幾何学的位相

古典力学と量子力学において、幾何位相とは、システムが周期的な断熱過程を受ける際に、サイクルの過程で得られる位相差であり、ハミルトニアンのパラメータ空間の幾何学的特性から生じる。^[1]この現象は、古典光学ではS.パンチャラトナム(1956) ^{[2] 、分子物理学では}H.C.ロンゲ＝ヒギンズ(1958) ^[3]によって独立に発見され、 (1984)でマイケル・ベリー によって一般化された。 ^[4]これはパンチャラトナム・ベリー位相、パンチャラトナム位相、またはベリー位相 としても知られている。これは、ポテンシャルエネルギー面の円錐交差^{[3] [5]}やアハラノフ・ボーム効果で見ることができる。 C ₆ H ₃ F ₃ ⁺分子イオンの基底電子状態を含む円錐交差の周りの幾何学的位相は、BunkerとJensenの教科書の385〜386ページで説明されています。^[6]アハラノフ-ボーム効果の場合、断熱パラメータは2つの干渉経路で囲まれた磁場であり、これら2つの経路がループを形成するという意味で循環的です。円錐交差の場合、断熱パラメータは分子座標です。量子力学とは別に、古典光学などのさまざまな他の波動システムで発生します。経験則として、トポロジーの何らかの特異点または穴の近傍で波を特徴付けるパラメータが少なくとも2つある場合はいつでも発生する可能性があります。2つのパラメータが必要なのは、非特異状態の集合が単純に接続されていないか、ゼロ以外のホロノミーがあるためです。

波は振幅と位相によって特徴付けられ、それらのパラメータの関数として変化することがあります。幾何学的位相は、両方のパラメータが同時に、しかし非常にゆっくり（断熱的に）変化し、最終的に初期構成に戻ったときに発生します。量子力学では、これには回転だけでなく粒子の並進も含まれる可能性があり、これらは最終的に元に戻されるように見えます。システム内の波は、振幅と位相によって特徴付けられる初期状態（および時間の経過を考慮）に戻ると予想されるかもしれません。ただし、パラメータの偏位が自己回帰的な前後の変化ではなくループに対応する場合、初期状態と最終状態の位相が異なる可能性があります。この位相差が幾何学的位相であり、その発生は通常、システムのパラメータ依存性が何らかのパラメータの組み合わせに対して特異である（状態が未定義である）ことを示します。

波動システムの幾何学的位相を測定するには、干渉 実験が必要です。フーコーの振り子は、幾何学的位相を説明するために時々使用される古典力学の例です。幾何学的位相のこの力学類似物は、ハネー角として知られています。

n番目の固有状態にある量子システムでは、ハミルトニアンの断熱発展により、システムはハミルトニアンのn番目の固有状態に留まり、位相因子も得られます。得られた位相には、状態の時間発展からの寄与と、変化するハミルトニアンによる固有状態の変化からの寄与があります。2 番目の項はベリー位相に対応し、ハミルトニアンの非周期的変化では、発展の各時点でハミルトニアンの固有状態に関連付けられた位相を異なる方法で選択することで、この位相をゼロにすることができます。

しかし、変化が周期的である場合、ベリー位相はキャンセルできません。ベリー位相は不変であり、システムの観測可能な特性になります。マックス・ボルンとウラジミール・フォックがZeitschrift für Physik 51、165 (1928)で示した断熱定理の証明を確認すると、断熱過程の変化全体を位相項として特徴付けることができます。断熱近似では、断熱過程におけるn番目の固有状態の係数は で与えられます 。 ここではパラメータtに関するベリー位相です。変数t を一般化パラメータに変更すると、ベリー位相を に書き直すことができます 。 ここで は周期的断熱過程をパラメータ化します。 の正規化は、被積分関数が虚数であることを意味するため、 は実数であることに注意してください。これは、適切なパラメータ空間で閉じたパスに従います。閉じた経路に沿った幾何学的位相は、で囲まれた表面上でベリー曲率を積分することによっても計算できます。 $${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},}$$${\displaystyle \gamma_{n}(t)}$$${\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle |n,t\rangle }$${\displaystyle \gamma _{n}[C]}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

最も簡単な例の一つはフーコーの振り子である。幾何学的位相の観点からの簡単な説明はウィルチェクとシェイパーによって与えられている：^[7]

振り子は、一般的な経路C の周りを回るとき、どのように歳差運動するのでしょうか。赤道に沿った輸送では、振り子は歳差運動しません。[...] Cが測地線分で構成されている場合、歳差運動はすべて測地線の線分が交わる角度から生じます。歳差運動の合計は、正味の赤字角に等しく、これはCによって囲まれた立体角を法として2 πで割った値に等しくなります。最後に、任意のループを測地線分のシーケンスで近似できるため、最も一般的な結果 (球面上または球面外) は、正味の歳差運動が囲まれた立体角に等しいということです。

