ゾルンの補題

ツォルンの補題は、クラトフスキー・ツォルンの補題とも呼ばれ、集合論の命題です。これは、あらゆる連鎖（つまり、あらゆる完全に順序付けられた部分集合）の上限を含む半順序集合には、必ず少なくとも 1 つの最大元が含まれることを述べています。

この補題は、選択公理を仮定して、 1922 年にカジミエシュ・クラトフスキによって証明され、 1935 年にマックス・ツォルンによって独立に証明されました。 ^[2]この補題は、関数解析におけるハーン・バナッハの定理、すべてのベクトル空間には基底があるという定理、 [3] 位相幾何学におけるコンパクト空間の積はすべてコンパクトであるというチコノフの定理、および単位元を持つ環においてすべての適切なイデアルは最大イデアルに含まれ、すべての体は代数的閉包 を持つという抽象代数の定理など、^{いくつかの非常に重要な}定理の証明に登場します。^[4]

ツォルンの補題は、整列定理や選択公理と同等であり、ZF（選択公理のないツェルメロ-フランケル集合論）の範囲内では、3つのうちの1つが他の2つを証明するのに十分であるという意味である。 ^[5]ツォルンの補題の以前の定式化は、与えられた半順序集合のすべての全順序部分集合は、その半順序集合の最大全順序部分集合に含まれるというハウスドルフ最大原理である。^[6]

何らかの方法で半順序集合の最大要素として見ることができる数学的対象の存在を証明するには、最大要素が存在しないと仮定し、超限帰納法と状況の仮定を使用して矛盾を導き出すことで、そのような対象の存在を証明しようとすることができます。ツォルンの補題は、そのような議論が機能するために状況が満たす必要のある条件を整理し、数学者が毎回手動で超限帰納法の議論を繰り返す必要がなくなり、ツォルンの補題の条件を確認するだけで済むようにします。

数学的なオブジェクトを段階的に構築していて、(i) 無限に多くの段階を経てもまだ完了しておらず、(ii) 構築を続けることを妨げるものが何もないように思われる場合は、Zorn の補題が役立つ可能性があります。

— ウィリアム・ティモシー・ガワーズ、「ゾルンの補題の使い方」^[7]

予備的な概念:

• 反射的(任意のxに対してx ≤ x )、反対称的( x ≤ yかつy ≤ xが成り立つ場合、 x = y )、推移的( x ≤ yかつy ≤ zの場合、x ≤ z )な 二項関係 ≤ を備えた集合P は、 ≤ によって(部分的に) 順序付けられていると言われます。 x ≤ y を満たすPの2 つの要素xとyを考えると、y はx以上であると言われます。「部分的」という言葉は、部分的に順序付けられた集合のすべての要素のペアが順序関係の下で比較可能である必要はないことを示すために使用されています。つまり、順序関係 ≤ を満たす部分的に順序付けられた集合Pには、 x ≤ yでもy ≤ xでもない要素xとyが存在する可能性があります。すべての要素のペアが比較可能である順序付けられた集合は、完全に順序付けられていると呼ばれます。
• 半順序集合Pのすべての部分集合Sは、 Pから継承された順序関係をSに制限することによって、それ自体が半順序であると見なすことができます。半順序集合 P の部分集合Sは、継承された順序で完全に順序付けられている場合、 ( P内の)チェーンと呼ばれます。
• 順序関係 ≤ を持つ半順序集合Pの要素m は、 Pにmより大きい他の要素がない場合、つまり、 s ≠ mかつm ≤ sであるsがPに存在しない場合に最大(≤ に関して) です。順序関係に応じて、半順序集合は任意の数の最大要素を持つことができます。ただし、全順序集合は最大要素を 1 つしか持つことができません。
• 半順序集合Pの部分集合S が与えられたとき、 Pの要素u はSのどの要素よりも大きいか等しい場合、Sの上限となります。ここで、S はチェーンである必要はなく、u はSのどの要素とも比較可能である必要がありますが、それ自体がSの要素である必要はありません。

ゾルンの補題は次のように述べられる。

この定式化の変形が時々使用され、例えば集合Pとその連鎖が空でないことが要求される。^[8]

