マルチモーダル流通

統計学では、多峰性 分布とは、複数のモード（つまり、分布の複数の局所ピーク）を持つ確率分布のことです。これらは、図 1 および 2 に示すように、確率密度関数で明確なピーク（局所最大値）として現れます。カテゴリ、連続、離散データはすべて、多峰性分布を形成できます。単変量解析では、多峰性分布は一般に二峰性です。^{[引用が必要]}

2 つのモードが等しくない場合、大きい方のモードは主モード、もう 1 つは副モードと呼ばれます。モード間の最も頻度の低い値は反モードと呼ばれます。主モードと副モードの差は振幅と呼ばれます。時系列では、主モードはアクロフェーズ、反モードはバティフェーズと呼ばれます。^{[引用が必要]}

ガルトゥングは分布の分類システム（AJUS）を導入した：^[1]

• A: 単峰性分布 – 中央にピークがある
• J: 単峰性 – どちらかの端にピークがある
• U: 双峰性 – 両端にピークがある
• S: 二峰性または多峰性 - 複数のピーク

この分類はその後若干変更されました。

• J: (修正) – 右側のピーク
• L: 単峰性 – 左にピークがある
• F: ピークなし（平坦）

この分類では、二峰性分布は S タイプまたは U タイプに分類されます。

二峰性分布は数学と自然科学の両方で発生します。

重要な二峰性分布には、逆正弦分布とベータ分布（パラメータaとb の両方が 1 未満の場合）が含まれます。その他には、U 二次分布が含まれます。

2つの正規分布の比も二峰性分布となる。

${\displaystyle R={\frac {a+x}{b+y}}}$

ここでaとbは定数であり、xとyは平均0、標準偏差1の正規分布に従う。Rは既知の密度を持ち、合流型超幾何関数として表現できる。^[2]

t分布するランダム変数の逆数の分布は、自由度が 1 を超える場合、双峰性分布になります。同様に、正規分布する変数の逆数も双峰性分布になります。

コーシー分布から抽出されたデータセットから生成されたt統計量は二峰性である。^[3]

二峰性分布を持つ変数の例には、特定の間欠泉の噴出間隔、銀河の色、働きアリの大きさ、ホジキンリンパ腫の発症年齢、米国成人におけるイソニアジドという薬剤の不活性化速度、新星の絶対等級、朝と夕方の薄明りの両方で活動する薄明薄暮性動物の概日活動パターンなどがあります。水産科学では、多峰性の長さ分布は異なる年群を反映しているため、魚類個体群の年齢分布と成長の推定に使用できます。^[4]堆積物は通常、二峰性に分布しています。母岩と鉱化脈のいずれかを横切る採鉱坑道のサンプルを採取する場合、地球化学的変数の分布は二峰性になります。二峰性分布は交通分析でも見られ、交通量は午前のラッシュアワーにピークを迎え、その後午後のラッシュアワーに再びピークを迎えます。この現象は日常の給水にも見られ、シャワー、調理、トイレの使用といった形での水需要は一般的に朝と夕方にピークを迎えます。

計量経済モデルでは、パラメータは二峰性分布することがある。^[5]

双峰分布は、通常、2 つの異なる単峰分布 (つまり、モードが 1 つだけの分布) の混合として発生します。言い換えると、双峰分布のランダム変数 X は、確率または確率として定義されます。ここで、 YとZ は単峰ランダム変数であり、 は混合係数です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (1-\alpha ),}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$

2 つの異なる成分の混合物は双峰性である必要はなく、単峰性の成分密度の 2 つの成分混合物は 2 つ以上のモードを持つことができます。混合物の成分数と結果として生じる密度のモード数の間には直接的な関係はありません。

二峰性分布は、データセットに頻繁に出現するにもかかわらず、ほとんど研究されていません^[要出典]。これは、頻度論的またはベイズ的方法のいずれでもパラメータを推定することが困難であるためと考えられます。研究されているものには、

• 二峰性指数分布^[6]
• アルファスキュー正規分布。^[7]
• 二峰性歪対称正規分布。^[8]
• コンウェイ・マクスウェル・ポアソン分布の混合が二峰性カウントデータに適合されている。^[9]

カスプカタストロフィー分布でも二峰性は自然に生じます。

生物学では、個体群サイズの二峰性分布に寄与する5つの要因が知られています^[要出典]：

• 個々のサイズの初期分布
• 個体間の成長率の分布
• 各個体の成長率の大きさと時間依存性
• 死亡率はサイズクラスごとに異なる影響を与える可能性がある
• ヒトとマウスのゲノムにおける DNA メチル化。