言い換えれば、振り子を歳差運動させる慣性力は存在しないので、歳差運動（振り子が運ばれる経路の運動方向に対する）は、完全にこの経路の方向転換によるものである。したがって、振り子の向きは平行移動する。元のフーコーの振り子の場合、経路は緯度円であり、ガウス・ボネの定理により、位相シフトは囲まれた立体角によって与えられる。^[8]

地球と連動して動くが、地球自身の軸の周りの地球の自転は共有しない近似慣性系では、振り子の吊り点は 1恒星日 の間に円軌道を描きます。

パリの緯度、北緯 48 度 51 分では、歳差運動の 1 周期は 32 時間弱かかります。そのため、1 恒星日が経過し、地球が 1 恒星日前と同じ方向に戻ると、振動面は 270 度強回転します。振動面が最初は南北だった場合、1 恒星日後には東西になります。

これは、運動量の交換があったことも意味します。つまり、地球と振り子の重りが運動量を交換したのです。地球は振り子の重りよりはるかに質量が大きいため、地球の運動量の変化は目立ちません。しかし、振り子の重りの揺れ面がシフトしているので、保存則によれば、交換が起こったに違いありません。

運動量の変化を追跡するのではなく、振動面の歳差運動は平行移動のケースとして効率的に記述することができます。そのためには、微小回転を合成することで、歳差運動の速度が地球の角速度の地球の法線方向への投影に比例することが実証できます。これは、振動面の軌跡が平行移動することを意味します。24時間後、地球フレームでの軌跡の初期方向と最終方向の差はα = −2 π sin φで、これはガウス・ボネの定理で与えられた値に対応します。αは、振り子のホロノミーまたは幾何学的位相とも呼ばれます。地球上の動きを分析する場合、地球フレームは慣性フレームではなく、1日あたり2π sin φラジアンの有効速度で局所的な垂直線の周りを回転します。地球の表面に接する円錐内の平行移動を利用する簡単な方法は、フーコーの振り子の振り面の回転角度を記述するために使用することができます。^{[9] [10]}

地球に固定された座標系（測定円と観測者は地球に固定されており、観測者が動いたときに地形によるコリオリの力への反応が観測者に知覚されない場合も含む）の観点から、 X軸が東を指し、Y軸が北を指す直交座標系を使用すると、振り子の歳差運動はコリオリの力によるものです（重力や遠心力などの他の架空の力には歳差運動の直接的な要素はなく、地球の自転速度はほぼ一定であるためオイラーの力は低くなります）。小角近似で一定の固有振動数ωを持つ平面振り子を考えてみましょう。振り子の錘には、重力とワイヤーによってもたらされる復元力とコリオリの力の 2 つの力が作用します（重力復元力と反対の遠心力は無視できます）。緯度φにおけるコリオリの力は、小角近似では水平であり、次のように表されます。 ここで、 Ωは地球の自転周波数、F _{c, x}はコリオリの力のx方向の成分、F _{c, y は}コリオリの力のy方向の成分です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{{\text{c}},x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\F_{{\text{c }},y}&=-2m\オメガ {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi ,\end{aligned}}}$$

復元力は、小角近似で遠心力を無視すると、次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x,\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$$

ニュートンの運動の法則を用いると、次の方程式系が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt }}\sin \varphi ,\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

複素座標z = x + iyに切り替えると、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0 。}$$

初回注文はΩ/ω⁠、この方程式の解は $${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right).}$$

時間を日単位で測定する場合、Ω = 2 πとなり、振り子は 1 日で-2 π  sin φの角度で回転します。

2 番目の例は、シングルモード光ファイバーに入る直線偏光です。ファイバーが空間内のある経路を描き、光が入ったのと同じ方向にファイバーから出るとします。次に、最初の偏光と最後の偏光を比較します。半古典的近似では、ファイバーは導波路として機能し、光の運動量は常にファイバーに接します。偏光は、運動量に垂直な方向と考えることができます。ファイバーが経路を描くと、光の運動量ベクトルは運動量空間の球上の経路を描きます。光の最初の方向と最後の方向が一致し、偏光が球に接するベクトルであるため、経路は閉じています。運動量空間に行くことは、ガウス マップ を取ることと同じです。偏光を回転させる力はなく、球に接したままであるという制約があるだけです。したがって、偏光は平行移動し、位相シフトは閉じた立体角 (スピンの積、光の場合は 1) によって与えられます。

確率ポンプは、パラメータの周期的な変化に対して平均してゼロ以外の電流で応答する古典的な確率システムである。確率ポンプ効果は、確率電流のモーメント生成関数の進化における幾何学的位相の観点から解釈することができる。^[11]

