U-2次分布

U-2次関数

確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b:~b\in (a,\infty )}$ または ${\displaystyle \alpha :~\alpha \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \beta :~\beta \in (-\infty ,\infty ),}$
サポート	${\displaystyle x\in [a,b]\!}$
PDF	${\displaystyle \alpha \left(x-\beta \right)^{2}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}+(\beta -a)^{3}\right)}$
平均	${\displaystyle {a+b \over 2}}$
中央値	${\displaystyle {a+b \over 2}}$
モード	${\displaystyle a{\text{ and }}b}$
分散	${\displaystyle {3 \over 20}(b-a)^{2}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle {3 \over 112}(b-a)^{4}}$
エントロピ	未定
MGF の	テキストを参照
CF	テキストを参照

確率論と統計学において、U 二次分布は、下限がa、上限がbである一意の凸二次関数によって定義される連続確率分布です。

${\displaystyle f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in [a,b].}$

この分布には実質的に 2 つのパラメータa、bしかありません。他の 2 つは、前述の 2 つのパラメータによって定義されるサポートの明示的な関数です。

${\displaystyle \beta ={b+a \over 2}}$

（重力バランス中心、オフセット）、および

${\displaystyle \alpha ={12 \over \left(b-a\right)^{3}}}$

（垂直スケール）。

同様の方法で、垂直反転した ( )-二次分布を導入することができます。この反転分布は、エパネチニコフ分布とも密接に関連しています。 ${\displaystyle \cap }$

この分布は対称的な二峰性過程の有用なモデルです。他の連続分布では、U 二次分布で強制される対称性と密度関数の二次形状を緩和する点で、より柔軟性があります (ベータ分布やガンマ分布など) 。

${\displaystyle M_{X}(t)={-3\left(e^{at}(4+(a^{2}+2a(-2+b)+b^{2})t)-e^{bt}(4+(-4b+(a+b)^{2})t)\right) \over (a-b)^{3}t^{2}}}$

${\displaystyle \phi _{X}(t)={3i\left(e^{iate^{ibt}}(4i-(-4b+(a+b)^{2})t)\right) \over (a-b)^{3}t^{2}}}$