一様超有限代数

数学、特にC*-代数の理論において、一様超有限代数またはUHF代数は、ノルム位相において、有限次元完全行列代数の増加和の閉包として記述できる C*-代数です。

UHF C*-代数は、帰納的システム{ A _n , φ _n }の直接的な極限であり、各A _{n は}有限次元の完全行列代数であり、各φ _n  : A _n → A _{n +1}は単位埋め込みである。接続写像を省略すると、次のように書くことができる。

${\displaystyle A={\overline {\cup _{n}A_{n}}}.}$

もし

${\displaystyle A_{n}\simeq M_{k_{n}}(\mathbb {C} ),}$

すると、ある整数rに対してrk _n = k _{n + 1}となり、

${\displaystyle \phi _{n}(a)=a\otimes I_{r},}$

ここで、I _{r は}r × r行列の単位元です。シーケンス ... k _n | k _{n + 1} | k _{n + 2} ... は形式積を決定します。

${\displaystyle \delta (A)=\prod _{p}p^{t_{p}}}$

ここで各p は素数であり、t _p = sup { m   |   p ^{m は}k _{n を} 割り切る（あるnについて）、ゼロまたは無限大の可能性がある。形式積δ ( A ) はAに対応する超自然数と呼ばれる。^[1]グリムは超自然数が UHF C*-代数の完全不変量であることを示した。^[2] 特に、UHF C*-代数の同型類は無数に存在する。

δ ( A ) が有限であれば、A は完全な行列代数M _{δ ( A )です。} δ ( A )の各t _pが 0 または ∞ の 場合、UHF 代数は無限型であると言われます。

K理論の言語では、各超自然数は

${\displaystyle \delta (A)=\prod _{p}p^{t_{p}}}$

Qの加法部分群を指定します。_これはn / m型の有理数で、mは正式にδ ( A )を割り切るものです。この群はAのK0群です。^[1]

UHF C*-代数の一例としてCAR代数がある。これは次のように定義される。Hを、正規直交基底f _nとH上の有界作用素L ( H )を持つ可分複素ヒルベルト空間Hとし、線型写像を考える。

${\displaystyle \alpha :H\rightarrow L(H)}$

という性質を持つ

${\displaystyle \{\alpha (f_{n}),\alpha (f_{m})\}=0\quad {\mbox{and}}\quad \alpha (f_{n})^{*}\アルファ (f_{m})+\アルファ (f_{m})\アルファ (f_{n})^{*}=\langle f_{m},f_{n}\rangle I.}$

CAR代数は、C*代数によって生成される。

${\displaystyle \{\alpha (f_{n})\}\;.}$

埋め込み

${\displaystyle C^{*}(\alpha (f_{1}),\cdots ,\alpha (f_{n}))\hookrightarrow C^{*}(\alpha (f_{1}),\cdots ,\alpha (f_{n+1}))}$

多重度2の埋め込みで識別できる

${\displaystyle M_{2^{n}}\hookrightarrow M_{2^{n+1}}.}$

したがって、CAR代数は超自然数2∞を持つ^。 [ ^3]この同定により、その_K0群が二項有理数であることもわかる。