磁場中のスピン1⁄2粒子の幾何学的位相を正確に評価することができる。 ^[1]

ベリーの定式化はもともと線形ハミルトン系に対して定義されたが、すぐにニンとハーケン^[12]によって、ある種の巡回アトラクターを持つ非線形散逸系などのまったく異なる系に対しても、同様の幾何学的位相を定義できることが認識された。彼らは、そのような巡回アトラクターが、ある種の対称性を持つ非線形散逸系のクラスに存在することを示した。^[13]このベリーの位相の一般化には、いくつかの重要な側面がある。1) 元のベリー位相のパラメーター空間の代わりに、このニン-ハーケンの一般化は位相空間で定義される。2) 量子力学系における断熱的発展の代わりに、位相空間における系の発展は断熱的である必要はない。時間的発展の時間スケールに制限はない。3) 線形減衰を持つエルミート系または非エルミート系の代わりに、系は一般に非線形かつ非エルミートであり得る。

ボルン・オッペンハイマーの枠組みの中で分子の幾何学的位相を計算する方法はいくつかあります。1 つの方法は、 によって定義される「非断熱結合行列」を 使用する方法です。 ここで、は核パラメータ に依存する断熱電子波動関数です。非断熱結合は、場の理論におけるウィルソン ループ(1974) に類似したループ積分を定義するために使用できます。これは、分子フレームワーク用に M. Baer (1975、1980、2000) によって独立に開発されました。 によってパラメータ化された閉ループ が与えられます。ここで、 はパラメータで あり、 です。D 行列は、 (ここでは経路順序付けシンボル) によって与えられます 。が十分 に大きい場合 (つまり、十分な数の電子状態が考慮される場合)、この行列は対角行列であることが示され、対角要素は に等しくなります。ここで、 は、番目の断熱電子状態のループに関連付けられた幾何学的 位相です。${\displaystyle M\times M}$$${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,}$$${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle R_{\mu }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle R_{\mu }(t),}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}$$${\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}}$$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle e^{i\beta _{j}},}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle j}$

時間反転対称電子ハミルトニアンの場合、幾何学的位相はループに囲まれた円錐交点の数を反映します。より正確には、 ループに囲まれた断熱状態を含む円錐交点の数は どこになりますか？$${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},}$$${\displaystyle N_{j}}$${\displaystyle \psi _{j}}$${\displaystyle \Gamma .}$

D行列アプローチの代替として、パンチャラトナム位相を直接計算する方法があります。これは、単一の断熱状態の幾何学的位相のみに関心がある場合に特に便利です。このアプローチでは、ループに沿っていくつかの点を取り、j番目の断熱状態のみを使用して、重なりのパンチャラトナム積を計算します。 ${\displaystyle N+1}$${\displaystyle (n=0,\dots ,N)}$${\displaystyle R(t_{n})}$${\displaystyle t_{0}=0}$${\displaystyle t_{N}=1,}$${\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}$$${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}$$

極限では（説明といくつかの応用についてはRyb & Baer 2004を参照） ${\displaystyle N\to \infty }$$${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}$$

磁場の影響を受ける電子は、円形（サイクロトロン）軌道上を運動する。^[2]古典的には、任意のサイクロトロン半径が許容される。量子力学的には、離散的なエネルギーレベル（ランダウレベル）のみが許可され、 は電子のエネルギーに関連しているため、これは の量子化された値に対応する。シュレーディンガー方程式を解くことによって得られるエネルギー量子化条件は、例えば、自由電子（真空中）またはグラフェン内の電子の場合、となり、ここで となる。^[3]これらの結果の導出は難しくないが、導出する別の方法があり、それはある意味でランダウレベルの量子化に対するより優れた物理的洞察を提供する。この別の方法は、電子がサイクロトロン軌道の閉ループに沿って（実空間で）運動する際に電子が拾う 幾何学的位相を含む半古典的なボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件 に基づく。 ^[14]自由電子の場合は 、グラフェン内の電子の場合は。幾何学的位相は、自由電子とグラフェン内の電子 に直接関連していることがわかりました。${\displaystyle B}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$$${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =0,}$${\displaystyle \gamma =\pi }$${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle \alpha =0}$

• リーマン曲率テンソル– 数学とのつながり
• ベリー接続と曲率
• チャーンクラス
• 光学回転
• 巻数

^簡単にするために、 2DEG などの平面に閉じ込められた電子と、平面に垂直な磁場を考えます。

^ は サイクロトロン周波数（自由電子の場合）であり、はフェルミ速度（グラフェン内の電子の場合）です。 ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$${\displaystyle v}$

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• 他の物理現象（ヤーン・テラー効果など）との関連については、ここで説明します：ベリーの幾何学的位相：レビュー
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• Wikiquote の幾何学位相に関する引用
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