G検定

統計学において、G検定は尤度比検定または最大尤度 統計的有意性検定であり、以前はカイ二乗検定が推奨されていた状況でますます使用されるようになっています。^[1]

Gの一般式は

${\displaystyle G=2\sum _{i}{O_{i}\cdot \ln \left({\frac {O_{i}}{E_{i}}}\right)},}$

ここで、はセル内の観測カウント、は帰無仮説の下での期待カウント、は自然対数を表し、合計は空でないすべてのセルに対して行われます。結果はカイ二乗分布 になります。 ${\textstyle O_{i}\geq 0}$${\textstyle E_{i}>0}$${\textstyle \ln }$${\textstyle G}$

さらに、観測された総数は期待される総数と等しくなければなりません。ここで、は観測の総数です。 $${\displaystyle \sum _{i}O_{i}=\sum _{i}E_{i}=N}$$${\textstyle N}$

基礎モデルが多項式モデルである場合、 対数尤度比検定からG検定の値を導き出すことができます。

それぞれの が、タイプのオブジェクトが観測された回数であるサンプルがあるとします。さらに、 が観測されたオブジェクトの合計数であるとします。基礎モデルが多項式であると仮定すると、検定統計量は によって定義されます。ここで、は帰無仮説、 はデータが与えられたパラメータの最大尤度推定値(MLE)です。多項式モデルの場合、あるデータが与えられた場合の の MLE はによって定義されることを思い出してください。さらに、各帰無仮説パラメータをとして表すことができます。したがって、との表現を対数尤度比に代入すると、式は に簡略化されます。変数を および で再ラベル付けします。最後に、 の係数(G 検定式をピアソンのカイ 2 乗検定式と漸近的に等しくするために使用) を で乗算して、次の形式を実現します。 ${\textstyle x=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$${\textstyle x_{i}}$${\textstyle i}$${\textstyle n=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}$$${\displaystyle \ln \left({\frac {L({\tilde {\theta }}|x)}{L({\hat {\theta }}|x)}}\right)=\ln \left({\frac {\prod _{i=1}^{m}{\tilde {\theta }}_{i}^{x_{i}}}{\prod _{i=1}^{m}{\hat {\theta }}_{i}^{x_{i}}}}\right)}$$${\textstyle {\チルダ {\theta }}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\textstyle {\hat {\theta }}_{i}}$$${\displaystyle {\hat {\theta }}_{i}={\frac {x_{i}}{n}}}$$${\displaystyle {\tilde {\theta }}_{i}}$$${\displaystyle {\tilde {\theta }}_{i}={\frac {e_{i}}{n}}}$$${\textstyle {\チルダ {\theta }}}$${\textstyle {\hat {\theta }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {L({\tilde {\theta }}|x)}{L({\hat {\theta }}|x)}}\right)&=\ln \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {e_{i}}{x_{i}}}\right)^{x_{i}}\\&=\sum _{i=1}^{m}x_{i}\ln \left({\frac {e_{i}}{x_{i}}}\right)\\\end{aligned}}}$$${\textstyle e_{i}}$${\textstyle E_{i}}$${\textstyle x_{i}}$${\textstyle O_{i}}$${\textstyle -2}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}G&=&\;-2\sum _{i=1}^{m}O_{i}\ln \left({\frac {E_{i}}{O_{i}}}\right)\\&=&2\sum _{i=1}^{m}O_{i}\ln \left({\frac {O_{i}}{E_{i}}}\right)\end{alignedat}}}$

経験的に、連続的かつゼロに近づくと想像することができ、その場合、ゼロの観測値を持つ項は単純に削除することができます。ただし、この方法を適用するには、各セルの期待カウントが各セル ( ) に対して厳密にゼロより大きくなければなりません。 ${\displaystyle ~O_{i}~}$${\displaystyle ~O_{i}\ln O_{i}\to 0~,}$${\displaystyle ~E_{i}>0~\forall \,i~}$

観測された頻度は、与えられた期待頻度を持つ分布からのランダムサンプリングによって得られるという帰無仮説が与えられると、Gの分布は、対応するカイ二乗検定と同じ数の自由度を持つカイ二乗分布に近似します。

