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統計学において、部分因子計画法は、完全因子計画法よりも少ない実験回数で実験を行う方法です。因子のすべての組み合わせをテストする代わりに、慎重に選択された部分のみをテストします。[ 1 ]この完全計画の「部分」は、研究対象のシステムに関する最も重要な情報を明らかにするように選択され（効果の疎性原理）、必要な実行回数を大幅に削減します。これは、完全因子計画法における多くのテストが冗長である可能性があるという考えに基づいています。しかし、実行回数の削減は、いくつかの効果が絡み合って個々の影響を分離できなくなる可能性があるため、分析がより複雑になるという代償を伴います。したがって、部分因子計画法でテストする組み合わせの選択は慎重に行う必要があります。
一部実施要因計画法は、1945年にイギリスの統計学者デイビッド・ジョン・フィニーによって導入され、ロザムステッド実験ステーションにおけるロナルド・フィッシャーによる完全実施要因実験に関する以前の研究を拡張したものです。[ 2 ]元々は農業用途向けに開発されましたが、その後、工学、科学、ビジネスなどの他の分野にも応用されています。[ 3 ]
完全要因実験と同様に、部分要因実験では、因子と呼ばれる独立変数が応答変数に及ぼす影響を調査します。各因子は、水準と呼ばれる異なる値で調査されます。応答変数は、異なる水準の因子の組み合わせを使用して測定され、それぞれの固有の組み合わせはランと呼ばれます。完全要因実験と比較してランの数を減らすために、実験はさまざまな効果と相互作用を混同するように設計され、それらの影響を区別できないようにします。主効果間の高次の相互作用が無視できる場合、主効果を研究するための妥当な方法と考えることができます。これが効果の疎性の原理です。混同は、完全要因表からランを体系的に選択することによって制御されます。[ 4 ]
分割計画はl k − pという表記で表され、lは各因子の水準数、kは因子の数、p は完全要因計画の使用される割合を表します。正式には、p はジェネレータの数です。ジェネレータとは、実行回数を減らすために意図的に交絡させた効果を決定する関係のことです。ジェネレータが 1 つ増えるごとに、必要な実行回数は半分になります。このようなジェネレータがp個ある計画は、完全要因計画の1/( l p )= l −p の割合になります。[ 3 ]
例えば、2⁵ − 2 設計は、2水準5因子要因計画の1/4に相当します。完全な2⁵要因実験に必要な32回の実験回数に対し、この実験ではわずか8回の実験で済みます。ジェネレーターを2台使用することで、実験回数を2回半減できます。
実際には、2 を超えるレベルの設計を生成する方法論がはるかに煩雑であるため、部分因子設計でl > 2 のレベルに遭遇することはめったにありません。各因子に 3 つのレベルが必要な場合、検討すべき部分設計としては、ラテン方格、相互直交ラテン方格、および田口法があります。応答曲面法は、複数のレベルでの実験応答と因子の関係を決定するための、はるかに実験的に効率的な方法にもなり得ますが、レベルが連続的である必要があります。2 を超えるレベルが必要かどうかを判断する際には、実験者は、3 番目のレベルを追加することで結果が非線形になると予想されるかどうかを考慮する必要があります。もう 1 つの考慮事項は因子の数であり、これは実験の労力要求を大きく変える可能性があります。[ 5 ]
因子のレベルは、一般的に高いレベルには+1、低いレベルには-1でコード化されます。3レベルの因子の場合、中間値は 0でコード化されます。 [ 4 ]
スペースを節約するために、要因実験のポイントはプラスとマイナスの記号の文字列で省略されることがよくあります。文字列には要因と同じ数の記号があり、その値は各要因のレベルを決定します。慣例として、最初の（または低い）レベルでは、2番目（または高）レベルの場合。2つの要因を持つ2レベル実験のポイントは、次のように表すことができます。、、、 そして[ 4 ]
因子点は、(1)、a、b、ab で略記することもできます。文字がある場合は、指定された因子が高レベル (または第 2 レベル) にあることを示し、文字がない場合は、指定された因子が低レベル (または第 1 レベル) にあることを示します (たとえば、「a」は因子 A が高設定であり、他のすべての因子が低レベル (または第 1 レベル) にあることを示します)。(1) は、すべての因子が最低値 (または第 1 値) であることを示します。因子点は通常、イェーツの標準順序 1、a、b、ab、c、ac、bc、abc を使用した表に配置されます。これは、各実行で第 1 因子のレベルが交互になることで作成されます。[ 5 ]
実際には、実験者は通常、統計学の参考書を参照して、主分数からなる「標準的な」一部実施要因計画を作成します。主分数とは、処理組み合わせ代数において生成子が+となる処理組み合わせの集合です。ただし、状況によっては、実験者が独自の一部実施要因計画を作成することもあります。
