ブラックホールの熱力学

物理学において、ブラックホール熱力学^[1]は、熱力学の法則とブラックホールの 事象の地平線の存在を調和させようとする研究分野である。黒体放射の統計力学の研究が量子力学の理論の発展につながったように、ブラックホールの統計力学を理解するための努力は量子重力の理解に大きな影響を与え、ホログラフィック原理の定式化につながった。^[2]

熱力学の第二法則によれば、ブラックホールはエントロピーを持っている必要があります。ブラックホールがエントロピーを持たない場合、ブラックホールに質量を投入することで第二法則に違反する可能性があります。ブラックホールのエントロピーの増加は、飲み込まれた物体が持つエントロピーの減少を補って余りあるものです。

1972年、ヤコブ・ベッケンシュタインはブラックホールのエントロピーは事象の地平線の面積に比例するはずだと推測し、^[3]同年、無毛定理を提唱した。

1973年、ベッケンシュタインは比例定数として を提案し、定数がこれと全く同じでなければ、それに非常に近い値に違いないと主張した。翌年の1974年、スティーブン・ホーキングはブラックホールが特定の温度（ホーキング温度）に対応する熱ホーキング放射^{[4] [5]を放射することを示した。 [6] [7]エネルギー、温度、エントロピーの}熱力学的関係を用いて、ホーキングはベッケンシュタインの予想を確認し、比例定数を次のように決定した。^{[8] [9]}${\displaystyle {\frac {\ln {2}}{0.8\pi }}\approx 0.276}$${\displaystyle 1/4}$

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

ここでは事象の地平線の面積、はボルツマン定数、 はプランク長です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\displaystyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$

これはしばしばベッケンシュタイン-ホーキングの公式と呼ばれる。添え字のBHは「ブラックホール」または「ベッケンシュタイン-ホーキング」のどちらかを表す。ブラックホールのエントロピーは事象の地平線の面積に比例する。ブラックホールのエントロピーがベッケンシュタインの境界によって得られる最大エントロピーでもあるという事実（ベッケンシュタインの境界が等式になる）は、ホログラフィック原理につながる主な観察であった。^{[2]この面積関係は、境界共形場理論のエンタングルメントエントロピーをその双対重力理論の特定の面に関連付ける}龍-高柳の公式によって任意の領域に一般化された。^[10]${\displaystyle A}$

ホーキングの計算はブラックホールのエントロピーに関するさらなる熱力学的証拠を与えたが、1995年まで、エントロピーを多数のミクロ状態と関連付ける統計力学に基づいてブラックホールのエントロピーを制御された形で計算できる者はいなかった。実際、いわゆる「ノーヘア」定理^[11]は、ブラックホールは単一のミクロ状態しか持てないことを示唆しているように見えた。1995年にアンドリュー・ストロミンガーとカムラン・ヴァファがDブレーンと弦の双対性に基づく方法を用いて弦理論における超対称ブラックホールの正しいベッケンシュタイン-ホーキングエントロピーを計算したことで状況は一変した^{[12] 。彼らの計算に続いて、他の}極限ブラックホールや極限に近いブラックホールの大規模なクラスのエントロピーの同様の計算が数多く行われ、その結果は常にベッケンシュタイン-ホーキングの公式と一致した。しかし、極限から最も遠いブラックホールとみなされるシュワルツシルトブラックホールについては、ミクロ状態とマクロ状態の関係が特徴付けられていません。弦理論の枠組みの中で適切な答えを出すための努力が続けられています。

ループ量子重力理論(LQG) ^{[nb 1]}では、ミクロ状態に幾何学的解釈を関連付けることが可能です。これらは地平線の量子幾何学です。LQG は、エントロピーの有限性と地平線の面積の比例性の幾何学的説明を提供します。^{[13] [14]} 完全な量子理論 ( spinfoam ) の共変定式化から、エネルギーと面積 (第 1 法則) の正しい関係、ウンルー温度、およびホーキングエントロピーをもたらす分布を導くことができます。^[15]計算は動的地平線の概念を利用し、非極限ブラックホールに対して行われます。ループ量子重力の観点からベッケンシュタイン-ホーキングエントロピーの計算についても議論されているようです。現在受け入れられているブラックホールのミクロ状態集団は、ミクロカノニカル集団です。ブラックホールの分配関数は負の熱容量をもたらします。カノニカル集団では正の熱容量に制限があるが、ミクロカノニカル集団では負の熱容量でも存在できる。^[16]