非常に小さなサンプルの場合、G検定よりも、適合度の多項式検定、分割表のフィッシャーの正確検定、あるいはベイズ仮説選択の方が適しています。^[2]マクドナルドは、サンプルの総数が1000未満の場合は、常に正確検定（適合度の正確検定、フィッシャーの正確検定）を使用することを推奨しています。

1,000 というサンプル サイズには何ら不思議な意味はなく、正確検定、カイ二乗検定、G検定でほぼ同一のp値が得られる範囲内にあるちょうどよい丸い数字というだけです 。スプレッドシート、Web ページ計算機、SASでは、1,000 というサンプル サイズで正確検定を実行しても問題はありません。

— ジョン・H・マクドナルド^[2]

G検定は、少なくともロバート・R・ソーカルとF・ジェームズ・ロルフによる統計学の教科書『バイオメトリクス』の1981年版以来推奨されている。^[3]

分布への適合度や分割表における独立性を調べるために一般的に使用されるカイ2乗検定は、実際にはG検定の基礎となる対数尤度比の近似値である。^[4]

ピアソンのカイ二乗検定統計量の一般的な式は

${\displaystyle \chi^{2}=\sum_{i}{\frac{\left(O_{i}-E_{i}\right)^{2}}{E_{i}}}~.}$

Gのカイ二乗による近似値は、1 付近の自然対数の2 次テイラー展開によって得られます (下記の「導出 (カイ二乗)」を参照)。観測カウントが期待カウントに近い場合、次の式が得られます。ただし、この差が大きい場合、近似値は崩れ始めます。ここでは、データ内の外れ値の影響がより顕著になり、これが、データが少ない状況でテストが失敗する理由を説明しています。 ${\displaystyle G\approx \chi ^{2}}$${\displaystyle ~O_{i}~}$${\displaystyle ~E_{i}~.}$${\displaystyle ~\chi ^{2}~}$${\displaystyle ~\chi ^{2}~}$

適度な大きさのサンプルであれば、G検定とカイ二乗検定は同じ結論に至ります。しかし、G検定の理論的なカイ二乗分布への近似値は、ピアソンのカイ二乗検定よりも優れています。^[5]セルのケースによっては、G検定がカイ二乗検定よりも常に優れている場合があります。^[要出典]${\displaystyle ~O_{i}>2\cdot E_{i}~}$

適合度を検定する場合、G検定はバハドゥールの意味ではカイ二乗検定よりはるかに効率的であるが、ピットマンの意味やホッジスとレーマンの意味では2つの検定は同等に効率的である。 ^{[6] [7]}

考慮する

${\displaystyle G=2\sum _{i}{O_{i}\ln \left({\frac {O_{i}}{E_{i}}}\right)}~,}$

をとすると、カウントの総数は同じままです。代入すると、 ${\displaystyle O_{i}=E_{i}+\delta _{i}}$${\displaystyle \sum _{i}\delta _{i}=0~,}$

${\displaystyle G=2\sum _{i}{(E_{i}+\delta _{i})\ln \left(1+{\frac {\delta _{i}}{E_{i}}}\right)}~.}$

の周りのテイラー展開は、を使って実行できる。結果は次のようになる。 ${\displaystyle 1+{\frac {\delta _{i}}{E_{i}}}}$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\mathcal {O}}(x^{3})}$

${\displaystyle G=2\sum _{i}(E_{i}+\delta _{i})\left({\frac {\delta _{i}}{E_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\delta _{i}^{2}}{E_{i}^{2}}}+{\mathcal {O}}\left(\delta _{i}^{3}\right)\right)~,}$そして、見つけた用語を分配すると、

${\displaystyle G=2\sum _{i}\delta _{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\delta _{i}^{2}}{E_{i}}}+{\mathcal {O}}\left(\delta _{i}^{3}\right)~.}$

さて、事実とを使って、結果を書きます。 ${\displaystyle ~\sum _{i}\delta _{i}=0~}$${\displaystyle ~\delta _{i}=O_{i}-E_{i}~,}$