この定式化は形式的には弱いように見えますが ( Pに空でないという追加条件を課しますが、Pについて同じ結論を得るため)、実際には 2 つの定式化は同等です。これを検証するには、まず、P が、 P内のすべてのチェーンがPに上限を持つという条件を満たすとします。すると、 Pの空の部分集合はチェーンです。これは、定義を空に満たすためです。したがって、仮説は、この部分集合がPに上限を持つ必要があることを意味し、この上限は、Pが実際に空でないことを示します。逆に、Pが空でないと仮定され、すべての空でないチェーンがPに上限を持つという仮説を満たす場合、P は、すべてのチェーンが上限を持つという条件も満たします。これは、 Pの任意の要素が空のチェーン (つまり、チェーンとして見た空の部分集合) の上限として機能するためです。

違いは微妙に思えるかもしれないが、ゾルンの補題を援用する多くの証明では、上限を生成するために何らかの結合を取るため、空の鎖のケースは見落とされる可能性がある。つまり、すべての鎖に上限があることの検証では、空の鎖と空でない鎖を別々に扱う必要があるかもしれない。そのため、多くの著者は、一般的な議論で空の鎖を扱うよりも、集合Pが空でないことを検証することを好む。 ^[9]

ツォルンの補題は、あらゆるベクトル空間 V が基底を持つことを示すのに使用できる。^[10]

V = {0}の場合、空集合はVの基底です。ここで、V ≠ {0}と仮定します。P をVのすべての線形独立部分集合からなる集合とします。V は零ベクトル空間ではないため、 Vの零でない元v が存在し、Pには線形独立部分集合 { v } が含まれます。さらに、P は集合包含によって部分的に順序付けられます(包含順序を参照)。 Vの最大の線形独立部分集合を見つけることは、Pの最大元を見つけることと同じです。

ゾルンの補題を適用するには、 P内の連鎖Tを取ります(つまり、T はPの完全に順序付けられたサブセットです)。 T が空集合である場合、 { v } はP内のTの上限です。次に、Tが空でないと仮定します。 Tに上限があること、つまり、 Tのすべてのメンバーを含むVの線形独立サブセットB が存在することを示す必要があります。

B をT内のすべての集合の和集合とします。 B がPにおけるTの上限であることを示します。これを行うには、 B がVの線形独立な部分集合であることを示すだけで十分です。

そうではなく、Bが線形独立でないと仮定する。すると、ベクトルv ₁、v ₂、...、v _k ∈ Bとスカラー a ₁、a ₂、...、a _k （すべてゼロではない）が存在し、

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .}$

B はT内のすべての集合の和集合なので、 i = 1, ₂ , ... , kに対してv _i ∈ S _iとなるような集合S ₁ , S 2 , ..., S _k ∈ Tが存在します。T は完全に順序付けられているので、集合S ₁ , S ₂ , ..., S _{kの 1 つに他の集合が必ず含まれ、したがって}v ₁ , v ₂ , ..., v _kのすべてを含む集合S _iが存在します。これは、 S _iに線形従属のベクトル集合があることを示しており、S _{i が線形独立である（} Pのメンバーであるため）ということと矛盾しています。

ゾルンの補題の仮説は検証されており、したがってPには最大元、つまりVの最大の線形独立部分集合Bが存在します。

最後に、 B が確かにVの基底であることを示します。 B がVの全域集合であることを示すだけで十分です。矛盾を避けるために、Bが全域集合ではないと仮定します。すると、 Bの範囲でカバーされないv ∈ Vが存在します。これは、B ∪ { v } がBより大きいVの線形独立部分集合であることを示しており、 Bの最大性と矛盾しています。したがって、B はVの全域集合であり、したがってVの基底です。

ゾルンの補題は、単位元を持つすべての非自明な環 R が最大イデアルを含むことを示すために使用できます。

P をR内のすべての適切な イデアル（つまり、R自体を除くR内のすべてのイデアル）からなる集合とします。Rは自明ではないため、集合Pには自明なイデアル {0} が含まれます。さらに、P は集合包含によって部分的に順序付けられます。 R内の最大イデアルを見つけることは、P内の最大元を見つけることと同じです。

ゾルンの補題を適用するには、P内のチェーンTを取ります。Tが空の場合、自明なイデアル {0} はP内のTの上限です。次に、Tが空でないと仮定します。 Tに上限があること、つまり、 Tのすべての要素を含み、かつRより小さいイデアルI ⊆ Rが存在することを示す必要があります(そうでなければ、適切なイデアルではないため、P内にはありません)。