ブラックホール力学の4 つの法則は、ブラックホールが満たすと考えられる物理的特性です。熱力学の法則に類似したこの法則は、ジェイコブ・ベッケンシュタイン、ブランドン・カーター、ジェームズ・バーディーンによって発見されました。さらにスティーブン・ホーキングによって検討が進められました。

ブラックホールの力学法則は幾何学化された単位で表現されます。

静止したブラックホールの場合、 地平線の表面重力は一定です。

静止したブラックホールの摂動の場合、エネルギーの変化は面積、角運動量、電荷の変化と関係があり、

${\displaystyle dE={\frac {\kappa }{8\pi }}\,dA+\Omega \,dJ+\Phi \,dQ,}$

ここで、はエネルギー、は表面重力、は地平線面積、は角速度、は角運動量、は静電ポテンシャル、は電荷です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle Q}$

地平線の面積は、弱いエネルギー条件を仮定すると、時間の非減少関数です。

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}\geq 0.}$

この「法則」は、ブラックホールが放射し、ブラックホールの質量と地平線の面積が時間の経過とともに減少するというホーキング博士の発見によって置き換えられました。

表面重力がゼロのブラックホールを形成することは不可能です。つまり、実現できないのです。 ${\displaystyle \kappa =0}$

第 0 法則は、熱平衡状態にある物体全体で温度が一定であると述べる熱力学の第 0 法則に類似しています。これは、表面重力が温度に類似していることを示唆しています。通常のシステムの熱平衡におけるT定数は、静止したブラックホールの地平線上の定数 に類似しています。${\displaystyle \kappa }$

左辺 はエネルギーの変化（質量に比例）です。第 1 項にはすぐには明らかな物理的解釈はありませんが、右辺の第 2 項と第 3 項は回転と電磁気によるエネルギーの変化を表しています。同様に、熱力学の第 1 法則はエネルギー保存則を述べたもので、その右辺には項 が含まれています。 ${\displaystyle dE}$${\displaystyle TdS}$

第二法則は、ホーキングの面積定理を述べたものです。同様に、熱力学の第二法則は、孤立したシステムにおけるエントロピーの変化は、自発的なプロセスでは 0 以上になると述べており、エントロピーとブラックホールの地平線の面積との間に関連があることを示唆しています。しかし、このバージョンは、物質が落ち込むにつれてエントロピーを失い、エントロピーが減少するため、熱力学の第二法則に違反しています。しかし、第二法則をブラックホールのエントロピーと外部のエントロピーの合計として一般化すると、地平線の向こうの宇宙を含むシステムでは熱力学の第二法則に違反していないことがわかります。

一般化された熱力学第二法則 (GSL) は、熱力学第二法則を有効なものとして示すために必要でした。これは、熱力学第二法則は、ブラックホールの外部近くではエントロピーが消失するため、役に立たないためです。GSL では、内部の共通エントロピーの測定が可能になったため、この法則を適用できます。GSL の有効性は、エントロピーを持つシステムがより大きな動かないブラックホールに落ち込む例を調べ、ブラックホールのエントロピーの増加とシステムのエントロピーの増加のそれぞれについて、エントロピーの上限と下限を確立するなどの例を検討することで確立できます。 ^{[17]また、GSL は、}アインシュタインの重力、ラブロックの重力、ブレーンワールドの重力などの重力理論にも当てはまります。これらの理論に GSL を使用するための条件が満たされるためです。^[18]

