一般的なプロパティ

数学において、「典型的な」例に当てはまる性質を一般性質と呼びます。例えば、関数のクラスの一般性質とは、それらの関数の「ほとんどすべて」に当てはまる性質のことです。例えば、「一般的な多項式は零点に根を持たない」や「一般的な正方行列は可逆である」といった記述がこれに当たります。別の例として、空間の一般性質とは、その空間の「ほとんどすべて」の点で当てはまる性質のことです。例えば、「f  : M → Nが滑らかな多様体間の滑らかな関数であるならば、 Nの一般的な点はfの臨界値ではない」という記述がこれに当たります。（これはサードの定理によるものです。）

数学には「一般的」（「ほとんどすべて」の意味）に関するさまざまな概念があり、それに対応する「ほとんどない」（無視できる集合）という双対概念も存在します。主な2つのクラスは次のとおりです。

• 測度論において、一般的な性質とはほとんどあらゆる場所で成り立つ性質であり、その双対概念は零集合、つまり「確率が0」であることを意味する。
• 位相幾何学や代数幾何学において、一般的な性質とは、稠密な開集合、あるいはより一般的には残余集合上で成り立つ性質であり、その双対概念は稠密でない集合、あるいはより一般的には乏しい集合である。

これらの概念が等しくない自然な例がいくつかあります。^{[ 1 ]} 例えば、リウヴィル数の集合は位相的な意味では一般的ですが、ルベーグ測度はゼロです。^{[ 2 ]}

測度論において、一般性質とはほとんどあらゆる場所で成り立つ性質のことである。その双対概念は零集合、すなわち測度がゼロの集合である。

離散数学では、「ほぼすべて」という用語は、十分大きな数に対して、有限個を除くすべて、可算個を除くすべて、あるいは場合によっては漸近的にほぼ確実に、という意味で用いられる。この概念は、ランダムグラフの研究において特に重要である。

位相幾何学や代数幾何学において、一般的な性質とは、稠密な開集合、あるいはより一般的には残余集合（稠密な開集合の可算な共通部分）上で成り立つ性質であり、その双対概念は、閉稠密でない閉集合、あるいはより一般的には貧集合（稠密でない閉集合の可算な和集合）である。

しかし、密度だけでは一般的な性質を特徴づけるには不十分です。これは実数においても明らかで、有理数とその補集合である無理数はどちらも稠密です。集合とその補集合の両方が典型的な振る舞いを示すと言うのは意味をなさないため、有理数と無理数はどちらも典型的な集合と呼べるほど大きな集合の例にはなり得ません。したがって、無理数は典型的であり、有理数は典型的ではないという、上記のより強い定義に依拠することになります。

応用上、ある性質が残余集合上で成り立つ場合、すべての点で成り立つとは限りませんが、わずかに摂動を加えると、一般的には（乏しい集合の成分のどこにも存在しない密度によって）残余集合内に収まります。したがって、これらは定理やアルゴリズムで扱うべき最も重要なケースです。

計算可能性とアルゴリズム的ランダム性において、無限の自然数列${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$すべてのce セットに対して、が1-ジェネリックであると呼ばれる。${\displaystyle W\subseteq \omega ^{<\omega }}$、 どちらか${\displaystyle f}$初期セグメントを持つ${\displaystyle \sigma }$で${\displaystyle W}$、 または${\displaystyle f}$初期セグメントを持つ${\displaystyle \sigma }$すべての拡張が${\displaystyle \tau \succcurlyeq \sigma }$Wには含まれません。1-ジェネリックは計算可能性において重要であり、適切な1-ジェネリックを考慮することで多くの構成を簡略化できます。^{[ 3 ]}いくつかの重要な特性は次のとおりです。

• 1-ジェネリックは、すべての自然数を要素として含む。
• 1-ジェネリックは計算可能ではない（あるいは計算可能な関数によって制限されることもない）。
• すべて1-ジェネリック${\displaystyle f}$一般的に低い：${\displaystyle f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '}$。

1-ジェネリシティは、次のように「ジェネリック」の位相的概念と結びついています。ベール空間${\displaystyle \omega ^{\omega }}$基本的な開集合を持つ位相構造を持つ${\displaystyle [\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}}$任意の有限な自然数列に対して$\displaystyle \sigma \in \omega ^{<\omega }}$.次に、要素${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$が 1-ジェネリックであるのは、それがどの開集合の境界上にもない場合のみです。特に、1-ジェネリックはすべての稠密な開集合と交わる必要があります（ただし、これは厳密にはより弱い性質であり、弱 1-ジェネリックと呼ばれます）。

• サードの定理：もし${\displaystyle f\colon M\to N}$が滑らかな多様体間の滑らかな関数である場合、 Nの一般的な点はfの臨界値ではありません。fの臨界値はNの零集合です。
• ヤコビアン基準／一般滑らかさ：標数ゼロの体上の多様体の一般点は滑らかである。
• 線形時不変システムの制御可能性と可観測性は、位相的意味と測度論的意味の両方において一般的である。^{[ 4 ]}

• ウィギンズ、スティーブン（2003）、『応用非線形力学系とカオス入門』、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-00177-7
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1994）、『代数幾何学の原理』、ワイリー・クラシックス・ライブラリー、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、doi：10.1002/9781118032527、ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​