部分因子実験は、エイリアス構造を選択することによって、完全因子実験から生成されます。エイリアス構造は、どの効果が互いに交絡されるかを決定します。たとえば、5因子の2 5 − 2は、3つの因子（たとえばA、B、C ）を含む完全な3因子因子実験を使用し、残りの2つの因子DとEをD = A * BおよびE = A * Cによって生成される交互作用と交絡させることによって生成できます。これらの2つの式は、設計の生成子と呼ばれます。たとえば、実験が実行され、実験者が因子Dの効果を推定する場合、実際に推定されているのは、 Dの主効果とAとBを含む2因子交互作用の組み合わせです。
分数計画の重要な特徴は、定義関係であり、これは計画行列においてプラス記号の列に等しい相互作用列の集合をIで表します。上記の例では、D = ABおよびE = ACであるため、ABDとACE はどちらもプラス記号の列であり、したがってBDCEも同様です。
D*D = AB*D = I
E*E = AC*E = I
I = ABD*ACE = A*ABCDE = BCDE
この場合、分数設計の定義関係はI = ABD = ACE = BCDEです。定義関係により、設計のエイリアスパターンを決定でき、2 pワードが含まれます。この場合、相互作用効果ABD、ACE、およびBCDE は全く研究できないことに注意してください。ジェネレータの数と分数化の度合いが増加するにつれて、ますます多くの効果が混同されます。[ 5 ]
エイリアスパターンは、各因子列を乗算することで決定できます。主効果Aがどのように交絡されているかを判断するには、定義関係のすべての項にAを乗算します。
A*I = A*ABD = A*ACE = A*BCDE A = BC = CE = ABCDE
したがって、主効果 A は交互作用効果 BC、CE、および ABCDE と混同されます。他の主効果も同様の方法で計算できます。[ 4 ]
分数計画の重要な特性は、主効果と低次の相互作用を互いに分離する分解能または能力です。形式的には、因子がバイナリの場合、計画の分解能は、定義関係の最小語長（ I を除く）です。分解能はローマ数字で表され、番号とともに増加します。[ 4 ]最も重要な分数計画は、分解能 III、IV、および V のものです。分解能 III 未満は役に立たず、分解能 V を超えるものは（バイナリ因子の場合）無駄です。これは、拡張された実験がほとんどの場合実用的な利点をもたらさないためです。追加の労力の大部分は、実際にはめったに発生しない非常に高次の相互作用の推定に費やされます。上記の 2 5 − 2 計画は、定義関係が I = ABD = ACE = BCDEであるため、分解能 III です。
ここで説明する解像度分類システムは、通常の設計にのみ適用されます。通常の設計では、実行サイズが2のべき乗に等しく、完全なエイリアシングのみが発生します。非通常の設計（プラケット・バーマン設計とも呼ばれる）は、実行サイズが4の倍数である設計です。これらの設計では部分的なエイリアシングが発生し、前述の解像度の代わりに一般化された解像度が設計基準として使用されます。
解像度 III 設計は、N-1 個の因子を N 回の実験で調査できる飽和設計を構築するために使用できます。これらの飽和設計は、多くの因子が関係する場合の迅速なスクリーニングに使用できます。[ 3 ]
Montgomery [ 3 ]は、部分因子実験の次の例を示しています。あるエンジニアが、化学物質を製造するプロセスのろ過速度（出力）を増加させ、プロセスで使用されるホルムアルデヒドの量を減らす実験を行いました。完全因子実験は、Wikipedia のFactorial experiment のページで説明されています。4 つの因子が考慮されました。温度 (A)、圧力 (B)、ホルムアルデヒド濃度 (C)、および攪拌速度 (D)。この例の結果は、主効果 A、C、および D と AC および AD の相互作用が有意であるということです。この例の結果は、元の 2 4 = 16 回の実験計画の半分を使用して部分因子実験をシミュレートするために使用できます。表は、2 4 - 1 = 8 回の実験の半分の実験計画と、完全な 16 回の実験の表から抽出された結果として得られるろ過速度を示しています。
この分割デザインでは、各主効果は3因子交互作用（例：A = BCD）とエイリアスされ、各2因子交互作用は別の2因子交互作用（例：AB = CD）とエイリアスされます。エイリアスの関係は表に示されています。これは分解能IVデザインであり、主効果は3因子交互作用とエイリアスされ、2因子交互作用は2因子交互作用とエイリアスされることを意味します。
効果の分散分析推定値は以下の表に示されています。表を精査すると、A、C、Dによる効果が大きいことがわかります。AB交互作用の係数は非常に小さいです。AB交互作用とCD交互作用がほぼ等しく逆の影響を与えない限り、これら2つの交互作用は無視できると考えられます。A、C、Dの効果が大きく、Bの効果が小さい場合、AC交互作用とAD交互作用は有意である可能性が最も高くなります。これらの結論は、完全要因16回実験の結果と一致しています。
Bとその相互作用は重要でないように見えるため、Bをモデルから削除することができます。Bを削除すると、因子A、C、およびDの完全因子2 3計画になります。因子A、C、およびD、ならびに相互作用項A:CおよびA:Dを使用して分散分析を実行すると、表に示す結果が得られます。これは、完全因子実験の結果と非常によく似ていますが、16回ではなく8回の実験で済むという利点があります。
