}=\Omega$ 。

どちらの場合も、C、I、Rの結合グラフ成分をモデルに含めることで、非理想的な変換挙動をモデル化することができる。

システム生物学におけるボンドグラフ

ボンドグラフは、生理学や生物学を含む生命科学に関連するシステムをモデル化するために使用されてきました。^{[ 10 ]}特に、生物物理システムをモデル化するためのボンドグラフの使用は、1970年代初頭にAharon Katchalsky、George Oster 、およびAlan Perelsonによって導入されました。 ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}最近では、これらのアイデアはシステム生物学の文脈で、細胞生物学の生化学反応システムをモデル化するためのエネルギーベースのアプローチ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}や、生理機能全体をモデル化するために使用されています。^{[ 16 ]}

ボンドグラフアプローチには、生理機能の大規模な計算モデルを構築するための優れた基盤となる多くの特徴があります。

これはエネルギーに基づいているため、次のことを意味します。
- これらのモデルは物理的に妥当である^{[ 17 ]}
- 反応速度論の詳細バランス（ヴェグシャイダーの条件）は自動的に満たされる^{[ 18 ]}
- エネルギーの流れ、使用、および散逸を直接考慮することができる
モジュール式です。ボンドグラフのコンポーネント自体がボンドグラフになることができます^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}
物理領域間のエネルギー変換は簡単に表現できる^{[ 16 ]} - 以下を参照
シミュレーションに使用できる記号コードは自動的に生成できます^{[ 21 ]}

変数

生化学システムのボンドグラフ変数は以下のとおりです。

置換：モルで測定される化学種の量、記号 $x$ （モル）
フロー：化学種の変化率、記号 $v$ （モル/秒）
努力：化学ポテンシャル、またはギブズエネルギー、化学種1モルあたり、記号 $\mu$ (J/mol) ^{[ 22 ]}

なお、ボンドグラフの定式化では常にそうであるように、努力と流量（μv）の積は電力（J/s）になります。

コンポーネント

以下に詳述するように、生化学システムをモデル化するために使用されるコンポーネントの主な特徴は、R および C コンポーネントが非線形であること、I コンポーネントが不要であること、および R コンポーネントが 2 ポート Re コンポーネントに置き換えられることである。^{[ 15 ]}

接合部品

この文脈では、ボンドグラフのゼロ（0）成分とイチ（1）成分に違いはありません。

Cコンポーネント

Cコンポーネントはフローを統合します $v$ 金額を与える $x$ 種の:

$x(t)=\int ^{t}v(\tau )d\tau$

努力、化学ポテンシャル $\mu$ は、次の式で与えられます。^{[ 15 ]}^{[ 22 ]}

$\mu =\mu ^{0}+RT\ln {\frac {x}{x^{0}}}$

どこ $\mu ^{0}$ 化学ポテンシャルは $x=x^{0}$ 、 $R$ 気体定数と $T$ は絶対温度（ケルビン度）です。

の式 $\mu$ 簡略化すると次のようになります。

$\mu =RT\ln Kx$ どこ $K={\frac {1}{x^{0}}}\exp {\frac {\mu ^{0}}{RT}}$

この特定のC成分は特殊な形状をしているため、特殊なRe成分と同様に、Ceという特別な名前が付けられることがある。

再コンポーネント

Re（反応）成分には、化学反応の左側（順方向）と右側（逆方向）に対応する2つのエネルギーポートがあります。 $A^{f}$ そして逆 $A^{r}$ 親和力は、反応の左辺と右辺の種による正味の化学ポテンシャルとして定義される。Re成分は反応の流れを表す。 $v$ [ ¹⁵^]

$v=\kappa \left(\exp {\frac {A^{f}}{RT}}-\exp {\frac {A^{r}}{RT}}\right)$

どこ $\kappa$ （mol/s）は速度定数です。

1分岐定式化では通常のRコンポーネントを使用することはできないことに注意してください。これは、流れが順方向と逆方向の両方に依存するためです。 $A^{f}$ そして逆 $A^{r}$ 違いではなく親和性 $A^{f}-A^{r}$ [ ¹³^]

単純な反応のモデリング

反応 ${\ce {A <=> B}}$

出典: ^{[ 13 ]}^{[ 15 ]}

{\displaystyle {\mathrm {A} {}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}\mathrm {B} }} — 反応の結合グラフ ${\ce {A <=> B}}$ C:AとC:Bはそれぞれ種Aと種Bを表し、Re:r1は反応を表します。結合と0接合部は3つの構成要素を結び付けています。各結合に関連するエネルギーと流量が示されています。

