変数の分離

微分を独立した実体として扱うことを好まない人は、これを次のように書くことを好むかもしれません。

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

しかし、それではこれが「変数分離」と呼ばれる理由がそれほど明確になるわけではありません。方程式の両辺を に関して積分すると${\displaystyle x}$、 我々は持っています

または同等に、

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

積分の置換規則のため。

2つの積分を評価できれば、微分方程式の解を見つけることができます。このプロセスによって、導関数を効果的に扱うことができることに注意してください。$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$分離可能な分数として表すことができます。これにより、以下の例に示すように、変数分離可能な微分方程式をより簡単に解くことができます。

（式（A1）では、2つの積分定数を使用する必要がないことに注意してください。

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

単一の定数${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$（同等です。）

人口増加はしばしば「ロジスティック」微分方程式によってモデル化される。

$\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

どこ${\displaystyle P}$時間に対する人口は${\displaystyle t}$、${\displaystyle k}$は成長率であり、${\displaystyle K}$は環境の収容力である。変数分離により、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

これは左辺の部分分数分解を用いて容易に積分でき、

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

ここで、Aは積分定数です。 ${\displaystyle A}$に関しては${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$t=0 のとき。${\displaystyle e^{0}=1}$私たちは

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

分離可能な1階常微分方程式について語ることができるのと同様に、分離可能な2階、3階、またはn階常微分方程式について語ることができます。分離可能な1階常微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

導関数は、未知関数yに対して作用する演算子であることを強調するために、次のように記述することもできます。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

したがって、1階微分方程式の変数を分離すると、実際には演算子の分母であるdxをx変数の側に移し、d ( y ) をy変数の側に残します。同様に、2階微分演算子は次のように分解されます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

3次、4次、n次導関数演算子も同様に分解されます。したがって、1階変数分離型常微分方程式が次の形式に還元できるのとよく似ています。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

分離可能な2階常微分方程式は次の形式に還元できる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

n 階の分離可能な常微分方程式は、

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

次の単純な非線形2階微分方程式を考えてみましょう。$${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$この方程式はy ''とy'のみの方程式ですつまり、上記の一般形に還元可能であり、したがって分離可能である。これは2階分離方程式なので、すべてのx変数を片側に集め、すべてのy'他方の変数を取得:$$\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$次に、右辺をxについて積分し、左辺をy'について積分します。$$\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$これにより$${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$これは以下のように簡略化できます。$${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$これは、最終的な答えを与える単純な積分問題です。$${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

1次元熱方程式を考えてみましょう。方程式は次のとおりです。

変数u は温度を表す。境界条件は同次である。

境界条件を満たしつつ、以下の性質を持つ非自明な解を見つけよう。uは、 uのxとtへの依存性が分離された積である。すなわち、

uを式（1）に代入し、積の法則を用いると、

ここで、λは定数でなければならない。なぜなら、右辺はxのみに依存し、左辺はtのみに依存するからである。したがって、次のようになる。

そして

ここで− λは両方の微分演算子の固有値であり、T ( t ) とX ( x ) は対応する固有関数です。

λ ≤ 0の値に対するX ( x )の解は存在しないことを次に示します。

λ < 0と仮定する。すると、実数B、Cが存在して、

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

（２）より、

したがって、B = 0 = Cとなり、これはu が恒等的に 0 であることを意味する。

λ = 0と仮定する。すると、実数B、Cが存在して、

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

（７）から、１と同様に、uが恒等的に0であると結論づける。

したがって、 λ > 0でなければならない。すると、実数A、B、Cが存在して、

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

そして

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

( 7 )よりC = 0となり、ある正の整数nに対して、

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

これは、 uの依存性が( 3 )の特別な形式を持つ特殊な場合の熱方程式を解くものです。

一般に、境界条件( 2 )を満たす( 1 )の解の総和は、( 1 )および( 3 )も満たす。したがって、完全な解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

ここで、D _nは初期条件によって決定される係数である。

初期条件が与えられた場合

私たちは手に入れることができます

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

これは、フーリエ解析に適したf ( x )のフーリエ正弦級数展開です。両辺に${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$そして[ 0, L ]で積分すると、

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

この方法では、固有関数Xが、${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$は直交かつ完全である。一般にこれはシュトゥルム・リウヴィル理論によって保証されている。