I をTのすべてのイデアルの和集合とします。 I がPにおけるTの上限であることを示します。まず、 I がRのイデアルであることを示します。I がイデアルであるためには、次の 3 つの条件を満たす必要があります。

1. I はRの空でない部分集合であり、
2. あらゆるx , y ∈ Iに対して、 x + y の和はIに含まれる。
3. すべてのr ∈ Rおよびすべてのx ∈ Iに対して、積rx はIに存在します。

#1 - I はRの空でない部分集合です。

Tには少なくとも 1 つの要素が含まれ、その要素には少なくとも 0 が含まれるため、和集合Iには少なくとも 0 が含まれ、空ではありません。Tのすべての要素はRのサブセットであるため、和集合IはRの要素のみで構成されます。

#2 - すべてのx、y ∈ Iについて、 x + y の合計はIに含まれます。

xとy がIの要素であるとします。すると、x がJの要素であり、yがKの要素であるような2 つのイデアルJ、K ∈ Tが存在します。T は完全に順序付けられているので、 J ⊆ KまたはK ⊆ Jであることがわかります。一般性を失うことなく、最初のケースを想定すると、xとy は両方ともイデアルKの要素であるため、それらの和x + y はKの要素であり、これはx + yがIの要素であることを示しています。

#3 - すべてのr ∈ Rおよびすべてのx ∈ Iについて、積rx はIに存在します。

x がIの元であるとします。すると、 x がJに含まれるようなイデアルJ ∈ T が存在します。r ∈ Rであれば、rx はJの元であり、したがってIの元です。したがって、I はRのイデアルです。

ここで、 I が適切なイデアルであることを示します。イデアルがRと等しい のは、それが 1 を含む場合のみです。(イデアルがRであれば 1 を含むことは明らかです。一方、それが 1 を含み、rがRの任意の要素である場合、r 1 = r はイデアルの要素であり、したがってイデアルはRと等しくなります。) したがって、I がRと等しい場合、それは 1 を含み、これはTの要素の 1 つが1 を含み、したがってRと等しいことを意味しますが、R はPから明示的に除外されます。

ゾルンの補題の仮説は検証されており、したがってPには最大元、言い換えればRには最大イデアルが存在します。

選択公理 を前提として、ゾルンの補題の証明の概略を以下に示します。補題が偽であると仮定します。すると、すべての全順序付き部分集合に上限があり、Pのすべての要素に対してそれよりも大きい別の要素が存在するような、半順序付き集合P が存在します。すべての全順序付き部分集合Tに対して、より大きな要素b ( T ) を定義できます。これは、 T には上限があり、その上限にはより大きな要素があるためです。関数bを実際に定義するには、選択公理を使用する必要があります (明示的には、 、つまりTの上限の集合とします。選択公理は を提供します)。 ${\displaystyle B(T)=\{b\in P:\forall t\in T,b\geq t\}}$${\displaystyle b:b(T)\in B(T)}$

関数bを使用して、 P内の要素a ₀ < a ₁ < a ₂ < a ₃ < ... < a _ω < a _ω+1 <…を定義します。この不可算なシーケンスは非常に長く、インデックスは自然数だけでなく、すべて順序数です。実際、シーケンスはセットPに対して長すぎます。順序数 (適切なクラス)が多すぎて、どのセットの要素よりも多くなっています (言い換えると、順序数の任意のセットが与えられれば、より大きな順序数が存在する)。そのため、セットP はすぐに使い果たされ、目的の矛盾に遭遇します。

a _{i は}超限再帰によって定義されます。つまり、 P内の任意の0_を選択し( Pには空集合の上限が含まれており、したがって空ではないため、これは可能です)、その他の順序数 w については、a w = b ₍ { a v : _v  < w } )を設定します。a v は完全に順序付けられているため、_これは十分な根拠のある定義です。

上記の証明は、初期セグメント { a _v  : v < w }をPのサブセットと見なすことで、順序数を明示的に参照せずに定式化できます。このようなセットは、各x ∈ Sがx = b ({ y ∈ S  : y < x })を満たす、順序付けられたチェーンS ⊆ Pとして簡単に特徴付けることができます。すべてのそのようなSの和集合を取るか(極限順序の場合に対応)、またはb ( S ) を「最後の」 S に追加することによって(後続順序の場合に対応)、常に「次の」初期セグメントを見つけることができることに注目すると、矛盾に達します。^[11]