単純な反応 ${\ce {A <=> B}}$ これは3つの要素で表されます。

C:Aは化学ポテンシャルを持つ種Aを表す $\mu _{A}$ ; 流れは $-v$ 。
C:Bは化学ポテンシャルを持つ種Bを表す $\mu _{B}$ ; 流れは $v$ 。
Re_r1は流れを伴う反応を表す $v$ 前方親和性 $A^{f}=\mu _{A}$ および逆親和性 $A^{r}=\mu _{B}$ 。
結合部と接合部は、示された力と流れの変数に従って化学エネルギーを伝達する。

上記の式を用いると、流れは $v$ は

$v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-K_{B}x_{B}\right)$

ここで、添え字は種に対応する。これが単純な質量作用の式である。

$v=k^{+}x_{A}-k^{-}x_{B}$

どこ $k^{+}=\kappa K_{A}{\text{ and }}k^{-}=\kappa K_{B}$ 。

酵素触媒反応

Keener & Sneyd ^{[ 22 ]}のセクション 1.4 で議論されているように、酵素触媒反応は種を可逆的に変換します ${\ce {A}}$ 種へ ${\ce {B}}$ 酵素を介して ${\ce {E}}$ 酵素複合体 ${\ce {C}}$ これは、2つの反応として記述できます。

${\ce {A + E <=> C <=> B + E}}$

酵素複合体 ${\ce {C}}$ から形成されます ${\ce {A + E}}$ そして種に分解する ${\ce {B}}$ 酵素を放出する ${\ce {E}}$ 図に示されている結合グラフは、酵素がどのようにリサイクルされるかを示しています。

結合グラフは、一般化されたミカエリス・メンテン型のこれらの反応の特性を導出するために使用できます。^{[ 13 ]}

エネルギー変換

{\displaystyle \mu } — 生命科学におけるエネルギー変換。ボンドグラフTFコンポーネントは、エネルギー領域内または領域間のエネルギー変換を表します。この図は、エネルギー変換と化学領域間のエネルギー変換に焦点を当てています。 $\mu$ （J/mol）と流量 $v$ （モル/秒）と努力を伴う一般的なドメイン $e$ そして流れ $f$ 変圧器のモジュラスはmです。

ボンドグラフのTF（トランスフォーマー）コンポーネントは、エネルギー領域内または領域間のエネルギー変換を表します。^{[ 4 ]}（TFコンポーネントはTD（変換）コンポーネントとも呼ばれていますが^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}、TFの方が広く使われています。^{[ 4 ]}）このセクションでは、化学領域間の変換に焦点を当てます。 $\mu$ （J/mol）と流量 $v$ （モル/秒）と努力を伴う一般的なドメイン $e$ そして流れ $f$ 。

TFコンポーネントの重要な特徴は、エネルギーを散逸させることなく伝送することです。^{[ 4 ]}したがって、図を参照すると次のようになります。

$ef=\mu v$

変圧器のモジュラスm（適切な単位付き）は次のようになります。

$f=mv$

エネルギーの公式は、次のことを示唆している。

$\mu =me$

化学量論

{\displaystyle {\mathrm {A} {}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}m\,\mathrm {B} }} — 化学反応を表す結合グラフ ${\ce {A <=> mB}}$ （mは正の整数）TFコンポーネントを使用します。

化学反応の化学量論は、各化学種がどれだけ存在するかを決定します。したがって、例えば、反応 ${\ce {A <=> m B}}$ 1モルの種を変換する ${\ce {A}}$ 種のミリモル ${\ce {B}}$ 。

の場合 $m=1$ これは、上記の最初の例の単純な反応に対応します。一般的な場合についても同じアプローチを使用します。 $m$ 反応の流れは次のとおりです。^{[ 13 ]}^{[ 15 ]}

$v=\kappa \left(\exp {\frac {\mu _{A}}{RT}}-\exp {\frac {m\mu _{B}}{RT}}\right)=\kappa \left(K_{A}x_{A}-(K_{B}x_{B})^{m}\right)$

化学電気変換

このセクションでは、一般的なドメインが電気ドメインである場合、つまり努力が（電気）電圧である場合について考察します。 ${\mathcal {V}}$ （ $e={\mathcal {V}}$ ）そして流れは電流である（ $f=i$ ) 流れを考慮する $v$ 分子の電荷が $z\epsilon$ （クーロン） $\epsilon$ はクーロン単位で測定される電子の電荷であり、したがって1モルのイオンに関連する電荷は $z\epsilon N_{A}$ どこ $N_{A}$ はアボガドロ定数である。等価電流は

$i=z\epsilon N_{A}v=z{\mathcal {F}}v$ どこ ${\mathcal {F}}=\epsilon N_{A}$ はファラデー定数です。したがって、対応するTFモジュラスは次のようになります。

