パリティ問題

数論において、パリティ問題とは、篩理論における限界の一つであり、多くの種類の素数計数問題において篩が適切な推定値を与えることを妨げるものである。この問題は1949年にアトレ・セルバーグによって発見され、命名された。1996年頃から、ジョン・フリードランダーとヘンリク・イワニエツは、パリティ問題の影響を軽減するパリティに敏感な篩を開発した。

テレンス・タオは、この問題について次のような「大まかな」説明をした。^{[ 1 ]}

パリティ問題。集合Aの要素がすべて奇数個の素数の積（または偶数個の素数の積）である場合、（追加の要素を注入しない限り）篩理論ではAのサイズに対する非自明な下限を与えることができません。また、上限は真の値から2倍以上ずれている必要があります。

この問題は、篩が「素数を検出する」ことがなぜ難しいのか、つまり、ある性質を持つ素数の数の非自明な下限を与えることがなぜ難しいのかを説明する可能性があるため、重要です。たとえば、チェンの定理はある意味で双子素数予想の解に非常に近いと言えます。なぜなら、 p + 2 が素数であるか、または 2 つの素数の積 (半素数) であるような素数p が無限に存在すると述べているからです。パリティの問題は、対象となるケースでは素因数が奇数個 (つまり 1 個) であるため、篩を使って 2 つのケースを分離することはできないことを示唆しています。

この例はセルバーグによるもので、コジョカルとマーティによってヒント付きの練習問題として提示されている。^{[ 2 ]： 133-134}

問題は、素因数が偶数（または奇数）であるような、 x ≤ xでx ^{1/2以下の素因数を持たない数の個数を個別に推定することです。}ブルン型またはセルバーグ型の篩で重みをどのように選択しても、得られる上限はどちらの問題でも少なくとも (2 + o (1)) x / ln xになることが示せます。しかし実際には、偶数個の因数を持つ集合は空集合であり、サイズは 0 です。奇数個の因数を持つ集合は、x ^1/2と xの間の素数だけなので、素数定理によりそのサイズは (1 + o (1)) x / ln xです。したがって、これらの篩法は最初の集合に対して有用な上限を与えることができず、2 番目の集合の上限を 2 倍過大評価します。

1996年頃から、ジョン・フリードランダーとヘンリク・イワニエツはパリティ問題を「打破」するための新しい篩法を開発した。^{[ 3 ] [ 4 ]} これらの新しい方法の成果の1つは、a ² + b ⁴の形の素数が無限に存在することを示すフリードランダー・イワニエツの定理である。

グリン・ハーマンは、パリティ問題をふるいにおけるタイプI情報とタイプII情報の区別に関連付けている。 ^{[ 5 ]}

2007年、アナトリー・アレクセーヴィチ・カラツバは、素因数の偶奇性が与えられた等差数列の数字の間に不均衡があることを発見した。彼の論文^{[ 6 ] [ 7 ]}は彼の死後に出版された。

させて${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数（正の整数） の集合、つまり、${\displaystyle 1,2,3,\dots }$素数の集合、つまりそのような整数の集合${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$、${\displaystyle n>1}$2つの異なる約数を持つもの（すなわち、${\displaystyle n}$そして${\displaystyle 1}$)は、で表されます。${\displaystyle \mathbb {P} }$、${\displaystyle \mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,\dots \}\subset \mathbb {N} }$すべての自然数${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$、${\displaystyle n>1}$は、素数（必ずしも異なるとは限らない）の積として表すことができる。${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\dots p_{k},}$どこ${\displaystyle p_{1}\in \mathbb {P} ,\ p_{2}\in \mathbb {P} ,\ \dots ,\ p_{k}\in \mathbb {P} }$そして、そのような表現は因数の次数を除いて一意である。

偶数個の素因数を持つ正の整数からなる集合と、奇数個の素因数を持つ正の整数からなる集合を、それぞれ標準表現で表すと、2つの集合のサイズはほぼ同じになります。

しかし、例えば、与えられた等差数列に素数を含まない正の整数に2つの集合を限定すると、${\displaystyle 6m+1}$、${\displaystyle m=1,2,\dots }$あるいはその進行${\displaystyle km+l}$、${\displaystyle 1\leq l<k}$、${\displaystyle (l,k)=1}$、${\displaystyle m=0,1,2,\dots }$すると、これらの正の整数のうち、偶数個の素因数を持つものは奇数個の素因数を持つものよりも少なくなる傾向がある。唐津場はこの性質を発見した。彼はまた、この現象の公式、つまり、素因数が特定の制約を満たす場合の、奇数個と偶数個の素因数を持つ自然数の集合の濃度の差の公式も発見した。いずれの場合も、関係する集合は無限であるため、「大きい」と「小さい」とは、素数の上限としての集合の比の極限が無限大になることを意味する。等差数列を含む素数の場合、唐津場はこの極限が無限大であることを証明した。