ウィーバーアリの働きアリの大きさの二峰性分布は、主要働きアリとマイナー働きアリという2つの異なる働きアリのクラスが存在することによって生じます。^[10]

全ゲノム^{[11] [12]}と個々の遺伝子^[13]の両方に対する突然変異の適応度効果の分布も、二峰性であることがよく見られ、ほとんどの突然変異は中立または致死的であり、中間の効果を持つ突然変異は比較的少数です。

平均値が異なる2つの単峰性分布の混合は、必ずしも二峰性であるとは限りません。男性と女性の身長の分布を組み合わせたものが二峰性分布の例として使われることもありますが、実際には男性と女性の平均身長の差は標準偏差に比べて小さすぎるため、2つの分布曲線を組み合わせても二峰性は生まれません。^[14]

双峰分布は、単峰分布とは異なり、平均値が中央値よりも堅牢なサンプル推定値になる可能性があるという特異な性質を持っています。^[15]これは、分布がアークサイン分布のようなU字型である場合に明らかに当てはまります。分布に1つ以上の長い裾がある場合は当てはまらない可能性があります。

させて

${\displaystyle f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,}$

ここで、g _{i は}確率分布であり、p は混合パラメータです。

f ( x )のモーメントは^[16]

${\displaystyle \mu =p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}}$

${\displaystyle \nu _{2}=p[\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{2}]+(1-p)[\sigma _{2}^{2 }+\デルタ _{2}^{2}]}$

${\displaystyle \nu _{3}=p[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}]+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{3}]}$

${\displaystyle \nu _{4}=p[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\デルタ _{1}^{2}\シグマ _{1}^{2}+\デルタ_{1}^{4}]+(1-p)[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3 }+6\デルタ _{2}^{2}\シグマ _{2}^{2}+\デルタ _{2}^{4}]}$

どこ

${\displaystyle \mu =\int xf(x)\,dx}$

${\displaystyle \delta_{i}=\mu_{i}-\mu}$

${\displaystyle \nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx}$

S _iとK _{i は}それぞれi^番目の分布の歪度と尖度です。

データが2つの正規分布の混合から得られたものであると研究者が信じる状況に遭遇することは珍しくありません。このため、この混合は詳細に研究されてきました。^[17]

2つの正規分布の混合には、2つの平均、2つの分散、混合パラメータの5つのパラメータを推定する必要があります。標準偏差が等しい2つの正規分布の混合は、それらの平均が共通標準偏差の少なくとも2倍異なる場合にのみ二峰性になります。^[14]分散が等しいと仮定できる場合（等分散の場合）は、パラメータの推定が簡素化されます。

2つの正規分布の平均が等しい場合、結合した分布は単峰性です。結合した分布の単峰性の条件はアイゼンバーガーによって導き出されました。^[18]正規分布の混合が二峰性になるための必要十分条件はレイとリンゼイによって特定されました。^[19]

質量がほぼ等しい 2 つの正規分布の混合では、質量中心の両側にある 2 つのモードによって分布の裾が効果的に縮小されるため、尖度は負になります。

質量が大きく異なる 2 つの正規分布の混合では、より小さな分布によって、より支配的な正規分布の裾が長くなるため、尖度は正になります。

他の分布の混合では、推定するために追加のパラメータが必要になります。

• 混合成分の分散が等しい場合、混合が単峰性_となるのは、^[20] またはpが混合パラメータであり、μ1と_μ2が2つの正規分布の平均であり、σがそれらの標準偏差である場合に限ります。$${\displaystyle d\leq 1}$$$${\displaystyle \left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},}$$$${\displaystyle d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},}$$
• p = 1/2の場合の次の検定は、 Schillingら^[14]によって記述されている。分離係数（S）は、分散が等しい場合、S = 1である。混合密度が単峰性である場合、そしてその場合のみ、$${\displaystyle r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.}$$$${\displaystyle S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2(1-r+r^{2})^{1.5}}}{{\ sqrt {r}}(1+{\sqrt {r}})}}$$$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.}$$
• 単峰性の十分条件は^[21]$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).}$$
• 2つの正規分布の標準偏差が等しい場合、単峰性を示すための十分な条件は^{[21]である。}${\displaystyle \sigma ,}$$${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {|\log p-\ln(1-p)|}{2}}}}.}$$

双峰分布は、平均値、中央値、標準偏差などの要約統計量が任意の分布で使用された場合、誤解を招く可能性があることを示す一般的な例です。たとえば、図 1 の分布では、ゼロは一般的な値ではありませんが、平均値と中央値はほぼゼロになります。標準偏差も、各正規分布の偏差よりも大きくなっています。

