カットオフ周波数

物理学および電気工学において、カットオフ周波数、コーナー周波数、またはブレーク周波数とは、システムの周波数応答における境界であり、その周波数ではシステムを流れるエネルギーが通過するのではなく、減少（減衰または反射）し始めます。

通常、フィルターや通信チャネルなどの電子システムでは、カットオフ周波数は、ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップ特性のエッジ、つまり通過帯域と阻止帯域の境界を特徴付ける周波数に適用されます。これは、たとえば半値ポイント(回路の出力が公称通過帯域値の約 -3.01  dBになる周波数) によって定義されるように、フィルター応答内で遷移帯域と通過帯域が交わるポイントと見なされることがあります。あるいは、阻止帯域コーナー周波数は、遷移帯域と阻止帯域が交わるポイント、つまり減衰が必要な阻止帯域減衰よりも大きい周波数 (たとえば 30 dB または 100 dB) として指定されることもあります。

導波管またはアンテナの場合、カットオフ周波数は下限カットオフ波長と上限カットオフ波長に対応します。

電子工学において、カットオフ周波数またはコーナー周波数とは、ライン、増幅器、電子フィルタなどの回路の出力電力が通過帯域の電力の所定の割合まで低下する周波数のことです。最も一般的にはこの割合は通過帯域電力の半分であり、3 dB の低下がほぼ半分の電力に相当するため、3  dBポイントとも呼ばれます。電圧比としては、通過帯域電圧の低下です。 ^[1] 3 dB ポイント以外の比率も関係する場合があります。たとえば、以下の § チェビシェフ フィルタを参照してください。遷移帯域のカットオフ周波数から離れた場所では、周波数の対数に対する減衰 (ロールオフ) の増加率は定数に漸近します。1次ネットワークの場合、ロールオフは 1デケードあたり -20 dB (オクターブあたり約 -6 dB ) です。 ${\textstyle {\sqrt {1/2}}\ \approx \ 0.707}$

最も単純なローパスフィルタの伝達関数は、s = −1/ αに 単一の極を持ちます。この関数のjω平面における大きさは、 $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},}$$$${\displaystyle \left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.}$$

カットオフ時 $${\displaystyle \left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.}$$

したがって、カットオフ周波数は次のように表される。 $${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.}$$

ここで、sはs 平面変数、ωは角周波数、j は虚数単位です。

3 dB ポイントよりも他の比率の方が便利な場合もあります。たとえば、チェビシェフ フィルタの場合、カットオフ周波数は、周波数応答の最後のピークの後の、レベルが通過帯域リップルの設計値まで低下したポイントとして定義するのが一般的です。このクラスのフィルタのリップルの量は、設計者が任意の値に設定できるため、使用される比率は任意の値になります。^[2]

無線通信において、スカイウェーブ通信は、電波を斜めに上空に送信し、電離層の荷電粒子の層によって地球に反射させる技術です。この文脈では、カットオフ周波数という用語は、使用可能な最大周波数、つまり、この周波数を超えると、電離層からの反射によって指定された 2 点間の伝送に必要な入射角で電波が電離層から反射できなくなる周波数 を指します。

電磁導波管のカットオフ周波数は、モードがその中で伝搬する最低周波数です。光ファイバーでは、光ファイバーまたは導波管で伝搬する最大波長であるカットオフ波長を考慮するのが一般的です。カットオフ周波数は、電磁波のヘルムホルツ方程式の特性方程式で求められます。この方程式は、縦波数をゼロに設定し、周波数について解くことで電磁波方程式から導出されます。したがって、カットオフ周波数よりも低い励起周波数は、伝搬するのではなく減衰します。次の導出では、損失のない壁を前提としています。光速 c の値は、導波管を満たす材料が何であれ、その中の光の群速度と見なす必要があります。

長方形導波管の場合、カットオフ周波数は で、 は長方形の辺の長さとのモード番号です。 TE モードの場合は（ただし は許可されません）ですが、 TM モードの場合は です。 $${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}},}$$${\displaystyle m,n\geq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m,n\geq 0}$${\displaystyle m=n=0}$${\displaystyle m,n\geq 1}$

円形断面の導波管（角度依存性がなく、半径依存性が最も低い横方向磁気モード）における TM _{01モード（主要モード TE 11}の次に高いモード）のカットオフ周波数は、次のように与えられます。 ここで、は導波管の半径、 は 1 次第 1 種の ベッセル関数の 1 次根です。$${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \chi_{01}}$${\displaystyle J_{0}(r)}$

_{TE 11}の支配モードのカットオフ周波数は^[3]で与えられる。 $${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}}$$

しかし、円形断面導波管内にバッフルを導入することで、主モードのカットオフ周波数を下げることができます。^[4]シングルモード光ファイバーの場合、カットオフ波長は正規化周波数が約2.405に等しい波長です。

出発点は波動方程式（マクスウェル方程式から導出される）であり、 これは形式の関数のみを考慮することで ヘルムホルツ方程式になる 。時間微分を代入して評価すると、次の式が得られる。 ここでの 関数は、縦方向にベクトル成分を持たないフィールド（電場または磁場）、「横」フィールドを指す。2 つのフィールドのうち少なくとも 1 つが横方向であることが、電磁導波管のすべての固有モードの特性である。z軸は、導波管の軸に沿うように定義される。 $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}$$$${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.}$$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.}$$${\displaystyle \psi}$

ラプラシアンの「縦」導関数は、の形式の関数のみを考慮することでさらに簡約できます 。ここで、 は縦波数 であり、 となります 。ここで 、下付き文字 T は 2 次元横ラプラシアンを示します。最終ステップは、導波管の形状によって異なります。最も簡単に解ける形状は、長方形導波管です。その場合、ラプラシアンの残りは、 の形式の解を考慮することで、その特性方程式に評価できます。 したがって、長方形導波管の場合、ラプラシアンが評価され、 になります。 横波数は、寸法aおよびb の長方形形状断面の定在波境界条件から指定できます。 ここで、nおよびm は、特定の固有モードを表す 2 つの整数です。最後の代入を実行すると、 が得られます 。これは、長方形導波管の分散関係 です。カットオフ周波数は、伝搬と減衰の間の臨界周波数で、縦波数がゼロになる周波数に対応します。これは、 で与えられます 。波動方程式は、縦波数が虚数であるカットオフ周波数以下でも有効です。この場合、場は導波軸に沿って指数関数的に減衰し、波はエバネッセントになります。 $${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}$$${\displaystyle k_{z}}$$${\displaystyle \left(\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0,}$$$${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.}$$$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}$$$${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}$$ $${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}$$$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},}$$${\displaystyle \omega_{c}}$${\displaystyle k_{z}}$$${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}$$

• 最大半値で全幅
• ハイパスフィルタ
• ミラー効果
• 空間カットオフ周波数（光学システム）
• 時間定数

• 幾何平均による中心周波数の計算と算術平均解との比較
• カットオフ周波数fcと時定数τの変換
• ベッセル関数の数学的定義と情報