$m=z{\mathcal {F}}$ (C/mol)

また、次のことが導かれる。

$\mu =me=z{\mathcal {F}}{\mathcal {V}}$

この文脈では、ボンドグラフTFコンポーネントは、活動電位^{[ 23 ]} 、膜輸送体^{[ 24 ]} 、心臓活動電位^{[ 25} ] 、およびミトコンドリア電子伝達系^[²⁶^]に関連するエネルギーの流れをモデル化するために使用^できます。

化学機械的変換

長さが 1 のサブユニットであるアクチンのような長い剛体分子を考えてみましょう。 $\delta$ (m)は、 $v$ （モル/秒）。次に先端速度 $V$ は次のように与えられる：^{[ 27 ]}

$V=\delta N_{A}v$ どこ $N_{A}$ はアボガドロ定数です。

したがって、モジュラス $m=\delta N_{A}$ (m/mol)および

$\mu =mF=\delta N_{A}F$ どこ $F$ は先端における対応する力です。

これらの式は、アクチンフィラメントの力/速度曲線を生成するために使用されてきました^{[ 27 ]}。このアプローチは、結合グラフTFコンポーネントが細胞システムのモジュール結合グラフモデルで使用できる可能性があるため、ブラウンラチェットアプローチ^[²⁸^{]の有用な代替手段となります}^[¹⁴^{] 。}

アプリケーション

システム生物学に関連する多くのシステムが、ボンドグラフを用いてモデル化されてきた。これらには以下が含まれる。

腸上皮細胞の恒常性^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}
グルコース輸送^{[ 31 ]}
心臓細胞電気生理学的モデリング^{[ 30 ]}
脳循環^{[ 32 ]}
遺伝子制御ネットワーク^{[ 33 ]}
アクチンフィラメント重合^{[ 27 ]}
生化学的振動子^{[ 34 ]}
光合成^{[ 15 ]}
血液循環^{[ 35 ]}
簡略化された大腸菌^{[ 36 ]}
ミトコンドリア電子伝達系^{[ 37 ]}^{[ 26 ]}
活動電位^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

因果関係

因果関係という言葉には多くの用途と意味合いがあります。しかし、ボンドグラフの文脈では、限定的で正確ではあるものの重要な意味を持ち、システムのボンドグラフモデルを（非線形）状態空間表現を含むさまざまな形式に変換することを可能にします。^{[ 4 ]}因果関係の概念は、ボンドグラフで表されるシステムの構造的特性（反転を含む）を調べたり、モデリングエラーを明らかにしたりするためにも使用できます。^{[ 6 ]}

R、C、Iコンポーネント

因果関係の概念は、因果ストローク表記法によって視覚化されます。^{[ 4 ]}この表記法は、R、C、I コンポーネントが因果ストロークによって拡張された結合に接続されている 3 つの図で導入されています。因果ストロークとは、結合に垂直で、結合の両端のいずれか (ただし両方ではない) に位置する短い線です。(分かりやすくするために、図は線形コンポーネントに対応しています。非線形の場合、 $Rf$ に置き換えられます $\Phi _{R}(f)$ そして $e/R$ による $\Phi _{R}^{-1}(e)$ C および I コンポーネントについても同様です。非因果的（線なし）なボンドグラフは一連の方程式を表しますが（方程式の左辺と右辺を入れ替えても意味は変わりません）、因果的（各ボンドに線あり）なボンドグラフは一連の代入文を表します。代入文の左辺の値（ここでは := で表されます）が、代入文の右辺の式の値になります。したがって、たとえば、線形抵抗器の構成方程式は次のように書くことができます。 $e=Rf$ そして $f=e/R$ 意味を変えることなく、一方、2つの代入文 e:=Rf と f := e/R は異なります。具体的には、前者の場合、e を計算するには f が既知である必要があり、後者の場合、f を計算するには e が既知である必要があります。

代入文の表現は、ブロック図としてグラフィカルに視覚化できます。ブロック図では、各代入文はブロックとして表され、入力は代入文の右側を、出力は代入文の左側を表します。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}各因果関係のブロック図は、各コンポーネントの図に示されています。コンポーネントの各因果関係は、異なるブロック図につながることに注意してください。

Rコンポーネント

図は、線形構成方程式を持つ R コンポーネントの因果関係を示しています。(a) R にフローが課せられ、R がエフォートを課します。これは、代入文 e := Rf およびブロック図に対応します。(b) R にエフォートが課せられ、R がフローを課します。これは、代入文 f := e/R および対応するブロック図に対応します。