我々は、カラツバ現象を数学的な用語を用いて改めて説明する。

させて${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$そして${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$のサブセットである${\displaystyle \mathbb {N} }$、したがって $\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$、 もし${\displaystyle n}$偶数個の素因数を含み、$${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$$、 もし${\displaystyle n}$奇数個の素因数を含む。直感的に、2つの集合のサイズは${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$そして${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ほぼ同じです。より正確には、すべての${\displaystyle x\geq 1}$定義する${\displaystyle n_{0}(x)}$そして${\displaystyle n_{1}(x)}$、 どこ${\displaystyle n_{0}(x)}$は、すべての数の集合の濃度です。${\displaystyle n}$から${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$そのため${\displaystyle n\leq x}$、 そして${\displaystyle n_{1}(x)}$は、すべての数の集合の濃度です。${\displaystyle n}$から${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$そのため${\displaystyle n\leq x}$漸近挙動${\displaystyle n_{0}(x)}$そして${\displaystyle n_{1}(x)}$E. Landauによって導出された: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle n_{0}(x)={\frac {1}{2}}x+O\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right),n_{1}(x)={\frac {1}{2}}x+O\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right);c>0.}$

これは、

${\displaystyle n_{0}(x)\sim n_{1}(x)\sim {\frac {1}{2}}x,}$

それは${\displaystyle n_{0}(x)}$そして${\displaystyle n_{1}(x)}$漸近的に等しい。

さらに遠く、

${\displaystyle n_{1}(x)-n_{0}(x)=O\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right),}$

そのため、2つの集合の要素数の差は小さくなります。

一方、素因数が固定周期を法とする特定の合同類を避ける数に限定すると、これはもはや当てはまらない。つまり、${\displaystyle k\geq 2}$自然数であり、${\displaystyle l_{1},l_{2},\dots l_{r}}$一連の${\displaystyle r\in [1,\varphi (k))}$範囲内の異なる自然数${\displaystyle [1,k)}$そのため${\displaystyle (l_{j},k)=1}$すべての${\displaystyle j=1,2,\dots r.}$ させて${\displaystyle \mathbb {A} }$数列に属する素数の集合とする${\displaystyle kn+l_{j}}$のために${\displaystyle j=1,2,\dots r.}$

を と表記する${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$素因数を含まない自然数の集合${\displaystyle \mathbb {A} }$、 による${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{*}}$からの数のサブセット${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$偶数個の素因数を持つ、${\displaystyle \mathbb {N} _{1}^{*}}$からの数のサブセット${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$奇数個の素因数を持つ。関数を定義する。

${\displaystyle n^{*}(x)=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\leq x\\n\in \mathbb {N} ^{*}\end{array}}1;n_{0}^{*}(x)=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\leq x\\n\in \mathbb {N} _{0}^{*}\end{array}}1;n_{1}^{*}(x)=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\leq x\\n\in \mathbb {N} _{1}^{*}\end{array}}1.}$

唐津場は、${\displaystyle x\to +\infty }$漸近式

${\displaystyle n_{1}^{*}(x)-n_{0}^{*}(x)\sim Cn^{*}(x)(\ln x)^{2\left({\frac {r}{\varphi (k)}}-1\right)},}$

は有効です。${\displaystyle C}$は正の定数です。

彼はまた、他の自然数の集合、例えば2乗の和の形で表せる数、そしてすべての因数が自然数に属する自然数の集合についても、同様の定理を証明できることを示した。${\displaystyle \mathbb {A} }$も同様の漸近挙動を示すだろう。

カラツバの定理は、次の場合に一般化されました。${\displaystyle \mathbf {A} }$は、ある一定の無限個の素数の集合である。

カラツバ現象は次の例で説明できます。標準表現に次の数列に属する素数を含まない自然数を考えます。${\displaystyle 6m+1}$、${\displaystyle m=1,2,\dots }$すると、この現象は次の式で表されます。

${\displaystyle n_{1}^{*}(x)-n_{0}^{*}(x)\sim {\frac {\pi }{8{\sqrt {3}}}}{\frac {n^{*}(x)}{\ln x}},\qquad x\to +\infty .}$