この証明は、実際にはゾルンの補題の少し強いバージョンが正しいことを示しています。

あるいは、ハウスドルフ最大原理に対して同じ証明を使うこともできます。これは、例えばハルモスの素朴集合論や以下の§ 証明に示されている証明です。

証明の基本的な考え方は、証明を次のゾルンの補題の弱い形式を証明することに簡略化することです。

（厳密に言えば、（2）は空集合が にあることを意味するので、（1）は冗長であることに注意。） 上記はゾルンの補題の弱い形式であることに注意。なぜなら、ゾルンの補題は特に、上記（1）および（2）を満たす任意の部分集合の集合は最大元を持つと述べているからである。ポイントは、逆に、ゾルンの補題はこの弱い形式から従うということである。^[12]確かに、内のすべての連鎖の集合を としよう。すると、それは上記の性質をすべて満たす（空部分集合は連鎖なので、空ではない）。したがって、上記の弱い形式により、内の最大元、すなわち、 内の最大連鎖が見つかる。ゾルンの補題の仮定により、は内に上限を持つ。すると、 の場合、 はより大きく、したがって であるため、これは最大元である。したがって、。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\geq x}$${\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{y\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widetilde {C}}=C}$${\displaystyle y=x}$

弱形式の証明はハウスドルフ最大原理#証明で与えられています。実際、最大連鎖の存在はまさにハウスドルフ最大原理の主張です。

同じ証明は、ゾルンの補題の同等の変形も示している: ^[13]

実際、当然のことながら、ゾルンの補題は上記の補題を意味します。逆に、上記の補題は、和集合が最小の上限を与えるので、前述のゾルンの補題の弱い形式を意味します。

ゾルンの補題が選択公理を意味するという証明は、ゾルンの補題の典型的な応用を示している。^[14]（証明の構造はハーン・バナッハの定理のものと全く同じである。）

空でない集合の集合とその和集合（和集合の公理により存在する）が与えられたとき、関数が存在することを示したい。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle U:=\bigcup X}$

${\displaystyle f:X\to U}$

となる。そのために、集合 ${\displaystyle f(S)\in S}$${\displaystyle S\in X}$

${\displaystyle P=\{f:X'\to U\mid X'\subset X,f(S)\in S\}}$。

これは拡張によって部分的に順序付けられています。つまり、が の制限である場合に限ります。 が内のチェーンである場合、のときにを設定することにより、和集合上の関数を定義できます。 の場合、がの制限であるため、これは明確に定義されています。 関数はの要素でもあり、 はすべての の共通の拡張です。したがって、 内の各チェーンには における上限があることを示しました。したがって、ツォルンの補題により、上に定義されている 内の最大元が存在します。 を示したいと思います。そうでない場合、集合 が存在します。は空でないため、要素 が含まれます。その後、および を設定することにより、関数 に拡張できます。(このステップでは選択公理は不要であることに注意してください。) 関数はおよびにあり、 の最大性と矛盾します。${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f_{i}:X_{i}\to U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X'=\cup _{i}X_{i}}$${\displaystyle f(x)=f_{i}(x)}$${\displaystyle x\in X_{i}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X'\subset X}$${\displaystyle X'=X}$${\displaystyle S\in XX'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g|_{X'}=f}$${\displaystyle g(S)=s}$${\displaystyle g}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f<g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \square}$

本質的に同じ証明は、ゾルンの補題が整列定理を意味することも示しています。つまり、を与えられた集合のすべての整列した部分集合の集合とすると、の最大元がであることを示します。^[15]${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

ハウスドルフ最大原理は、ゾルンの補題に似た初期の主張です。

カジミエシュ・クラトフスキは1922年に^[16]、この補題の現代的な定式化に近いバージョン（包含によって順序付けられ、整列した鎖の和集合に対して閉じた集合に適用）を証明した。本質的に同じ定式化（単に整列しているだけでなく任意の鎖を使用することで弱められた）は、1935年にマックス・ツォルンによって独立に与えられた^[17]。ツォルンはこれを整列定理に代わる集合論の新しい公理として提案し、代数への応用をいくつか示し、別の論文で選択公理との等価性を示すことを約束したが、その論文は発表されなかった。