Cコンポーネント

図は、線形構成方程式によるCコンポーネントの因果関係を示しています。(a) Cにフローが課せられ、Cが努力を課します。これは割り当てステートメントに対応します。 $e:=q/C~~{\text{and}}~~q:=\int ^{t}f(\tau )d\tau$ 対応するブロック図。これは統合因果律と呼ばれます。(b) Cに努力が課せられ、Cが流れを課す。これは割り当てステートメントに対応します。 $q:=Ce~~{\text{and}}~~f:={\frac {dq}{dt}}$ そして、それに対応するブロック図。これは導関数因果関係と呼ばれます。

Iコンポーネント

図は、線形構成方程式によるIコンポーネントの因果関係を示しています。(a) Iに努力が課せられ、Iが流れを課します。これは割り当てステートメントに対応します。 $f:=p/I~~{\text{and}}~~p:=\int ^{t}e(\tau )d\tau$ そして対応するブロック図。これは統合因果律と呼ばれます。(b) フローはIに課せられ、Iは努力を課します。これは割り当てステートメントに対応します。 $p:=If~~{\text{and}}~~e:={\frac {dp}{dt}}$ そして、それに対応するブロック図。これは導関数因果関係と呼ばれます。

光源・センサー構成要素

SS（ソースセンサー）コンポーネントは、努力源として機能します（ $S_{e}$ ）、流量検出器（ $D_{f}$ ）原因ストロークがSSコンポーネントから離れている場合、およびその逆の場合の組み合わせ。図はSS（ソース/センサー）コンポーネントの因果関係を示しています。（a）SSは努力源として機能します（ $S_{e}$ ) 流量検出器 ( $D_{f}$ ）組み合わせ。（b）SSは流れ源として機能します（ $S_{f}$ ）、努力検出器（ $D_{e}$ ）組み合わせ。

接合部

定義上、0-ジャンクションに作用するボンドに関連するすべてのエフォートは同じであるため、エフォート因果関係を課すボンドはちょうど1つだけであることがわかります。同様に、1-ジャンクションに作用するボンドに関連するすべてのフローは同じであるため、フロー因果関係を課すボンドはちょうど1つだけであることがわかります。したがって、ボンドが0-ジャンクションにエフォート因果関係を課す場合、そのジャンクションは他のボンドにエフォートを課し、ボンドが1-ジャンクションにフロー因果関係を課す場合、そのジャンクションは他のボンドにフローを課します。

因果伝播

1ポートコンポーネント（ソース、C、I、R）が、0ジャンクション、1ジャンクション、TF、GYからなるジャンクション構造で接続されている場合、各1ポートコンポーネントに割り当てられた因果関係は、ジャンクション構造コンポーネントによって課される因果制約のために、ジャンクション構造全体に伝播します。この伝播は、逐次因果割り当て手順（SCAP）を使用して体系的に適用できます。^{[ 4 ]}

任意のソース（SS、Se、Sf）を選択し、必要な因果関係を割り当てます。接合要素（0と1）およびTF要素とGY要素に対する制約を使用して、ボンドグラフを通して因果関係を可能な限り拡張します。
すべてのソースコンポーネントに対して手順1を繰り返します。
任意の記憶要素（CまたはI）を選択し、積分因果関係を割り当てます。接合要素（0と1）およびTF要素とGY要素に対する制約を用いて、因果関係をボンドグラフ全体に可能な限り拡張します。
すべてのC要素とI要素に因果関係が割り当てられるまで、手順3を繰り返します。

図は、この手順を単純な例に適用した結果を示しています。特に、I コンポーネントは 1 つのジャンクションにフロー因果律を課し、したがって 1 つのジャンクションは他の 3 つのコンポーネント (SS、C、R) にフロー因果律を課します。これは、C、R、SS コンポーネントが 1 つのジャンクションに努力因果律を課すことを意味します。したがって、C コンポーネントは統合因果律にあり、R コンポーネントは割り当てに対応します。 $e_{R}:=Rf$ 。

小規模システムであればこの手順は手動でも実行可能ですが、一般的にはコンピュータを用いた方法の方がより有用です。

この手順には3つの結果が考えられます。

これは、すべてのCおよびIコンポーネントが完全因果関係にあり、すべての結合因果関係が割り当てられている状態で完了します。結果として得られるシステムは因果結合グラフであり、状態空間システムに変換できます。
すべての債券には因果関係が割り当てられているが、CまたはIの構成要素のうち1つ以上には派生的な因果関係が存在する。
CとIのすべての構成要素には因果関係が組み込まれていますが、一部の結合には因果関係が割り当てられていません。

