純粋性（代数幾何学）

代数幾何学という数学の分野において、純粋性は、いくつかの結果と推測を網羅するテーマであり、それらは集合的に「何かが起こるとき、それは特定の共次元で起こる」ことを証明するという問題に取り組んでいます。

例えば、分岐は余次元 1 の現象である（複素多様体の幾何学では、リーマン面が単一の点で分岐する場合はそれが実余次元 2 で起こることを反映している）。 永田正義とオスカー・ザリスキによる古典的な結果であるザリスキ・永田純粋性[ ^{1] [2] は、}分岐軌跡の純粋性とも呼ばれ、非特異代数多様体上で分岐軌跡、すなわち射が分岐する点の集合は余次元 1 の部分多様体（ヴェイユ因子）のみで構成されなければならないことを証明している。 この結果は可換代数の定理やスキーム理論に数多く拡張されており、エタール射になる可能性のある「失敗の開部分集合」に対する制約を記述する意味での分岐軌跡の純粋性を確立している。

また、関連するホモロジー的純粋性の概念、すなわち、特定の理論からのコホモロジー群は、1 つの指数iを除いて自明であると述べる結果の集合が存在する。このような結果は、マイケル・アルティン( SGA 4に収録)によってエタール コホモロジーで確立され、特異コホモロジーからの結果の予想される類似物を含む理論を構築する上で基礎となった。絶対コホモロジー純粋性予想として知られるアレクサンダー・グロタンディークの一般的な主張は、オフェル・ガッバーによって証明された。^[3]これは、純粋に余次元dのスキーム (正則、ネーター) の閉じた浸漬と、エタール理論の相対的局所コホモロジーに関する。係数がn を法としてnが可逆である場合、コホモロジーは指数 2 dでのみ発生する(そして予測される値を取る)はずである。 ^[4]