いくつか提案されていますが、一般的な二峰性分布のパラメータを定量化するための、一般的に同意されている要約統計量 (または統計量セット) は現在ありません。2 つの正規分布の混合の場合、平均と標準偏差に加えて混合パラメータ (組み合わせの重み) が通常使用されます (合計 5 つのパラメータ)。

役に立つかもしれない統計はアシュマンのDである: ^[22]

${\displaystyle D={\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {2(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}$

ここで、μ ₁、μ ₂は平均、σ ₁、σ _{2 は}標準偏差です。

2 つの正規分布が混在する場合、分布を明確に分離するには D > 2 が必要です。

この尺度は、頻度分布の一致度の加重平均である。^[23] Aの範囲は-1（完全な二峰性）から+1（完全な単峰性）である。次のように定義される。

${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$

ここで、Uは分布の単峰性、S は非ゼロ頻度を持つカテゴリの数、K はカテゴリの総数です。

分布が次の 3 つの特性のいずれかを持つ場合、U の値は 1 になります。

• すべての回答は単一のカテゴリに属します
• 回答はすべてのカテゴリーに均等に分布している
• 回答は2つ以上の連続したカテゴリに均等に分散され、他のカテゴリには回答がゼロである

これら以外の分布では、データを「層」に分割する必要があります。層内では、応答は等しいかゼロです。カテゴリは連続している必要はありません。各層のAの値 ( A _i ) が計算され、分布の加重平均が決定されます。各層の重み ( w _i ) は、その層の応答の数です。記号では

${\displaystyle A_{\text{全体}}=\sum _{i}w_{i}A_{i}}$

一様分布ではA = 0です。すべての応答が 1 つのカテゴリに分類される場合はA = +1 です。

この指標の理論的な問題点の 1 つは、間隔が等間隔であると想定していることです。これにより、適用範囲が制限される可能性があります。

この指標は、分布が平均（μ ₁とμ ₂）と標準偏差（σ ₁とσ ₂）を持つ2つの正規分布の混合であると仮定している：^[24]

${\displaystyle S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}}$

サールの二峰性係数bは^[25]

${\displaystyle \beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}}$

ここで、γは歪度、κは尖度です。尖度は、平均値の周りの標準化された4次モーメントとして定義されます。bの値は0と1の間です。^[26]この係数の背後にある論理は、軽い裾を持つ二峰性分布は、尖度が非常に低いか、非対称な特徴、またはその両方を持ち、これらすべてがこの係数を増加させるというものです。

有限サンプルの式は^{[27]である。}

${\displaystyle b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}}$

ここで、nはサンプル内の項目数、gはサンプル歪度、k はサンプル過剰尖度です。

一様分布のbの値は5/9です。これは指数分布の値でもあります。5/9より大きい値は二峰性分布または多峰性分布を示している可能性がありますが、対応する値は大きく歪んだ単峰性分布でも発生する可能性があります。^[28]最大値（1.0）に達するのは、 2つの異なる値のみを持つベルヌーイ分布、または2つの異なるディラックデルタ関数の合計（双デルタ分布）の場合のみです。

この統計の分布は不明です。これは、ピアソンが以前に提案した統計、つまり尖度と歪度の二乗の差に関連しています (下記参照)。

これは次のように定義される^[24]

${\displaystyle A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}}$

ここで、A _{1 は}小さい方のピークの振幅であり、A _{an は}反モードの振幅です。

A _{B は}常に < 1 です。値が大きいほど、ピークが明確になります。

これは左ピークと右ピークの比率です。^[24]数学的には

${\displaystyle R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}}$

ここで、A _lとA _{r は}それぞれ左ピークと右ピークの振幅です。

このパラメータ（B）はウィルコックによるものである。^[29]

${\displaystyle B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum P_{i}}$

ここで、A _lとA _{r はそれぞれ左ピークと右ピーク}の振幅であり、P _{i は}^i番目の間隔における分布の割合の 2 を底とする対数です。ΣP の最大値は1 ですが、 Bの値はこれよりも大きくなる場合があります。

この指標を使用するには、値の対数が取られます。次に、データは値が log 2 である幅 Φ の間隔に分割されます。ピークの幅は、最大値を中心に 1/4Φ の 4 倍になります。

王の指数

王らが提案した二峰性指数は、分布が等しい分散を持ち平均が異なる2つの正規分布の合計であると仮定している。^[30]それは次のように定義される。

${\displaystyle \delta ={\frac {|\mu _{1}-\mu _{2}|}{\sigma }}}$

ここで、μ ₁、μ _{2 は}平均であり、σ は共通標準偏差です。

${\displaystyle BI=\delta {\sqrt {p(1-p)}}}$

ここでpは混合パラメータです。

スターロック指数

スターロックは異なる二峰性指標を提案した。^[31]