「ゾルンの補題」という名前は、 1940年にジョン・テューキーが著書『位相幾何学における収束と均一性』で使用したことに由来すると思われる。ブルバキの1939年の『集合の理論』では、同様の最大原理が「ゾルンの定理」として言及されている。^[18]「クラトフスキー・ゾルンの補題」という名前は、ポーランドとロシアで広く使われている。

ゾルンの補題は（ZFでは）3つの主な結果と同等です。

1. ハウスドルフ最大原理
2. 選択公理
3. 整列定理。

この等価性（人間の直感に反するかもしれない）をほのめかす有名なジョークは、ジェリー・ボナのものだと言われている。「選択公理は明らかに真であり、整列原理は明らかに偽であり、ゾルンの補題について誰が言えるだろうか？」^[19]

ゾルンの補題は一階述語論理の強完全性定理とも同等である。^[20]

さらに、ツォルンの補題（またはそれと同等の形式）は、他の数学の分野でも重要な結果をもたらします。たとえば、

1. バナッハの拡張定理は、関数解析における最も基本的な結果の1つであるハーン・バナッハの定理を証明するために使用される。
2. あらゆるベクトル空間は、線型代数（ ^[21]と同値）の結果である基底を持つ。特に、実数は有理数上のベクトル空間としてハメル基底を持つ。
3. 全ての可換単位環は最大イデアルを持ち、これはクルルの定理として知られる環論の結果であり、ツォルンの補題はそれと同値である^[22]
4. 位相幾何学におけるティコノフの定理（これも同等である^[23]）
5. すべての適切なフィルタは超フィルタに含まれており、その結果、一階述語論理の完全性定理が得られる^[24]

この意味で、ゾルンの補題は数学の多くの分野に適用できる強力なツールです。

ツォルンの補題の弱められた形は、ZF + DC（選択公理を従属選択公理に置き換えたツェルメロ・フランケル集合論）から証明できる。ツォルンの補題は、集合に最大元がないことは集合の順序関係が完全であると述べることと同等であることを観察することで簡単に表現でき、これにより従属選択公理を適用して可算連鎖を構築できる。その結果、排他的に有限な連鎖を持つ任意の部分順序集合には最大元が必ず存在する。^[25]

より一般的には、従属選択公理をより高い順序数に強化することで、前の段落の記述をより高い基数に一般化することができます。^[25]任意の大きな順序数を許容する極限では、前のセクションの選択公理を使用して、完全なゾルンの補題の証明を回復します。

1970 年の映画「Zorns Lemma」は、この補題にちなんで名付けられました。

この補題は『ザ・シンプソンズ』のエピソード「バートの新しい友達」で言及された。^[26]

• アンチチェーン – 比較できない要素のサブセット
• ブルバキ・ウィットの定理
• 連鎖完全半順序– すべての連鎖に最小上限がある半順序集合
• シュピルライン拡張定理 – 順序関係に関する数学的結果
• タルスキ有限性 – 有限個の要素を含む数学的集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• タイヒミュラー・テューキーの補題（テューキーの補題とも呼ばれる）

• キャンベル、ポール・J. (1978年2月)。「 『ゾルンの補題』の起源」。数学史。5 (1):77–89。doi : 10.1016/0315-0860(78)90136-2。
• ポール・ハルモス、素朴集合論。ニュージャージー州プリンストン: D. Van Nostorm Company、1960 年。Springer -Verlag 社、ニューヨーク、1974 年再版。ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag 版)。 
• Ciesielski, Krzysztof (1997)。『働く数学者のための集合論』。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-59465-3。
• ジェック、トーマス（2008）[1973]。選択の公理。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-46624-8。
• ムーア、グレゴリー H. (2013) [1982].ツェルメロの選択公理：その起源、発展、影響.ドーバー出版. ISBN 978-0-486-48841-7。

• 「ゾルンの補題」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ProvenMath の Zorn の補題には、選択公理と Zorn の補題の同等性の詳細な形式証明が含まれています。
• Metamathの Zorn の補題は別の正式な証明です。(最近のブラウザ用の Unicode バージョン。)