ケース 1 では状態空間形式の常微分方程式(ode)が得られるのに対し、ケース 2 では微分代数方程式(dae)が得られます。状況によっては、dae を避けるために基礎となる物理システムを再検討する方が良い場合もあれば^[⁴^]^[⁵^]^[⁶^]、dae を ode に還元できる場合^[⁶^]^[³⁸^]、または適切な dae ソルバーを使用して daes を解くことができる場合もあります。

別の因果関係。

逐次因果割り当て手順（SCAP）は、計算システムや制御システムの解析に適した状態空間方程式を導出するために設計されています。しかし、以下のような他の問題に対処するために設計された他の形式の因果解析も存在します。

双方向因果関係^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}
派生因果関係^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}
ハミルトンとラグランジュの式を含む代替方程式の定式化^{[ 45 ]}

状態空間方程式

結合グラフシステム表現には、各構成要素の構成方程式が含まれており、結合および接合部の構造の中に埋め込まれている。

方程式のセットをアナログ計算に適した形式に変換する方法という問題が提起され、ケルビン卿によって部分的に解決されました。^{[ 46 ]}このアプローチは、ボンドグラフモデルをデジタル計算に適した状態空間表現に変換することの基礎となっています。^{[ 47 ]}

ボンドグラフは、（ボンドグラフの）因果関係の概念を用いて、状態空間表現が存在するかどうか、存在する場合はどのような表現であるかを体系的かつ建設的に調査する方法を提供します。この因果関係に基づくアプローチは、計算機による実装に適しており、因果ストローク表記法を用いてボンドグラフ自体に直感的に表現することができます。

因果関係グラフは、以下の条件を満たす場合に状態空間形式に変換できます。^{[ 4 ]}

すべての絆には因果関係があり、
すべてのコンポーネントが因果関係を可能にした
CとIのすべての構成要素は、完全な因果関係にある。

逐次因果割り当て手順（SCAP）は、ボンドグラフで表されるシステムが状態空間表現を持つかどうかを判断するためのグラフィカルなアプローチを提供する。^{[ 4 ]}^{[ 6 ]}

ボンドグラフは様々なシステムに類似している。分かりやすくするために、ここでは機械的な類似例を用いるが、全く同じ方法が電気やその他の物理領域にも適用される。

積分因果関係における構成要素に対応する積分変数としてシステムの状態を選択するのが便利です。単純な例では、2つの状態があります。 $p$ 質量Mに対応し、 $q$ バネに対応します。システムの入力と出力は、Se、Sf、SSの各成分に対応します。この場合、SS成分に対応する入力と出力がそれぞれ1つずつあります。それは、作用力（加えられた力）です。 $F$ ）と測定された流量（速度） $v$ ) 因果ストロークに導かれて、状態微分（I コンポーネントに適用される努力、C コンポーネントに適用される流れ）は、状態を用いて次のように表すことができます。

${\begin{aligned}{\dot {q}}&=f={\frac {p}{m}}\\{\dot {p}}&=F-e_{c}-e_{r}=F-kq-df=F-kq-d{\frac {p}{m}}\end{aligned}}$

これは、標準線形状態空間では次のように記述できます。

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}$

州 $x$ 入力 $u$ 出力 $y$ は以下によって与えられます。

$x={\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}},\;u=F{\text{ and }}y=v$

そして行列 $A$ 、 $B$ そして $C$ は以下によって与えられます。

$A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\-k&-{\frac {d}{m}}\end{pmatrix}},\;B={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\;C={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{m}}\end{pmatrix}}$

状態方程式には質量という3つのパラメータがあります $m$ ばね定数 $k$ 減衰定数 $d$ 。

制御システム理論の通常のラプラス変換表記法を用いると、入力とシステムを関連付けるシステム伝達関数は次のようになる。 $u$ 出力 $y$ は：

${s \over {\left(k+ds+ms^{2}\right)}}$

これらの公式を手作業で導き出すことは有益な場合もあるが、同じ機能を実行するにはコンピュータ代数を利用する方が便利な場合が多い。

システム反転

線形システムの挙動は、システム伝達関数の分母だけでなく分子によっても決定されます。非線形の場合、伝達関数の分子の概念はゼロダイナミクスの概念に置き換えられます。ゼロダイナミクスの物理的な解釈を持つことは、動的システムの設計と再設計に役立ちます。このため、システム反転のためのボンドグラフアプローチが開発されました。^{[ 48 ]}^{[ 49 ]}^{[ 41 ]}