この指標（B）は次のように定義される。

${\displaystyle B={\frac {1}{N}}\left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\gamma )\right)^{2}+\left(\sum _{1}^{N}\sin(2\pi m\gamma )\right)^{2}\right]}$

m = 2でγが均一分布する場合、 Bは指数分布する。^[32]

この統計は、ピリオドグラムの一種です。この統計形式に共通する推定とスペクトル漏れの通常の問題を抱えています。

de MicheleとAccatinoのインデックス

別の二峰性指標は、デ・ミケーレとアッカティーノによって提案されている。^[33]彼らの指標（B）は

${\displaystyle B=|\mu -\mu _{M}|}$

ここでμはサンプルの算術平均であり、

${\displaystyle \mu_{M}={\frac {\sum_{i=1}^{L}m_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{L}m_{i}}}}$

ここで、m _iはi^番目のビンのデータポイントの数、x _iはi^番目のビンの中心、L はビンの数です。

著者らは、二峰性分布 ( B > 0.1) と単峰性分布 ( B < 0.1) を区別するために、 Bのカットオフ値 0.1 を提案しました。この値に対する統計的根拠は示されていません。

サムブルック・スミスのインデックス

さらなる指標（B ）はサムブルック・スミスらによって提案されている^[34]

$${\displaystyle B=|\phi _{2}-\phi _{1}|{\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$$

ここで、p ₁とp _{2 は}、主モード（振幅が大きいモード）と副モード（振幅が小さいモード）に含まれる割合であり、φ ₁とφ _{2 は}、主モードと副モードのφサイズです。 φサイズは、データ サイズの対数を 2 を底としてマイナス 1 倍したものとして定義されます。 この変換は、堆積物の研究でよく使用されます。

著者らは、B が双峰分布の場合は 1.5 より大きく、単峰分布の場合は 1.5 未満となるカットオフ値を 1.5 にすることを推奨しました。この値の統計的根拠は示されていません。

大津法

2つのモードを分離するための閾値を見つけるための 大津の方法は、量を最小化することに依存しています。 ここで、 n _iはi^番目のサブポピュレーションのデータポイントの数、σ _i ^2はi^番目のサブポピュレーションの分散、mはサンプルの合計サイズ、σ ^{2はサンプル分散です。一部の研究者（特に}デジタル画像処理の分野）は、この量をバイモーダル性を検出するための指標としてより広く適用しており、値が小さいほどバイモーダルな分布であることを示しています。^[35]$${\displaystyle {\frac {n_{1}\sigma _{1}^{2}+n_{2}\sigma _{2}^{2}}{m\sigma ^{2}}}}$$

データ セットがバイモーダル (またはマルチモーダル) 形式で分布しているかどうかを判断するためのテストは多数あります。

堆積物の研究では、粒子サイズはしばしば二峰性を示します。経験的に、頻度を粒子のlog(サイズ)に対してプロットすると便利であることがわかっています。^{[36] [37]}これにより、通常、粒子が二峰性分布に明確に分離されます。地質学の用途では、対数は通常2を底とします。対数変換された値はファイ(Φ)単位と呼ばれます。このシステムは、クルムバイン(またはファイ)スケールとして知られています。

別の方法としては、累積頻度に対して粒子サイズの対数をプロットする方法があります。このグラフは通常、2 本の比較的直線的な線と、その接続線が反モードに対応して構成されます。

統計

いくつかの統計量の近似値はグラフから得ることができる。^[36]

${\displaystyle {\mathit {平均}}={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}}$

${\displaystyle {\mathit {StdDev}}={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}}$

${\displaystyle {\mathit {Skew}}={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}}$

${\displaystyle {\mathit {Kurt}}={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}}$

ここで、Meanは平均、StdDevは標準偏差、Skewは歪度、Kurtは尖度、φ _{x は}分布の x^番目のパーセンテージにおける変量φの値です。

ピアソンは1894年に、分布が2つの正規分布に分解できるかどうかをテストする手順を考案した最初の人物でした。^{[38]この方法では、9次の}多項式の解が必要でした。その後の論文で、ピアソンは、分布の歪度が² + 1 < 尖度であると報告しました。^[26]その後、ピアソンは次のことを示しました。^[39]