${\displaystyle ~G\approx \sum _{i}{\frac {\left(O_{i}-E_{i}\right)^{2}}{E_{i}}}~.}$

G検定統計量は、理論分布と経験分布の Kullback-Leiblerダイバージェンスに比例します。

${\displaystyle {\begin{aligned}G&=2\sum _{i}{O_{i}\cdot \ln \left({\frac {O_{i}}{E_{i}}}\right)}=2N\sum _{i}{o_{i}\cdot \ln \left({\frac {o_{i}}{e_{i}}}\right)}\\&=2N\,D_{\mathrm {KL} }(o\|e),\end{aligned}}}$

ここで、N は観測の総数であり、および はそれぞれ経験的頻度と理論的な頻度です。 ${\displaystyle o_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

分割表の分析では、Gの値は相互情報量で表すこともできます。

させて

${\displaystyle N=\sum _{ij}{O_{ij}}\;}$、、、 そして。${\displaystyle \;\pi _{ij}={\frac {O_{ij}}{N}}\;}$${\displaystyle \;\pi _{i.}={\frac {\sum _{j}O_{ij}}{N}}\;}$${\displaystyle \;\pi _{.j}={\frac {\sum _{i}O_{ij}}{N}}\;}$

G はいくつかの代替形式で表現できます。

${\displaystyle G=2\cdot N\cdot \sum _{ij}{\pi _{ij}\left(\ln(\pi _{ij})-\ln(\pi _{i.})-\ln(\pi _{.j})\right)},}$

${\displaystyle G=2\cdot N\cdot \left[H(r)+H(c)-H(r,c)\right],}$

${\displaystyle G=2\cdot N\cdot \operatorname {MI} (r,c)\,,}$

ここで離散確率変数のエントロピーは次のように定義される。 ${\displaystyle X\,}$

${\displaystyle H(X)=-{\sum _{x\in {\text{Supp}}(X)}p(x)\log p(x)}\,,}$

そしてどこで

${\displaystyle \operatorname {MI} (r,c)=H(r)+H(c)-H(r,c)\,}$

分割表の 行ベクトルrと列ベクトルc間の相互情報量です。

^また、テキスト検索に一般的に使用される逆文書頻度重み付けは、クエリの行の合計がコーパスの残りの行の合計よりもはるかに小さい場合に適用される G の近似値であることが^示され^ています [ 引用が必要 ]。同様に、分割表のすべての行をまとめて単一の多項分布を選択した場合と、行ごとに個別の多項分布を選択した場合のベイズ推論の結果は、G統計量と非常によく似た結果になります^{[引用が必要]}。

• 統計遺伝学におけるマクドナルド・クライトマン検定は、 G検定の応用です。
• ダニング^[8]はこのテストを計算言語学のコミュニティに導入し、現在では広く使用されています。
• R-scapeプログラム（Rfamが使用）はG検定を使用してRNA配列アライメント位置間の共変動を検出します。^[9]

• Rでは、高速実装は AMR および Rfast パッケージで見つかります。AMR パッケージの場合、コマンドは で、これはベース R とg.testまったく同じように機能します。R には、Deducer パッケージの probably.test Archived 2013-12-16 at the Wayback Machine関数もあります。注意: R プログラミング言語の GeneCycle パッケージ( ) のFisher のG検定は、この記事で説明されているG検定を実装しているのではなく、時系列におけるガウス白色ノイズの Fisher の正確な検定を実装しています。^[10]chisq.testfisher.g.test
• G 統計量とそれに対応する p 値を計算する別のR実装は、R パッケージ entropy によって提供されます。コマンドは、Gstat標準 G 統計量とそれに対応する p 値用と、Gstatindep独立性をテストするために結合分布と積分布を比較するために適用される G 統計量用です。
• SASでは、の後にオプションを適用することでG検定を実施することができる。^[11]/chisqproc freq
• Stataでは、コマンドの後にオプションを適用することでG検定を実行できます。lrtabulate
• Javaでは を使用しますorg.apache.commons.math3.stat.inference.GTest。^[12]
• Pythonでは、scipy.stats.power_divergenceを使用しますlambda_=0。^[13]

• G2/対数尤度計算機