この手順は、単純な質量-ばね-ダンパーシステムのボンドグラフを用いて説明します。このグラフは線形ですが、重要な概念を例示しています。具体的には、システムの反転は、ソース-センサコンポーネントの因果関係を反転することによって行われます。つまり、入力と出力の役割が反転します。この場合、SSコンポーネントの因果関係を反転すると、Iコンポーネントの因果関係も反転する必要があります。これは、1つのコンポーネントのみが1-ジャンクションに流れを課すことができるためです。したがって、Cコンポーネントのみが積分因果関係に残ります。したがって、ゼロダイナミクスは1次であり、この単純なケースでは、元のシステムの伝達関数の分子が1次であるという事実に対応します。

因果的ストロークに続いて、残りの状態 $q$ 入力に関して次のように記述できます $v$ 逆システムの

${\dot {q}}=v$

$p$ もはや状態ではなく、次のように記述できます。

$p=mv$

出力 $F$ 逆システムの式は次のとおりです。

$F=kp+dv+{\dot {p}}=kp+dv+m{\dot {v}}$

このアプローチは、システムの入力と出力が同じSSコンポーネント上に存在することを前提としています。つまり、入力と出力は同一場所に配置されていると言えます。そうでない場合は、双方向因果関係の概念を用いる必要があります。

二重因果関係

（標準的な）因果律は、ボンドグラフで記述される動的システムの逆問題を調査するための強力なツールを提供するが、入力と出力が単一のSSコンポーネント上に存在する、同一位置にあるソースセンサペアに限定される。この制限を取り除くために、双因果律の概念が導入され^{[ 50 ]}、さまざまな逆問題に適用された^{[ 48 ]}^{[ 41 ]}^{[ 51 ]} 。双因果律は、故障検出^{[ 40 ]}^{[ 52 ]}、動的システムの構造特性の分析^{[ 53 ]}^{[ 54 ]} 、制御システム設計^{[ 55 ]}^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}^{[ 58 ]}^{[ 59 ] 、および非線形解析}^[⁶⁰^]の文脈でも使用されている。

ソースセンサー（SS）コンポーネント

SS（ソースセンサー）コンポーネントには、Se/Df（エフォートソース、フローセンサー）とDe/Sf（エフォートセンサー、フローソース）に対応する2つの因果関係構成が存在します。図に示すように、SSコンポーネントには、 Se/Sf（エフォートソース、フローソース）とDe/Df（エフォートセンサー、フローセンサー）に対応する2つの双因果関係構成があります。これは、因果関係のハーフストロークを使用してグラフィカルに表現され、結合部の銛側のハーフストロークはフローに対応し、結合部の反対側のハーフストロークはエフォートに対応します。

ジャンクションの双方向因果関係に関するルールは、因果関係に関するルールと同じです。つまり、0ジャンクションには1つの結合のみが作用力を及ぼし、1ジャンクションには1つの結合のみが流れを及ぼします。反転の文脈では、I、C、およびコンポーネントに接続された結合は双方向因果関係を持つことはできません。

これらの考え方は、光源とセンサーが同一場所に存在しない例を用いて説明される。

例：非同位置のソース・センサシステムの逆変換

この例では、ゼロジャンクションとSSコンポーネントをさらに追加することで拡張しています。機械的なケースでは、これはバネと接地の間に力センサと速度源を挿入することに相当し、電気的なケースでは、コンデンサに並列に電流源と電圧センサを追加することに相当します。ボンドグラフに示されているように、追加した流量源の流量をゼロに設定することで、この例は簡略化されています。

共存例と同様に、機械システムが考慮され、システム入力は力とみなされる。 $F$ 質量Mに作用する。ただし、出力は力とみなされる。 $F_{s}$ 加えられた力と位置が一致しないバネの $F$ 。

対応する状態空間システムは、出力行列Cが次のように与えられる点を除いて同じである。

$C={\begin{pmatrix}k&0\end{pmatrix}}$

センサーの変化を反映している。入力に関連する伝達関数 $F$ 出力 $F_{s}$ になる:

${k \over {\left(k+ds+ms^{2}\right)}}$

分母は変わりませんが、分子はセンサーの変更を反映して異なっています。

出力を反転させることで、システムは反転されます。 $F_{s}$ 入力と入力 $F$ 出力。したがって、左側のSSは努力と流量の両方のセンサーとなり、右側のSSは努力と流量の両方のソースとなり、対応する因果関係を持ちます。I、C、Rコンポーネントは従来の因果関係を維持しなければならないため、双因果関係は図のように伝播します。IコンポーネントとCコンポーネントはどちらも微分因果関係にあり、したがってゼロダイナミクスはゼロ次であり、この単純なケースでは、元のシステムの伝達関数の分子がゼロ次であるという事実に対応します。