方程式が非同次であると仮定します。

境界条件は（2）と同じで、初期条件は（8）と同じである。

h ( x,t )、u ( x , t )、f ( x )を展開して

ここで、 h _n ( t ) とb _{n は}積分によって計算できますが、u _n ( t ) は決定する必要があります。

（9）と（10）を（8）に代入し、正弦関数の直交性を考慮すると、

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

これらは、例えばラプラス変換や積分因子を用いて容易に解ける一連の線形微分方程式です。最終的に、

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

境界条件が非同次である場合、（9）と（10）の展開はもはや有効ではありません。境界条件のみを満たす関数vを見つけ、それをuから差し引く必要があります。すると、関数uvは同次境界条件を満たし、上記の方法で解くことができます。

混合微分を含む方程式の中には、上記の最初の例の熱方程式ほど容易に変数分離できないものもありますが、それでも変数分離は適用可能です。2次元重調和方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

通常の手順で、次の形式の解を探します。

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

そして、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

この方程式を次の形式で書きます

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

この式を に関して微分すると、${\displaystyle x}$与える${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$つまり${\displaystyle G(y)=const.}$または${\displaystyle F'(x)=0}$同様に、${\displaystyle y}$につながる${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$そしてこうして${\displaystyle F(x)=const.}$または${\displaystyle G'(y)=0}$したがって、F ( x )またはG ( y )は定数、例えば−λでなければならない。これはさらに、${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$または${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$は定数です。XとYの式に戻ると、2つのケースがあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

これらはそれぞれ、個別のケースを検討することで解決できます。${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$そして、${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$。

直交曲線座標系においても変数分離法は使用できますが、デカルト座標系とは細部が異なります。例えば、境界条件の代わりに正則性や周期条件によって固有値が決定される場合があります。球面調和関数を例に挙げてください。

波動方程式、ヘルムホルツ方程式、シュレーディンガー方程式など、多くの偏微分方程式では、変数分離法の適用可能性はスペクトル定理の結果です。場合によっては、変数分離法が不可能な場合があります。変数分離法は、一部の座標系では可能ですが、他の座標系では不可能な場合があります^{[ 2 ]}。どの座標系で分離法が可能であるかは、方程式の対称性に依存します^{[ 3 ]。}以下は、特定の線形方程式へのこの方法の適用可能性を示す議論の概要ですが、正確な方法は個々のケース（たとえば、上記の重調和方程式）によって異なる場合があります。

関数の初期境界値問題を考える${\displaystyle u(x,t)}$の上${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$2つの変数で表すと：

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

どこ${\displaystyle T}$は、に関する微分演算子である。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle S}$は、に関する微分演算子である。${\displaystyle t}$境界データ付き：

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$のために${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$のために${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

どこ${\displaystyle h}$これは既知の関数です。

私たちは次のような形式の解決策を探します。${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$偏微分方程式をで割ると${\displaystyle f(x)g(t)}$与える

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

右辺は${\displaystyle x}$左側のみ${\displaystyle t}$したがって、両方とも定数に等しくなければならない${\displaystyle K}$これにより、2つの常微分方程式が得られる。

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

これは、演算子の固有値問題として認識できます。${\displaystyle T}$そして${\displaystyle S}$。 もし${\displaystyle T}$は空間上のコンパクトな自己共役作用素である${\displaystyle L^{2}[0,l]}$関連する境界条件とともに、スペクトル定理により、次の基礎が存在する。${\displaystyle L^{2}[0,l]}$の固有関数から構成される${\displaystyle T}$スペクトルを${\displaystyle T}$なれ${\displaystyle E}$そして${\displaystyle f_{\lambda }}$固有値を持つ固有関数であること${\displaystyle \lambda \in E}$すると、各時点での任意の関数に対して${\displaystyle t}$は に関して二乗可積分である${\displaystyle x}$この関数は、${\displaystyle f_{\lambda }}$特に、私たちは解決策を知っています${\displaystyle u}$次のように書くことができます

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

一部の機能については${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$変数分離法では、これらの関数は次の解によって与えられる。${\displaystyle Sg=Kg}$

したがって、スペクトル定理は、変数分離法が（可能な場合）すべての解を見つけることを保証する。

多くの微分演算子の場合、${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$部分積分によって、それらが自己共役であることを示すことができます。これらの演算子はコンパクトではないかもしれませんが、波動方程式の場合のように、その逆演算子（存在する場合）はコンパクトである可能性があり、これらの逆演算子は元の演算子と同じ固有関数と固有値を持ちます（ゼロを除く）。^{[ 4 ]}