${\displaystyle b_{2}-b_{1}\geq 1}$

ここで、b ₂は尖度、b _{1 は}歪度の二乗です。等式は、2 点ベルヌーイ分布または 2 つの異なるディラック デルタ関数の和の場合にのみ成立します。これらは、考えられる最も極端な二峰性の例です。どちらの場合も尖度は 1 です。どちらも対称なので、歪度は 0、差は 1 です。

ベイカーは二峰性分布を単峰性分布に変換する変換を提案した。^[40]

単峰性検定と二峰性検定はいくつか提案されている。ハルデンは第二中心差異に基づく検定を提案した。^[41]ラーキンは後にF検定に基づく検定を導入した。 ^[42]ベネットはフィッシャーのG検定に基づく検定を作成した。^[43]トケシは第四の検定を提案した。^{[44] [45]}ホルツマンとフォルマーは尤度比に基づく検定を提案した。^[20]

スコアとワルド検定に基づく方法が提案されている。^[46]この方法は、基礎となる分布がわかっている場合に、単峰性分布と双峰性分布を区別することができる。

反モードの統計的検定は知られている。^[47]

大津法

大津法は、2 つの分布間の最適な分離を決定するためにコンピュータ グラフィックスでよく使用されます。

分布が単峰性以外であるかどうかをテストするために、帯域幅テスト、^[48]、ディップテスト、^[49]、過剰質量テスト、^[50]、 MAPテスト、^[51]、モード存在テスト、^[52]、ラントテスト、^{[53]、[54]、}スパンテスト、^[55]、サドルテストなど、いくつかの追加テストが考案されています。

ディップ検定の実装はRプログラミング言語で利用可能です。^[56]ディップ統計値のp値は0から1の範囲です。0.05未満のp値は有意なマルチモーダル性を示し、0.05より大きく0.10未満のp値は限界有意性を伴うマルチモーダル性を示唆します。^[57]

シルバーマンはモードの数を調べるためのブートストラップ法を導入した。^[48]このテストでは固定帯域幅を使用するため、テストのパワーと解釈可能性が低下する。平滑化された密度では、ブートストラップ中にカウントが不安定になるモードが多すぎる可能性がある。

BajgierとAggarwalは分布の尖度に基づいた検定を提案した。^[58]

いくつかの特殊なケースでは追加のテストが利用可能です:

2つの正規分布の混合

2つの正規分布データの混合密度の研究では、平均値が4～6標準偏差離れていない限り、2つの正規分布への分離は困難であることが判明しました。^[59]

天文学では、カーネル平均マッチング アルゴリズムを使用して、データ セットが単一の正規分布に属するか、2 つの正規分布の混合に属するかを決定します。

ベータ正規分布

この分布は、パラメータの特定の値に対して二峰性を示す。これらの値に対する検定法が説明されている。^[60]

分布が二峰性であることがわかっているか、または上記の 1 つ以上のテストによって二峰性であることが示されていると仮定すると、データに曲線を当てはめることがしばしば望ましいですが、これは難しい場合があります。

難しいケースではベイ​​ズ法が役に立つかもしれません。

2つの正規分布

R用のパッケージは、二峰性の検定に利用できます。^[61]このパッケージは、データが2つの正規分布の合計として分布していると仮定しています。この仮定が正しくない場合、結果は信頼できない可能性があります。また、2つの正規分布の合計をデータに適合させる関数も含まれています。

分布が2つの正規分布の混合であると仮定すると、期待最大化アルゴリズムを使用してパラメータを決定することができます。これには、Cluster、^[62]やRパッケージnor1mixなど、いくつかのプログラムが利用可能です。^[63]

その他のディストリビューション

Rで利用可能なmixtoolsパッケージは、さまざまな分布のパラメータをテストし、推定することができます。^[64] 2つの右側ガンマ分布の混合パッケージも利用可能です。^[65]

混合モデルを適合するためのR用パッケージは他にもいくつかあり、flexmix、^[66] mcclust、^[67] agrmt、^[68] mixdistなどがある。^[69]

統計プログラミング言語SAS は、 PROC FREQ プロシージャを使用してさまざまな混合分布を適合させることもできます。

Pythonでは、 Scikit-learnパッケージに混合モデリングのためのツールが含まれています^[70]

複合確率分布をデータセット（X）に当てはめるCumFreqA ^{[71]プログラムは、データセットを異なる分布を持つ2つの部分に分割することができます。図は、累積分布関数（CDF）方程式による}分布フィッティングにおける二重一般化ミラーリングGumbel分布の例を示しています。

X < 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(0.092X ^ 0.01+935)}]
X > 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(-0.0039X ^ 2.79+1.05)}]

• 過剰分散
• 混合モデル- ガウス混合モデル (GMM)
• 混合分布