しかし、ブラックホールの形成という話題になると、一般化された熱力学の第二法則が妥当であるかどうかという疑問が生じ、妥当であれば、あらゆる状況で妥当であることが証明されることになる。ブラックホールの形成は静止しているのではなく、動いているので、GSL が成り立つことを証明するのは困難である。GSL が一般に妥当であることを証明するには、量子統計力学を使用する必要がある。なぜなら、GSL は量子法則であると同時に統計法則でもあるからである。この分野は存在しないので、GSL は一般に有用であるだけでなく、予測にも有用であると想定できる。たとえば、GSL を使用すると、冷たく回転しない核子の集合体 、ここで はブラックホールのエントロピー、 は通常のエントロピーの合計であると予測できる。^{[17] [19]}${\displaystyle N}$${\displaystyle S_{BH}-S>0}$${\displaystyle S_{BH}}$${\displaystyle S}$

ブラックホール熱力学の第三法則は議論の的となっている。^[20]極限ブラックホールと呼ばれる特定の反例は 、この規則に従わない。^[21]ネルンストの定理として知られる古典的な熱力学の第三法則は、温度が絶対零度になるとシステムのエントロピーは必ずゼロになるというものだが、これも普遍的な法則ではない。^[22] しかし、古典的な第三法則に従わないシステムは実際には実現されておらず、極限ブラックホールは一般的にブラックホールの物理法則を表していない可能性があるという示唆につながっている。^[20]

古典的な第三法則のより弱い形である「到達不可能原理」^[23]は、システムを基底状態にするには無限のステップが必要であると述べている。この形の第三法則は、ブラックホール物理学に類似している。^{[19] : 10}

ブラックホール力学の4つの法則は、ブラックホールの表面重力を温度、事象の地平線の面積をエントロピー（少なくとも乗法定数まで）と同一視すべきであることを示唆している。ブラックホールを古典的にのみ考えると、ブラックホールの温度はゼロで、無毛定理[ ^11]によりエントロピーはゼロであり、ブラックホール力学の法則はアナロジーのままである。しかし、量子力学的効果を考慮すると、ブラックホールは温度で 熱放射（ホーキング放射）を放射することがわかる。

${\displaystyle T_{\text{H}}={\frac {\kappa }{2\pi }}.}$

ブラックホール力学の第一法則から、これはベッケンシュタイン-ホーキングエントロピーの乗法定数を決定する。これは（幾何単位で）

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A}{4}}.}$

これはアインシュタインの一般相対性理論におけるブラックホールのエントロピーである。曲がった時空における量子場の理論は、重力の共変理論におけるブラックホールのエントロピーを計算するために利用することができ、ワルドエントロピーとして知られている。^[24]

ブラックホール熱力学（BHT）は量子重力理論への最も深い手がかりの1つと見なされてきましたが、「熱力学の一種の戯画に基づいていることが多い」ことや「BHTのシステムが何であるかが不明瞭である」ことなど哲学的な批判が残っており、「その類似性は一般に考えられているほど良くない」という結論に至っています。^{[25] [26]}

これらの批判は、仲間の懐疑論者が「ブラックホールを熱力学システムとみなすケース」を再検討するきっかけとなり、特に「ブラックホールが互いに熱的に接触することを可能にするホーキング放射の中心的な役割」と「ブラックホールに近いホーキング放射を重力で束縛された熱大気と解釈すること」に注目し、反対の結論「静止したブラックホールは熱力学システムと類似していない。完全な意味で、それらは熱力学システムである」に至った。 ^[27]

ゲイリー・ギボンズとホーキングは、ブラックホールの熱力学はブラックホールよりも一般的であり、宇宙の事象の地平線にもエントロピーと温度があることを示しました。

より根本的には、ジェラルド・トホーフトとレナード・サスキンドはブラックホール熱力学の法則を用いて、重力と量子力学の一貫した理論は低次元でなければならないと主張する、自然の一般的なホログラフィック原理を主張した。一般にはまだ完全には理解されていないが、ホログラフィック原理はAdS/CFT対応のような理論の中心である。^[28]

ブラックホールのエントロピーと流体の表面張力の間にも関連がある。^[29]

• ジョセフ・ポルチンスキー
• ロバート・ウォルド

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• Scholarpedia の Bekenstein-Hawking エントロピー
• ブラックホールの熱力学
• arxiv.org のブラックホールエントロピー