共位置の場合と同様に、逆システムの伝達関数はシステムの伝達関数の逆数です。ここでも、ボンドグラフ因果律法は非線形システムのゼロダイナミクスを調べるためにも使用できます。^{[ 60 ]}^{[ 41 ]}

機械システム、電気システム、電気機械システムのボンドグラフの導出

さまざまな物理領域におけるシステムのボンドグラフを導出する方法は、教科書で詳しく説明されています。^{[ 4 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}実験室の電気機械システムの詳細な導出は、チュートリアル論文で示されています。^{[ 3 ]}

このセクションでは、いくつかの単純なシステムに対する方法と計算例を示します。

電磁

電磁気学の問題をボンドグラフとして解く手順は以下のとおりです。

各ノードに0ジャンクションを配置する
Sources、R、I、C、TR、およびGY結合を1つの接合部で挿入します。
接地（変圧器またはジャイレータが存在する場合は両側）
電力の流れ方向を割り当てる
シンプルにする

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

線形機械

線形力学問題をボンドグラフとして解く手順は以下のとおりです。

それぞれの異なる速度に対応する1点接合部を配置する（通常は質量の位置）。
R結合とC結合を、作用する1接合部の間のそれぞれの0接合部に挿入する
1接合部にソースとI結合を挿入し、それらが作用する場所に配置します。
電力の流れ方向を割り当てる
シンプルにする

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

簡素化

簡略化の手順は、システムが電磁気的であろうと線形機械的であろうと変わりません。手順は以下のとおりです。

（地面または速度ゼロのため）電力ゼロのボンドを除去
結合数が3つ未満の0および1の接合部を削除する
並列電源を簡素化する
0個のジャンクションを直列に接続する
1つの接合部を直列に接続する

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

並列電力

並列電力とは、ボンドグラフにおいて電力が並列に流れる状態を指します。並列電力の例を以下に示します。

並列電力は、0分岐と1分岐における努力と流量の関係を思い出すことで簡略化できます。並列電力を解くには、まず分岐に関するすべての式を書き出す必要があります。提示された例の場合、式は以下のとおりです。（努力/流量変数が表す番号結合に注意してください。） ${\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}$

これらの式を操作することで、並列電力を表す等価な0接点と1接点のセットを見つけることができるように、それらを配置することができる。

例えば、 ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$ そして ${\textstyle e_{2}=e_{7}}$ 方程式の変数を置き換えることができる ${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$ その結果 ${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$ そしてそれ以来 ${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$ 私たちは今、次のことを知っています。 $e_{1}=e_{8}$ この2つの努力変数が等しい関係は、0接合によって説明できます。他の方程式を操作すると、次のことがわかります。 $f_{4}=f_{5}$ これは1つの接点の関係を表しています。これらの関係が決定したら、新しい接点を用いて並列電力回路図を再描画できます。例題の結果を以下に示します。

例

シンプルな電気システム

電圧源、抵抗器、コンデンサを直列に接続した単純な電気回路。

最初のステップは、すべてのノードに0接合点を描画することです。 ${\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}$

次のステップは、それぞれの1接点で作用するすべての要素を追加することです。 ${\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}$

次のステップは、接地を選択することです。接地とは、電圧がないと想定される0接点のことです。この場合、接地は、上図で下線が引かれている左下の0接点とします。次のステップは、ボンドグラフのすべての矢印を描くことです。接点上の矢印は、接地に向かって（電流と同様の経路をたどって）描かれます。抵抗、慣性、コンプライアンス要素の場合、矢印は常に要素に向かって描かれます。矢印を描いた結果は下図の通りで、0接点は接地として星印で示されています。

ボンドグラフができたので、これを簡略化する作業を開始しましょう。最初のステップは、すべての接地ノードを削除することです。下部の2つの0接点は両方とも接地されているため、削除できます。結果は以下のとおりです。

次に、結合数が3つ未満の接合部を削除します。これは、これらの接合部では流れと力が変化することなく通過するため、削除することで描画量を減らすことができるからです。結果は以下のとおりです。

最後のステップは、ボンドグラフに因果関係を適用することです。因果関係の適用については既に上で説明しました。最終的なボンドグラフを以下に示します。

高度な電気システム

電流源、抵抗器、コンデンサ、変圧器を備えた、より高度な電気システム

この回路の手順に従うと、簡略化する前のボンドグラフが下図のようになります。星印の付いたノードは接地を表します。

結合グラフを簡略化すると、以下の図のようになります。

最後に、因果関係を適用すると、以下の結合グラフが得られます。星印の付いた結合は、因果関係の矛盾を表します。

単純な直線機械

壁に取り付けられたバネに質量が取り付けられた、単純な線形機械システム。質量には何らかの力が加えられている。システムの図を以下に示す。

機械システムの場合、最初のステップは、それぞれの異なる速度に1-ジャンクションを配置することです。この場合、質量と壁という2つの異なる速度があります。通常、参照のために1-ジャンクションにラベルを付けておくと便利です。結果は以下のとおりです。 ${\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$

次のステップは、R結合とC結合を、それぞれが作用する1接合点間の0接合点に描画することです。この例では、これらの結合は1つだけで、バネのC結合です。これは、質量を表す1接合点と壁を表す1接合点の間で作用します。結果は以下のとおりです。 ${\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$

次に、作用点となる1接合部に、ソースとI結合を追加します。ソースは1つ（力の源）、I結合は1つ（質量の質量）で、どちらも質量の1接合部に作用します。結果は以下のとおりです。 ${\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$

次に、電力の流れを割り当てます。電気回路の例と同様に、電力は接地方向、つまり壁の1接点に向かって流れる必要があります。ただし、R、C、Iのボンドは例外で、常に素子の方向を向きます。結果として得られるボンドグラフは以下のとおりです。

結合グラフが生成されたので、これを簡略化できます。壁は接地されている（速度がゼロである）ため、その接合部を削除できます。したがって、C結合が存在する0接合部も削除できます。削除すると、結合数が3つ未満になるからです。簡略化された結合グラフを以下に示します。

最後のステップは因果関係を適用することです。最終的なボンドグラフは以下に示すとおりです。

高度なリニアメカニカル

より高度な直線型機械システムを以下に示します。

上記の例と同様に、最初のステップは、それぞれの遠方速度に1つの接続点を作成することです。この例では、遠方速度は3つあり、質量1、質量2、および壁です。次に、すべての接続点を接続し、電力の流れを割り当てます。接続点は以下に示されています。

次に、壁の1つの接合部を削除し、3つ未満の結合を持つ接合部を削除することで、結合グラフを単純化するプロセスを開始します。結合グラフは以下に示します。

結合グラフには並列べき乗が存在します。並列べき乗の解法については既に説明しました。解法の結果は以下のとおりです。

最後に、因果関係を適用すると、最終的なボンドグラフは以下のようになります。

状態方程式

ボンドグラフが完成すると、それを利用してシステムのステート空間表現方程式を生成できます。ステート空間表現は、複雑な多階微分システムを1階方程式のシステムとして解くことができるため、特に強力です。ステート方程式の一般形は次のとおりです。 ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ どこ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ は、状態変数、つまりシステムの未知数を表す列行列です。 ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ これは状態変数の時間微分です。 ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ はシステムの入力の列行列です。 ${\textstyle \mathbf {A} }$ そして ${\textstyle \mathbf {B} }$ システムに基づく定数行列です。システムの変数は ${\textstyle q(t)}$ そして ${\textstyle p(t)}$ 因果関係の衝突がない各 C および I 結合の値。各 I 結合には、 ${\textstyle p(t)}$ 各C結合は ${\textstyle q(t)}$ 。

例えば、次のような結合グラフがある場合

次のようなものになるでしょう ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ 、 ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ 、そして ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ 行列:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}$

行列 ${\textstyle \mathbf {A} }$ そして ${\textstyle \mathbf {B} }$ 状態方程式は、状態の四面体で説明したように、状態変数とその各要素の関係を決定することによって解かれます。状態方程式を解く最初のステップは、結合グラフのすべての支配方程式をリストアップすることです。下の表は、結合とその支配方程式の関係を示しています。

「♦」は優先される因果関係を示す。

提供された例では、

支配方程式は以下のとおりです。

${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

これらの式を操作することで状態方程式が得られます。この例では、関係する方程式を見つけようとしています。 ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$ そして ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$ に関しては ${\textstyle p_{3}(t)}$ 、 ${\textstyle q_{6}(t)}$ 、そして ${\textstyle e_{1}(t)}$ 。

まず、状態の四面体から次のことを思い出すべきである。 ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$ 式2から始めて、それを次のように変形すると $e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}$ 。 $e_{2}$ 式4では、 $f_{2}$ に置き換えることができます $f_{3}$ 式3により、式5に置き換えることができる。 $e_{4}$ 同様に、式7を使用して置き換えることができ、 $e_{5}$ 置き換えることができます $e_{6}$ そして、これを式10に置き換えることができる。これらを代入すると、以下に示す最初の状態方程式が得られる。

${\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)$

第二の状態方程式も同様に解くことができる。 ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$ 第二の状態方程式を以下に示します。

${\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)$

両方の式はさらに行列形式に変形することができる。その結果は以下のとおりである。

${\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}$

この時点では、これらの方程式は他の状態空間表現問題と同様に扱うことができる。